Video 3.1. Sistemas de ecuaciones lineales, definición y clasificación
Summary
TLDRThis video introduces the topic of linear systems of equations in algebra, defining what they are and how they differ from non-linear equations due to the absence of squared or higher degree terms. The script explains the concept of a solution to a system, using an example with two equations and two unknowns, and demonstrates how to find a common solution. It also discusses the classification of systems into compatible (with one or multiple solutions) and incompatible (with no solutions), based on the proportionality of coefficients and constants. The video promises to explore methods for solving these systems in future content.
Takeaways
- 📚 The video introduces the topic of 'Systems of Linear Equations' in algebra.
- 🔍 A system of linear equations, also known as a linear system, is a set of linear equations over a commutative ring or field.
- 📈 The term 'linear' is used because the variables in the equations do not have exponents greater than one, indicating a straight line relationship.
- 🤝 Two equations with two unknowns form a system when the goal is to find a common solution for both equations.
- 🔑 The solution of a system is a pair of numbers that satisfies both equations simultaneously.
- 🔄 Systems of linear equations can be classified into compatible or incompatible based on the number of solutions they have.
- 💡 A compatible system can be either determined (one unique solution) or indeterminate (multiple solutions).
- 🚫 An incompatible system is one that has no solution at all.
- 📝 For a system to have a unique solution, the coefficients of the variables in the equations must not be proportional.
- 🔄 Infinite solutions occur when the coefficients of the variables and the independent terms of one equation are proportional to those of another.
- ❌ No solution exists when the coefficients of the variables are proportional, but the independent terms are not.
- 📈 Graphical methods, as well as other methods to be discussed in future videos, can be used to determine if a system is compatible or incompatible and the type of compatible system.
Q & A
What is a system of linear equations?
-A system of linear equations, also known as a linear system, is a set of equations that are linear, meaning the variables do not have exponents greater than one. They are defined over a commutative ring or field.
Why are they called 'linear' equations?
-They are called 'linear' because the variables in the equations do not have exponents higher than one, and there are no squared, cubed, or higher power terms.
What is the solution of a system of linear equations?
-The solution of a system of linear equations is a set of values for the variables that satisfy all the equations in the system simultaneously.
What is the relationship between the equations in a system that has a unique solution?
-In a system with a unique solution, the equations are not proportional to each other, meaning the coefficients of the variables are not the same when compared across the equations.
How can you determine if a system of linear equations has multiple solutions?
-A system has multiple solutions if the coefficients of the variables in the equations are proportional to each other, and the constant terms are also proportional.
What is an incompatible system of linear equations?
-An incompatible system of linear equations is one where the equations do not have any solution because the coefficients of the variables are proportional, but the constant terms are not.
What are the different types of systems of linear equations based on the number of solutions they have?
-Systems of linear equations can be classified as compatible or incompatible. Compatible systems can be determined (one unique solution) or indeterminate (multiple solutions), while incompatible systems have no solutions.
What is the graphical method for solving a system of linear equations?
-The graphical method is a visual approach to determine if a system of linear equations has a solution by plotting the equations on a graph and observing their intersection points.
Outlines
📚 Introduction to Linear Systems
This paragraph introduces the concept of linear systems in algebra. It defines a linear system as a set of linear equations over a commutative ring or field. The script provides an example of a linear system and explains why it's called 'linear' due to the absence of variables with exponents greater than one. It further clarifies that a system of two equations with two unknowns seeks a common solution that satisfies both equations simultaneously. The solution is a pair of numbers that, when substituted into the equations, yield the results stated. The paragraph also touches on the classification of linear systems into compatible and incompatible systems, with further subdivisions into determined and indeterminate systems.
🔍 Conditions for Linear System Solutions
This paragraph delves into the conditions that determine the nature of solutions a linear system can have. It explains that for a system to be determined (having a unique solution), the coefficients of the variables in the equations must not be proportional. The script contrasts this with the case where the coefficients are proportional but the independent terms are not, leading to an incompatible system with no solutions. Conversely, when both the coefficients and the independent terms are proportional, the system is compatible and indeterminate, offering multiple solutions. The paragraph concludes by mentioning the graphical method as a visual approach to determine the compatibility of a system, with the promise of exploring other methods in upcoming videos.
Mindmap
Keywords
💡Algebra
💡Linear Equations
💡System of Equations
💡Variables
💡Solution
💡Compatible System
💡Indeterminate System
💡Incompatible System
💡Graphical Method
💡Proportionality
Highlights
Introduction to the topic of systems of linear equations in algebra.
Definition of a system of linear equations as a set of linear equations over a commutative ring.
Explanation of why systems are called 'linear' due to the absence of variables with exponents greater than one.
Description of a system of equations with two unknowns and the goal of finding a common solution.
Illustration of how to find the solution to a system of equations using an example with x and y variables.
Demonstration of verifying the solution to a system of equations by substituting values into the original equations.
Classification of systems of linear equations based on the number of solutions they can have.
Differentiation between compatible and incompatible systems of equations.
Explanation of a compatible determined system that provides a unique solution.
Discussion on compatible indeterminate systems that have multiple solutions.
Clarification on incompatible systems that have no solutions.
Conditions for a system of equations to have one, none, or infinite solutions based on the proportionality of coefficients.
Example given to show when a system is compatible because the coefficients are not proportional.
Explanation of when a system has infinite solutions due to the proportionality of coefficients and independent terms.
Example illustrating an incompatible system where coefficients are proportional but the independent terms are not.
Introduction to graphical methods as a visual approach to determine the compatibility of a system of equations.
Mention of other methods that can be used to determine if a system is compatible or incompatible and the nature of the solutions.
Anticipation of further exploration of these methods in upcoming videos.
Transcripts
Hola a todos Bienvenidos a un nuevo
video de álgebra lineal eh en esta
ocasión vamos a comenzar un nuevo tema
es el tema tres que lleva por nombre
sistemas de ecuaciones
lineales y para comenzar digamos con
este tema pues vamos a definir
precisamente Qué es un sistema de
ecuaciones lineal
Y bueno pues debemos de conocer que en
matemáticas y álgebra lineal un sistema
de ecuaciones lineales También conocido
como sistema lineal de ecuaciones o
simplemente sistema lineal es un
conjunto de ecuaciones lineales sobre un
cuerpo o un anillo conmutativo así
tenemos por ejemplo eh este sistema de
ecuaciones lineal que es 3 x1 2 x2 + X3
es = 1 2 x1 + 2 x2 + 4 X3 = -2 - x1 +
1/2 de x2 - X3 es =
0 Por qué se llama lineal Bueno pues
principalmente porque como ustedes
pueden observar ninguna de las variables
eh tiene un
exponente mayor que un es decir es
lineal no lleva exponente cuadrado cubo
ni mucho menos por eso se conoce como
lineal es un sistema lineal de
ecuaciones
eh
Ahora dos ecuaciones con dos incógnitas
forman un sistema cuando lo que
pretendemos de ellas es encontrar su
solución común Entonces si nosotros
tenemos aquí por ejemplo a1x + b1y = c1
y a2x + b2y = a C2 necesitamos conocer
el valor de X y el valor de y que
satisface a este sistema de ecuaciones
es decir qué valor para x y Qué valor
para y me da el resultado c1 y el
resultado
C2 la solución de un sistema es un par
de números x1 y1 tal es que reemplazados
por reemplazando x por x1 eh Y por y1 se
satisfacen a la vez ambas ecuaciones así
de esta
forma para este sistema de ecuaciones
dice que 3x - 4
= -6 y 2x + 4y = 16 Nos está dando el
resultado que es x = 2 y y = 3
eh si ustedes observan Cuando yo
sustituyo x y y eh en ambas ecuaciones
aquí en 3x - 4y sería 3 * 2 - 4 * 3 e y
aquí sustituir x sería 2 * 2 + 4 *
3 si nosotros hacemos las operaciones 3
* 2 son 6
- 4 * 3 son 12 en la de abajo sería 2 *
2 = 4 4 * 3 = 12 Si operamos las sumas y
restas 6 - 12 nos da -6 4 + 12 = 16
entonces observamos que nos da una
igualdad si aquí los resultados fueran
diferentes es decir si aquí meera un
número diferente de -6 y aquí un número
diferente de 16 significa que alguno de
los dos valores está mal la x o la bien
eh pero nos tiene que dar una igualdad
en ambas ecuaciones Sí y con ello Bueno
pues encontramos precisamente los
valores de x y y que satisfacen a este
sistema de
ecuaciones ahora en el caso de los
sistemas de ecuaciones lineales tenemos
una clasificación
eh según el número de soluciones que
pueden tener o que pueden presentar de
acuerdo con ese caso se pueden presentar
los siguientes casos Entonces tenemos
dos tipos de sistemas de ecuaciones
puede ser un sistema compatible o un
sistema
incompatible a su vez el sistema
compatible puede ser un sistema
compatible determinado el cual nos va a
dar una única solución puede ser un
sistema también compatible indeterminado
en el que podemos tener múltiples
soluciones o puede ser que existe un
sistema incompatible es decir que el
sistema no tiene solución también es un
tercer caso que podemos
tener
Entonces qué condiciones deben cumplir
las ecuaciones para que el sistema tenga
una ninguna o infinitas soluciones bueno
para que un sistema de ecuaciones
lineal digamos la característica que
debe tener que nos que tenga digamos
solución que sea un un un sistema de
ecuaciones este determinada
eh compatible
determinado los coeficientes de x y y de
las dos ecuaciones no son proporcionales
aquí por ejemplo si vemos este bueno 2x
y x sí existe una proporcionalidad Este
2x es el doble de X pero en el caso de
este no -3y + 5y vemos que no son
digamos este
proporcionales
para que esto se de tendría que ser
proporcionales ambos Sí en la misma
cantidad aquí por ejemplo si si este
fuera en lugar de -3 si fuera un 10y
Entonces digamos no sería compatible
pero como en este caso son números
diferentes es un sistema compatible
Okay y lo vamos a ver en la solución de
ecuaciones más
adelante
Ahora cuando nos da infinitas soluciones
un
eh un sistema de ecuaciones bueno cuando
los coeficientes de x y y y el término
independiente de una ecuación son
proporcionales a los de la otra por
ejemplo tenemos esta que dice 2x - 3y =
1 y 4x - 6y = 2 la ecuación de abajo es
el doble de la primera si yo multiplico
2 * 2x es 4x y 2 * 3y son -6y y 2 * 1 es
= 2 todos los elementos eh si una
ecuación es digamos proporcional a otra
Entonces estamos hablando de que podemos
tener un sistema con infinitas
soluciones un sistema compatible
indeterminado ahora el siguiente caso
Cuando tenemos ninguna solución es
cuando los coeficientes de x y y de una
ecuación son proporcionales a los de la
otra mientras que los términos
independientes no lo son aquí por
ejemplo podemos observar que la segunda
ecuación eh en los coeficientes de X y Y
este 4 es el doble del do y este -6 es
el doble de -3 Sin embargo vemos que los
términos independientes no son
proporcionales no es el doble uno del
otro entonces eh aquí podemos decir que
es un sistema incompatible es un sistema
que no nos va a arrojar ninguna solución
podemos verlo así simple vista o podemos
calcularlo de alguno de los Por alguno
de los métodos uno de los métodos que
vamos a aprender es el método gráfico Y
eso es más más que nada un método visual
para poder eh observar si existe o no
una solución pero existen otros métodos
que nos permiten
determinar si un sistema es compatible o
incompatible y en el caso de que sea
compatible si es un sistema compatible
determinado o es sistema compatible
indeterminado es decir que tenga varias
soluciones Pero eso lo vamos a observar
en los próximos videos sí bien Eso es
todo por este video nos vemos hasta la
próxima
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