Los orígenes del CÁLCULO infinitesimal

El Axioma del Infinito

25 Jan 202222:34

Summary

TLDREl script explora los orígenes y desarrollo del cálculo, enfocándose en las contribuciones de matemáticos como Newton y Leibniz, pero también reconociendo la importancia de figuras como Cavalieri, Torricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Barrow. Destaca la transición gradual del cálculo desde una colección de técnicas aritméticas y geométricas hacia un sistema formalizado, y cómo la idea del infinitesimal y el uso de límites fueron fundamentales para su evolución. La narrativa incluye la historia de los pilares conceptuales del cálculo, su conexión con la tradición griega y la geometría analítica, así como las luchas y logros en la cuadratura de curvas y el concepto de derivada.

Takeaways

📚 Aunque Newton y Leibniz son reconocidos como los principales creadores del cálculo, su descubrimiento es el resultado de la acumulación de aportes de varios matemáticos a lo largo de un proceso gradual.
🔑 Los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno son los números reales, las funciones y los límites, y ninguno de ellos estaba completamente establecido en el siglo XVII.
📈 El legado de los matemáticos griegos, como Euclides y Arquímedes, influenció en cómo los matemáticos del siglo XVII concebían la continuidad, la cantidad variable y el infinito.
🤔 La idea del infinito y el concepto de límite eran reticentes en el siglo XVII debido a la falta de un sistema aritmético completo y la rechazo a la idea del infinito por parte de los griegos.
📈📉 La geometría analítica, introducida por Descartes, fue un punto de inflexión que permitió la unión de la geometría y el álgebra, lo que llevó a la aparición de nuevas técnicas para estudiar curvas.
📝 El método de los indivisibles, desarrollado por Cavalieri, fue una técnica innovadora para calcular áreas y volúmenes, aunque fue criticado por su falta de rigurosidad dimensional.
📐 Los matemáticos como Roberval, Fermat, Wallis y Pascal contribuyeron a la evolución de los métodos de cálculo de áreas, empleando técnicas aritméticas y conceptos de infinitesimales.
📈 La cuadratura de arcos y curvas parabolicas y hiperbólicas fue un foco principal de investigación en el siglo XVII, con avances significativos por parte de varios matemáticos.
📝 Fermat introdujo el cociente incremental en 1637, que sería el precursor del concepto de derivada, aunque su enfoque era puramente algebraico y no relacionado con el infinitesimal ni el límite.
🔍 Barrow, el tutor de Newton, fue uno de los primeros en vislumbrar la relación inversa entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas, aunque no logró desarrollarla completamente.
🙏 El video termina rindiendo homenaje a Torricelli y Pascal, dos matemáticos destacados cuyos trabajos influyeron significativamente en el desarrollo del cálculo.

Q & A

¿Quiénes son considerados los creadores del cálculo?
-Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz son considerados los creadores del cálculo.
¿Cómo se describe el proceso de descubrimiento del cálculo en el script?
-El descubrimiento del cálculo se describe como la culminación de un largo proceso que se fue fraguando de forma gradual, con aportaciones sucesivas de varios matemáticos.
¿Cuáles son los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno?
-Los tres pilares fundamentales del cálculo matemático moderno son los números reales, las funciones y los límites.
¿En qué año se sistematizaron completamente los números reales?
-Los números reales no fueron completamente sistematizados hasta 1872, años en los que Dedekind y Cantor publicaron dos construcciones independientes de ellos.
¿Qué es la idea clave detrás del cálculo que Newton y Leibniz 'aislaron' de los resultados geométricos?
-La idea clave que Newton y Leibniz aislaron es que permitía convertir los resultados en fórmulas y los métodos en algoritmos.
¿Qué es el método de esta opción y cómo se relaciona con el cálculo?
-El método de esta opción es un esquema de razonamiento de doble reducción que se utilizó antes del cálculo para resolver problemas geométricos y que se relaciona con el cálculo en su forma de manejar el infinito.
¿Qué cambio revolucionario se produjo en la matemática con la introducción de los sistemas de coordenadas por Descartes?
-La introducción de los sistemas de coordenadas por Descartes fundó la geometría analítica, permitiendo estudiar objetos geométricos mediante simbolismo algebraico y transformar una curva en una ecuación que satisfacen las coordenadas de sus puntos.
¿Qué es el método de los indivisibles y cómo se relaciona con la cuadratura de figuras?
-El método de los indivisibles es una técnica para calcular cuadraturas, introducida por Cavalieri, que utiliza objetos geométricos de una dimensión menor para comparar y deducir áreas de figuras planas nuevas a partir de áreas o volúmenes conocidos.
¿Quién fue el primero en introducir el símbolo del infinito en matemáticas y en qué contexto?
-John Wallis fue el primero en introducir el símbolo del infinito en matemáticas, en su trabajo sobre la cuadratura de arcos parabólicos y su correspondencia con exponentes racionales.
¿Cuál fue la contribución de Fermat al cálculo diferencial y cómo se describe en el script?
-Fermat introdujo el cociente incremental en su método para investigar máximos y mínimos, lo que daría origen al concepto de derivada. El script describe este método como puramente algebraico y operacional, sin un uso explícito de conceptos de límite o infinitesimales.
¿Qué relación entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas fue vislumbrada por Barrow y cómo influenció a Newton?
-Barrow fue el primero en vislumbrar la relación inversa entre el cálculo de tangentes y las cuadraturas, aunque su conservadurismo por los métodos geométricos le impidió sacarle partido. Esta relación fue crucial para el descubrimiento posterior del cálculo por Newton.
¿Qué contribuciones destacadas se mencionan de Torricelli y Pascal al cálculo y por qué son importantes?
-Torricelli fue el primero en demostrar la cuadratura básica para exponentes internacionales y también realizó la cuadratura y construcción de la tangente de la circunferencia. Pascal, por su parte, con su teorema del hexágono y su correspondencia con Fermat, marcó el inicio de la teoría de probabilidades, y su tratado sobre los senos de los cuadrantes circulares fue crucial para el descubrimiento del cálculo integral.