Discrete Math - 4.3.2 Greatest Common Divisors and Least Common Multiples

Summary

In diesem Video werden die Konzepte des größten gemeinsamen Teilers (GGT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) erklärt. Zunächst wird der GGT anhand von Beispielen wie 16 und 32 mithilfe von Primfaktorisierungen und Divisoren veranschaulicht. Es wird gezeigt, wie man mit Primzahlen den GGT schnell ermittelt. Anschließend wird das kgV behandelt, einschließlich einer Methode, die Primefaktorzerlegung nutzt, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden. Eine alternative Methode zur Berechnung des kgV unter Verwendung des GGT wird ebenfalls vorgestellt, bevor das nächste Thema, der euklidische Algorithmus, zur Berechnung des GGT von größeren Zahlen angekündigt wird.

Takeaways

• 😀 Der größte gemeinsame Teiler (GCD) ist die größte Zahl, die sowohl A als auch B teilt.
• 😀 Eine einfache Methode zur Bestimmung des GCD besteht darin, die Teiler beider Zahlen zu ermitteln und den größten gemeinsamen zu finden.
• 😀 Die Primfaktorzerlegung kann genutzt werden, um den GCD zu bestimmen, indem man den höchsten gemeinsamen Exponenten der gemeinsamen Primfaktoren wählt.
• 😀 Der GCD von 12 und 30 wurde anhand der Primfaktorzerlegung als 6 ermittelt.
• 😀 Wenn zwei Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, wie bei 17 und 55, ist ihr GCD 1, und sie sind relativ prim.
• 😀 Der kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) ist die kleinste Zahl, die sowohl von A als auch B geteilt wird.
• 😀 Eine Methode zur Bestimmung des LCM besteht darin, die Vielfachen beider Zahlen zu listen, bis das erste gemeinsame Vielfache gefunden wird.
• 😀 Eine effizientere Methode zur Berechnung des LCM ist die Verwendung der Primfaktorzerlegung, bei der der höchste Exponent jedes Faktors verwendet wird.
• 😀 Der LCM von 8 und 14 wurde durch die Primfaktorzerlegung als 56 ermittelt.
• 😀 Eine weitere Methode zur Berechnung des LCM ist die Formel: LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b). Dies führt ebenfalls zum LCM von 8 und 14 als 56.

Q & A

Was ist der größte gemeinsame Teiler (GCD)?

Der größte gemeinsame Teiler (GCD) von zwei Zahlen A und B ist die größte Zahl, die sowohl A als auch B ohne Rest teilt.

Wie kann man den GCD von 16 und 32 berechnen?

Der GCD von 16 und 32 kann durch das Auflisten der Teiler beider Zahlen gefunden werden. Die Teiler von 16 sind 1, 2, 4, 8, 16 und die von 32 sind 1, 2, 4, 8, 16, 32. Der größte gemeinsame Teiler ist 16.

Wie verwendet man die Primfaktorzerlegung zur Berechnung des GCD?

Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und sucht dann nach dem kleinsten Exponenten jedes gemeinsamen Primfaktors. Zum Beispiel: 16 = 2^4 und 32 = 2^5, der GCD ist 2^4 = 16.

Was bedeutet es, wenn zwei Zahlen relativ prim sind?

Zwei Zahlen sind relativ prim, wenn ihr GCD gleich 1 ist, was bedeutet, dass sie keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Wie berechnet man den GCD von 17 und 55?

Da 17 eine Primzahl ist und 55 die Primfaktoren 5 und 11 hat, gibt es keinen gemeinsamen Teiler, daher ist der GCD 1. Das bedeutet, dass 17 und 55 relativ prim sind.

Was ist der kleinste gemeinsame Vielfache (LCM)?

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von zwei Zahlen A und B ist die kleinste Zahl, die sowohl durch A als auch durch B teilbar ist.

Wie berechnet man das LCM von 8 und 14?

Man listet die Vielfachen beider Zahlen auf: Vielfache von 8 sind 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56... und Vielfache von 14 sind 14, 28, 42, 56... Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 56.

Wie verwendet man die Primfaktorzerlegung zur Berechnung des LCM?

Man zerlegt beide Zahlen in ihre Primfaktoren und nimmt die höchsten Exponenten jedes Primfaktors. Zum Beispiel: 8 = 2^3 und 14 = 2^1 * 7, der LCM ist 2^3 * 7 = 56.

Was ist der Vorteil der Verwendung von Primfaktorzerlegung zur Berechnung von GCD und LCM?

Die Primfaktorzerlegung vereinfacht die Berechnungen, indem man die gemeinsamen oder maximalen Exponenten der Primfaktoren vergleicht, was schneller und effizienter ist als das Auflisten von Teiler- oder Vielfachen.

Wie berechnet man das LCM unter Verwendung des GCD?

Das LCM kann auch mit der Formel LCM(A, B) = (A * B) / GCD(A, B) berechnet werden. Zum Beispiel: Für 8 und 14, wenn der GCD 2 ist, dann ist LCM(8, 14) = (8 * 14) / 2 = 56.