Sistema de ecuaciones 3x3: Método de determinantes (Regla de Cramer)

MateFacil

7 Nov 201708:38

Summary

TLDREn este video tutorial de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes, también conocido como reglas de Kramer. Se calcula el determinante principal y luego los determinantes asociados a cada variable, para finalmente aplicar las fórmulas de Kramer y obtener las soluciones para las incógnitas x, y y zeta. El proceso se ilustra con pasos detallados, incluyendo el cálculo de las diagonales y la simplificación de fracciones, culminando con la solución verificada sustituyendo en las ecuaciones originales.

Takeaways

😀 El video ofrece una explicación detallada de cómo resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes o reglas de Cramer.
📚 Se menciona que las ecuaciones son de primer grado y es necesario calcular un determinante inicial con los coeficientes de x, y, z.
🔢 Se describe el proceso de calcular el determinante de una matriz 3x3, incluyendo la multiplicación de diagonales y el uso de signos negativos.
📝 Se ilustra cómo copiar los dos primeros renglones para facilitar el cálculo del determinante y se detallan los pasos para multiplicar las diagonales.
📉 El script muestra cómo calcular los determinantes menores para cada variable (x, y, z) reemplazando la columna correspondiente con los términos de la ecuación.
🔍 Se enfatiza la importancia de realizar operaciones matemáticas precisas al calcular los determinantes menores.
📌 Se calcula el determinante para cada variable y se presentan los resultados como números enteros o fracciones.
📑 Se utiliza la fórmula de la regla de Cramer para encontrar los valores de x, y, z dividiendo cada determinante menor por el determinante inicial.
🤔 Se invita a los espectadores a verificar la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.
👍 Se pide a los espectadores que apoyen el canal de video con un like, suscripción y compartiendo el contenido si les gustó el video.
💬 Se anima a los espectadores a dejar comentarios con preguntas o sugerencias si tienen alguna inquietud.

Q & A

¿Qué es el método de determinantes y cómo se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones 3x3?
-El método de determinantes, también conocido como reglas de Cramer, es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas. Se calcula un determinante principal y luego se calculan determinantes menores para cada variable, dividiendo cada determinante menor entre el principal para encontrar el valor de cada variable.
¿Cuántos coeficientes de 'x' se mencionan en el script y cuáles son?
-Se mencionan tres coeficientes de 'x': 2, 3 y 1.
¿Cómo se calcula un determinante 3x3 según el script?
-Para calcular un determinante 3x3, se copian los dos primeros renglones debajo del original, se multiplican las diagonales desde la esquina superior izquierda hacia abajo y se suman los productos de las diagonales con signo positivo, y se restan los productos de las diagonales con signo negativo.
¿Cuál es el resultado del determinante principal según el script?
-El resultado del determinante principal es -20.
¿Qué es un determinante de equis y cómo se calcula?
-Un determinante de equis es uno de los determinantes menores que se calcula al resolver un sistema de ecuaciones por el método de Cramer. Se calcula cambiando la columna correspondiente a la variable que se está buscando por los términos de la ecuación que se quiere resolver.
¿Cómo se calcula el determinante de 'x' mencionado en el script?
-Se calcula el determinante de 'x' cambiando la primera columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'x', es decir, por los números que están a la derecha de las ecuaciones.
¿Cuál es el resultado del determinante de 'x' según el script?
-El resultado del determinante de 'x' es -7.
¿Cómo se calcula el determinante de 'y' y cuál es su resultado según el script?
-Se calcula el determinante de 'y' cambiando la segunda columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'y'. El resultado es -12.
¿Cómo se calcula el determinante de 'z' y cuál es su resultado según el script?
-Se calcula el determinante de 'z' cambiando la tercera columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'z'. El resultado es -3.
¿Cómo se encuentran los valores de 'x', 'y' y 'z' utilizando la regla de Cramer según el script?
-Se divide cada determinante de equis por el determinante principal. Así, 'x' es -7 dividido por -20, dando como resultado 7/20. 'y' es -12 dividido por -20, dando como resultado 3/5. 'z' es -3 dividido por -20, dando como resultado 3/20.
¿Cómo se puede verificar si la solución es correcta según el script?
-Se puede verificar sustituyendo los valores encontrados de 'x', 'y' y 'z' en cada una de las tres ecuaciones del sistema y observar si se verifican las igualdades.

Outlines

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📚 Introducción al Método de Determinantes

El primer párrafo presenta el tema del video, que es resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes, también conocido como reglas de Kramer. Se describe el proceso de calcular el determinante principal, que involucra los coeficientes de las variables x, y, zeta, y se detalla el método para calcular un determinante 3x3, incluyendo la multiplicación de diagonales y el uso de signos negativos y positivos en las mismas.

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🔍 Procedimiento para Resolver el Sistema de Ecuaciones

El segundo párrafo continúa explicando el proceso de resolución del sistema de ecuaciones. Se calculan los determinantes para cada variable (x, y, zeta), cambiando respectivamente la columna correspondiente por los términos de la derecha de las ecuaciones. Se describen los pasos para realizar las multiplicaciones y sumas necesarias para obtener cada determinante, y se presentan los resultados obtenidos. Finalmente, se utiliza la regla de Kramer para encontrar las soluciones de las variables, mostrando las fórmulas y los pasos para simplificar las fracciones resultantes.

Mindmap

Keywords

💡Sistema de ecuaciones 3x3

Un sistema de ecuaciones 3x3 se refiere a un conjunto de tres ecuaciones algebraicas que involucran tres incógnitas. En el video, este concepto es fundamental, ya que el objetivo es resolver tales sistemas utilizando el método de determinantes. Se menciona que todas las ecuaciones son de primer grado, lo que significa que cada una es una línea recta en el plano o en el espacio tridimensional.

💡Método de determinantes

Este método es una técnica matemática para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se basa en el cálculo de un determinante, que es una cantidad que puede determinar si un sistema de ecuaciones tiene una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución. En el video, se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones 3x3.

💡Reglas de Cramer

Las reglas de Cramer son un conjunto de fórmulas que permiten encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales utilizando determinantes. Aunque no se menciona explícitamente en el script, el método de determinantes que se utiliza es en realidad una implementación de las reglas de Cramer, donde se calculan los determinantes asociados con cada variable para encontrar sus valores.

💡Determinante

Un determinante es una función matemática que se aplica a una matriz y proporciona un escalar, es decir, un número. En el contexto del video, el determinante es crucial para resolver el sistema de ecuaciones, ya que su valor determina la existencia y la naturaleza de las soluciones. Se calcula a partir de los coeficientes de las ecuaciones.

💡Diagonal

En álgebra, una diagonal es una línea recta que se extiende de un vértice de una forma a otro no adyacente, en el caso de un sistema de ecuaciones, se refiere a los productos de los elementos de la matriz que se encuentran en diagonal. En el script, se multiplican las diagonales para calcular el determinante de la matriz asociada con el sistema de ecuaciones.

💡Coeficientes

Los coeficientes son los números que multiplican las variables en una ecuación. En el video, los coeficientes de 'x', 'y' y 'zeta' son los valores que se colocan en la matriz para calcular el determinante, y son esenciales para la resolución del sistema de ecuaciones.

💡Matriz

Una matriz es una tabla de números o expresiones organizada en filas y columnas. En el tema del video, la matriz se forma con los coeficientes de las ecuaciones y es la base para calcular el determinante, que a su vez se usa para resolver el sistema de ecuaciones.

💡Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una que involucra una variable al primer poder (es decir, no se eleva a ningún exponente). En el video, se resuelven ecuaciones de primer grado, lo que significa que cada ecuación es de la forma ax + by + cz = d, donde 'a', 'b', 'c' y 'd' son constantes y 'x', 'y', 'z' son las incógnitas.

💡Fórmulas de la regla de Cramer

Las fórmulas de la regla de Cramer son las expresiones que se utilizan para calcular los valores de las variables en un sistema de ecuaciones lineales. En el script, se mencionan estas fórmulas al final del proceso de cálculo del determinante, donde se divide el determinante de cada variable entre el determinante del sistema completo para encontrar sus valores.

💡Solución del sistema

La solución del sistema se refiere a los valores específicos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. En el video, la solución se encuentra utilizando el método de determinantes y las reglas de Cramer, proporcionando los valores de 'x', 'y' y 'zeta' que resuelven el sistema de ecuaciones propuesto.

Highlights

El video presenta un método para resolver sistemas de ecuaciones 3x3 utilizando determinantes.

Se utiliza el método de determinantes, también conocido como reglas de Cramer.

Se describe cómo calcular el determinante de una matriz 3x3.

Se mencionan los coeficientes de x, y, z como 2, 3, 1 respectivamente.

Se explica el proceso de multiplicar las diagonales para calcular el determinante.

Se detallan los pasos para calcular el determinante, incluyendo las multiplicaciones y sumas necesarias.

Se enfatiza la importancia de los signos negativos en las diagonales alternas.

Se calcula el primer determinante, que resulta en -20.

Se describe el proceso para calcular el determinante de equis, cambiando la columna de los coeficientes de x.

Se calcula el determinante de equis, obteniendo un resultado de -7.

Se calcula el determinante de y, cambiando la columna correspondiente.

Se obtiene el determinante de y con un resultado de -12.

Se calcula el determinante de z, cambiando la columna de las zetas.

Se obtiene el determinante de z con un resultado de -3.

Se aplican las fórmulas de la regla de Cramer para encontrar los valores de x, y y z.

Se simplifican las fracciones obtenidas para x, y y z.

Se presentan los resultados finales del sistema de ecuaciones: x = 7/20, y = 3/5, z = 3/20.

Se invita a los espectadores a verificar la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Se pide a los espectadores que dejen sus preguntas o sugerencias en los comentarios.