Recurrence Relation | Solution of Recurrence Relation | Discrete Mathematics by Gp sir

Summary

The video script is an educational tutorial by a student named Rajendra Purohit, who discusses the concept of recursion and its applications in solving difference equations. He introduces the Fibonacci sequence as an example of a recursive relationship and explains how to derive and solve linear differential equations with constant coefficients. The tutorial delves into identifying the order of a recursive relationship, solving for its characteristic equation, and finding the general solution. It also covers methods to solve linear difference equations with constant coefficients, emphasizing the importance of understanding the roots and their implications on the solution's form. The script is aimed at engineering mathematics students and enthusiasts interested in recursion and its mathematical applications.

Takeaways

• 📚 The video is an educational content by a student named Rajendra Purohit, who discusses the concept of 'recurrence relations' and 'difference equations'.
• 🔍 Rajendra explains how to derive and solve difference equations, which are equations defining a sequence where each term is defined as a function of previous terms.
• 🔢 The video covers the Fibonacci sequence as an example of a recurrence relation, illustrating how each term is the sum of the two preceding ones.
• 📐 It discusses the order of recurrence relations, which is the number of previous terms that define the current term, and how to determine it from the given relation.
• 📈 Rajendra teaches how to solve linear recurrence relations with constant coefficients, which are a type of recurrence relation where the coefficients do not change between terms.
• 📝 The script explains the process of finding the characteristic equation from a recurrence relation and solving it to find the roots, which are crucial for determining the general solution.
• 🧮 It details the method of finding the particular solution to a recurrence relation by using the roots of the characteristic equation and forming a linear combination of terms.
• 📉 The video also touches on the concept of non-linear recurrence relations and how they differ from linear ones, leading to potentially more complex solutions.
• 📚 Rajendra provides examples and step-by-step solutions to various types of recurrence relations, including those with non-repeating and complex roots.
• 🔑 The importance of understanding the form of the solution (denoted as 'p' in the script) is emphasized, as it helps in identifying the correct terms to substitute into the difference equation.
• 👨‍🏫 The video concludes with an invitation for viewers to subscribe to the channel for more educational content on mathematics and competitive exam preparation.

Q & A

What is the main topic of the video?

The main topic of the video is 'Recursion', explaining what a recursive relationship is and how to solve the difference equations that arise from it.

What are the types of relationships discussed in the video?

The video discusses linear and non-linear recursive relationships, focusing on how to identify and solve the difference equations associated with them.

What is a Fibonacci sequence according to the video?

The Fibonacci sequence, as mentioned in the video, is a series where each term is the sum of the two preceding terms, starting from 1.

What is the order of a recursive relationship?

The order of a recursive relationship is the difference in the indices of the terms involved in the relationship, which is typically denoted by 'n'.

How does the video define a linear recursive relationship?

A linear recursive relationship is defined in the video as one where the highest power of the term does not exceed 1, and there are no products of different terms.

What is a difference equation as per the video?

A difference equation, according to the video, is an equation derived from a recursive relationship that can be solved to find the values of the sequence.

How are the roots of a quadratic equation used in the video to solve a recursive relationship?

The roots of a quadratic equation are used to form the general solution of a recursive relationship, which can then be simplified to find the specific terms of the sequence.

What is the role of constants in a recursive relationship?

Constants in a recursive relationship are the coefficients that, when determined, help in solving the difference equation and finding the sequence's terms.

How does the video explain solving a difference equation with constant coefficients?

The video explains that for a difference equation with constant coefficients, one must first find the characteristic equation's roots, then use these roots to form the general solution, and finally apply initial conditions to find the specific solution.

What are the steps to solve a recursive relationship with a constant term as shown in the video?

The steps include identifying the recursive relationship, forming the characteristic equation, finding its roots, determining the constants using initial conditions, and then substituting these values back into the general form to get the specific solution.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Recurrence Relations

The speaker, Rajendra Purohit, introduces the topic of recurrence relations, explaining the concept and how to solve the difference equations that arise from them. He uses the Fibonacci sequence as an example to illustrate a recursive relation and discusses how to derive and solve the associated difference equations, including the order of the relation and how to find its characteristic equation.

05:01

🔍 Solving Recurrence Relations with Constant Coefficients

This paragraph delves into solving linear recurrence relations with constant coefficients. The method involves finding the characteristic equation, determining its roots, and then using these roots to construct the general solution. The speaker provides a step-by-step approach to solving such equations, including handling cases with real and distinct roots, and explains how to simplify the solution to match the form of the given recurrence relation.

10:02

📈 Advanced Techniques for Solving Recurrence Equations

The speaker discusses advanced techniques for solving recurrence equations, including handling equations with non-constant coefficients and complex roots. He explains how to manipulate the equation into a solvable form and compares different methods for finding the particular solution. The paragraph also covers how to deal with imaginary roots and how to combine them to form the general solution of the recurrence relation.

15:04

📝 Solving Recurrence Relations with Power Functions

This section focuses on solving recurrence relations that involve power functions of the form p(n) = a1 * n + a2 * n^2 + ... + an. The speaker explains the process of equating coefficients to find the values of the unknowns a1, a2, ..., an. He also discusses how to simplify the equation and solve for the coefficients using a system of linear equations derived from the recurrence relation.

20:06

🔢 Detailed Steps for Solving Polynomial Recurrence Relations

The speaker provides a detailed explanation of how to solve polynomial recurrence relations, including the steps to find the characteristic equation and its roots. He demonstrates how to use the roots to construct the general solution and how to simplify it to match the specific form of the recurrence relation. The paragraph includes examples of solving second-degree and higher-degree polynomial recurrence relations.

25:06

🛠️ Practical Examples and Application of Recurrence Relations

In this paragraph, the speaker applies the concepts discussed to practical examples, showing how to solve specific recurrence relations that arise in various mathematical problems. He also touches on the application of these techniques in competitive exams and provides tips on how to approach such problems efficiently. The speaker encourages viewers to practice these techniques and offers additional resources for further learning.

🎓 Conclusion and Further Learning Resources

The speaker concludes the video by summarizing the key points covered in the discussion on recurrence relations and their solutions. He provides links and suggestions for further learning, including other videos on descriptive mathematics and graph theory. The speaker also invites viewers to subscribe to his channel and follow him on Instagram for more educational content.

Keywords

💡Recursion

Recursion in the context of this video refers to a method of problem-solving where the solution depends on solutions to smaller instances of the same problem. It is a fundamental concept in computer science and mathematics, particularly in the study of sequences and algorithms. The video discusses how to derive and solve recursive relationships, which are integral to understanding the theme of the video.

💡Sequence

A sequence is an ordered list of numbers or terms. In mathematics, sequences can be finite or infinite and are often defined by a specific rule or pattern. The video script mentions sequences in the context of recursive relationships, such as the Fibonacci sequence, where each term is the sum of the two preceding ones.

💡Recursive Relation

A recursive relation is an equation that defines a term of a sequence in terms of its preceding terms. The video explains how to identify and work with recursive relations, which is central to solving problems involving sequences and series. For example, the script describes how each term in a sequence can be related to the term before it, which is a basic form of a recursive relation.

💡Differential Equation

Differential equations are equations that involve derivatives, which describe the rates of change in various quantities. In the video, differential equations are mentioned in passing, indicating that the concepts discussed can be applied to a wide range of mathematical problems, including those in physics and engineering where rates of change are important.

💡Solving

Solving, in a mathematical context, refers to the process of finding the solution to a problem or equation. The video script discusses various methods of solving, particularly in relation to recursive and differential equations. The term is used to describe the process of finding the values of unknowns that satisfy the given conditions.

💡Linear

Linearity in mathematics implies a direct proportionality between variables, often in the form of a straight line when graphed. The video mentions linear recursive relations, which are a type of sequence where each term can be expressed as a linear combination of the previous terms, indicating a straightforward relationship.

💡Coefficient

In mathematics, a coefficient is a numerical factor that multiplies a variable in an equation. The script refers to coefficients in the context of recursive relations, where they determine the weight or influence of each term in the sequence. For example, the video explains how constants coefficients affect the solution of linear differential equations.

💡Roots

Roots of an equation are the values of the variable that make the equation true, often found by setting the equation equal to zero and solving for the variable. The video script discusses finding roots in the context of solving quadratic equations, which are essential for determining the values that satisfy the equation.

💡Tangent

The tangent function is a trigonometric function that relates the angle of a right triangle to the ratio of the opposite side over the adjacent side. In the video, tangent is mentioned in the context of finding angles, specifically when dealing with complex roots and their inverses, which is relevant in solving certain types of equations.

💡Solving Recursion Relation

Solving a recursion relation involves finding a general formula that describes the sequence without relying on the recursive definition. The video provides examples and methods for solving such relations, which is a key part of understanding how sequences develop over time and how to predict future terms.

💡Characteristic Equation

A characteristic equation is used in solving linear homogeneous recurrence relations with constant coefficients. It is derived from the recurrence relation and helps in finding the form of the solution. The video script mentions the characteristic equation as a tool for solving linear recursive relations, which is crucial for understanding the behavior of the sequence.

💡Polynomial

A polynomial is an algebraic expression consisting of variables and coefficients, involving only the operations of addition, subtraction, multiplication, and non-negative integer exponents of variables. The script refers to polynomials in the context of solving equations and finding roots, which is a common mathematical process for analyzing functions and their properties.

Highlights

Introduction to the concept of recurrence and its relation to difference equations in engineering mathematics.

Explanation of how to derive and solve the characteristic equation from a recurrence relation.

Discussion on the Fibonacci sequence as an example of a recurrence relation and its properties.

Clarification on the order of a recurrence relation and its significance in solving difference equations.

The importance of linearity in recurrence relations and how it relates to linear differential equations.

Introduction to the concept of constant coefficients in linear recurrence relations.

Methods to solve linear recurrence relations with constant coefficients.

The role of roots in determining the general solution of a recurrence relation.

How to handle repeated roots in the characteristic equation of a recurrence relation.

Solving recurrence relations with non-repeated and complex roots.

The application of initial conditions in finding the particular solution of a recurrence relation.

Techniques for solving higher-degree recurrence relations and their simplification.

The use of polynomial coefficients in determining the form of the solution to a recurrence relation.

How to approach solving recurrence relations with non-linear characteristics.

Practical examples of solving recurrence relations using specific sequences and series.

The significance of understanding the order and degree of recurrence relations in engineering applications.

Final thoughts on the importance of recurrence relations in the field of engineering mathematics and problem-solving strategies.

Transcripts

फल स्टूडेंट मेरा नाम दो राजेंद्र पुरोहित

है और आप देख रहे हैं हमारा युटुब चैनल

जहां पर मैं वीडियो अपलोड करता हूं पर

इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स बीएससी स्टूडेंट

आज मैं आपके सामने पढ़ना वाला हूं रिकरेंस

रिलेशन क्या होता है प्लस इससे बने वाली

जो डिफरेंस इक्वेशन होती है उसको हम कैसे

सॉल्व करते हैं उसका ca4pi कैसे निकलते

हैं ये सब मैं डिस्कस करने वाला हूं तो

स्टूडेंट चलिए देखते हैं

[संगीत]

सो स्वीट रिलेशनशिप क्या होता है लेट हैं

बी डी सीक्वेंस और एक्शन कनेक्टिंग इन विद

डी फाइनेंटे नंबर ऑफ अदर टर्म्स लाइक ए

माइंस वन ए - 2 एन - के मतलब कोई भी अगर

हमारे पास एक टर्म है वो दूसरी टर्म के

साथ यहां पे रिलेशन होती है डेन सच टाइप

ऑफ रिलेशनशिप इस नॉन आज एन एरिक रिसर्च

रिलेशन पर एग्जांपल जैसे मैं आपके सामने

बताना छह रहा हूं की मां लीजिए हमारे पास

यहां पे एन टर्म है तो एन से पहले वाली

टर्म हमारे पास ये र गई राइट तो मैं बताना

चाहता हूं की जैसे बाई चेस कोई भी हमारे

पास सीक्वेंस है मां लीजिए ये हमारे पास

कोई सीक्वेंस है a1 a2 जिसकी ये टर्म

रहेगी राइट ए एन - 1 ए एन और दें ये ए रहा

है हमारे पास ए + 1 इस टाइप के हमारे पास

कोई भी टर्म हो रही है राइट तो इसकी कोई

टर्म जैसे मां लीजिए ये हमारे पास ए और

प्लस वाले टर्म है तो ये इसकी प्रीवियस

टर्म के साथ रिलेशन में लिखी जा रही है

अगर इसका मतलब इसकी जो वैल्यू है इसकी

प्रीवियस टर्म से रिलेशन में बंटी है जैसे

मैं आपके सामने बोलना चाहता हूं की मां

लीजिए एन + 1 = हमारे पास ए रहा है एन

प्लस तू ए एन - 1 राइट तो यार ये हमारे

पास क्या होगा एक आरईसी रिलेशन होगा राइट

यह ध्यान देने की जरूर है की कोई भी

सीक्वेंस है उसकी कोई भी टर्म है तो उसकी

वैल्यू उसकी प्रीवियस टर्म के रिलेशन से

निकलते है सच रिलेशन इस नॉन आज ए रिकरेंस

रिलेशन राइट मैं आपके सामने एग्जांपल देता

हूं जिससे ये फीवाना की सीक्वेंस होती है

फिबाने की सीक्वेंस क्या होती है की इसकी

जो भी नेक्स्ट टर्म होती है वो उसकी

प्रीवियस टर्म के रिलेशनशिप से बंटी है

जैसे मां मां लीजिए वन है तो वन को

जोड़ेंगे तो वन ही आएगा फिर इन दोनों को

जोड़ेंगे तो तू आएगा फिर इन दोनों को

जोड़ेंगे तो थ्री आएगा फिर इन दोनों को

जोड़ेंगे तो फाइव आएगा इन दोनों को

जोड़ेंगे तो इसका यहां पर रिलेशन का रहा

है ए एन = ए - 1 + एन - 2 सो यार ये क्या

हो रहा है एक रेफरेंस रिलेशन रहा है इस

टाइप का जो रिलेशन होता है वो हमारे पास

क्या होता है रिकरेंस रिलेशन होता है ऐसा

हम यहां पे जब हम स्पेशल फंक्शन पढ़ने हैं

जहां पर बेस्ट सेल और लीजेंडरी में

रिकरेंस रिलेशन होता है वो इसी टाइप का

यहां पे होता है राइट अब मैं आपको बताना

छह रहा हूं की जो भी हमारे पास रिकरेंस

रिलेशन होता है उससे बने वाली जो हमारे

पास इक्वेशन होती है वो हमारे पास क्या

कहलानी है डिफरेंस इक्वेशन कहलानी है जैसे

ये हमारे पास क्या एक डिफरेंस इक्वेशन

राइट अब ये जो डिफरेंस इक्वेशन होती है

एक्जेक्टली लाइक डिफरेंशियल इक्वेशन टाइप

की तो नहीं होती है पर हां उसे तरीके से

यहां पे सॉल्यूशन निकाल सकते हैं ऑर्डर ऑफ

रेफरेंस रिलेशन तो जो भी हमारे पास

ऑर्डर क्या है तो यहां पे होता है ऑर्डर

ऑफ रेफरेंस

शफी का सफिक्स जैसे मैं आपके सामने बोलना

छह रहा हूं की ये हमारे पास कोई

रिकॉग्नाइज रिलेशन दे रखा है तो इसका जो

ऑर्डर आएगा वो क्या आएगा सुन ये इसका

सिर्फ फिक्स है ये सबसे बड़ा सिक्स है और

ये सबसे छोटा सा विकसित तो इनका जो

डिफरेंस होगा वो हमारे पास क्या होगा लाइक

इन दोनों का डिफरेंस ले लीजिए है ना तो

यार इसका डिफरेंस निकलेंगे तो वो हमारे

पास क्या आएगा तू तो यार ये हमारे पास

क्या आएगा ऑर्डर ऑफ रेफरेंस रिलेशन हो

जाएगा तो इस तरह से हम यहां पे ऑर्डर

निकलते हैं आगे बढ़ते हैं

अब बात करेंगे लाइनर रिकरेंस रिलेशन जैसे

हमारे पास लाइनर डिफरेंशियल इक्वेशन होती

है वहां पे ए जो डी है डी / डीएस से d2y /

dx² है उसकी कोई डिग्री मतलब एक हनी चाहिए

एक से ज्यादा नहीं हनी चाहिए प्लस ये

प्रोडक्ट में नहीं होना चाहिए इसी टाइप से

यहां पे लाइनर एक्विजिशन का कॉन्सेप्ट भी

यही है की जो भी हमारे पास सीक्वेंस की

टर्म है उसका कोई स्क्वार्ट हम नहीं होना

चाहिए कब टर्म नहीं होना चाहिए दो हमारे

पास तो हम आपस में प्रोडक्ट में नहीं होने

चाहिए अगर ऐसा हमारे पास रेफरेंस रिलेशन

होता है तो यार वो हमारे पास क्या होता

लाइनर होता है अगर प्रोडक्ट में है या

इसको एटम है तो नॉन लाइनर सॉल्यूशन हो

जाता है तो यार ये हमारे पास क्या होगा एक

लाइनर रिग्रेंस रिलेशन होगा अब लाइनर

रिकॉग्नाइज्ड रिलेशन विथ कांस्टेंट

कॉएफिशिएंट का मतलब क्या होता है की जो भी

हमारे पास रिक्वेस्ट रिलेशन दे रखा है

उसकी जो कॉफिशिएंट्स हैं वो हमारे पास

क्या होने चाहिए कांस्टेंट होने चाहिए तो

सच रेखाएं इस नॉन आज है कांस्टेंट

कॉएफिशिएंट इरिगेशन राइट और इसको हम इस

तरह से यहां पे लिख सकते हैं सेशन बात

करेंगे जो भी हमारे पास लाइनर रिक्वेस्ट

रिलेशन होता है विद कांस्टेंट कॉएफिशिएंट

उसको सॉल्व कैसे करते हैं जैसे हम

डिफरेंशियल इक्वेशन विद कांस्टेंट

कॉएफिशिएंट सॉल्व करते हैं इस टाइप का

हमारे पास यहां पे कॉन्सेप्ट होता है यहां

का पर पी निकलेंगे मतलब जो भी हमारे पास

रेफरेंस रिलेशन दे रखा है जैसे मैं आपके

सामने एक एग्जांपल देता हूं की मां लीजिए

हमारे पास यहां दे रखा है एन + 3 ए एन - 1

+ 2 ए एन - 2 ये हमारे पास दे रखा है

बराबर जीरो दे रखा है तो इस पार्ट का जो

आंसर होता है ये कफ होता है और इस पार्ट

का आंसर हमारे पास यहां पे क्या होता है

पी होता है अगर विचार जैसे मैं आपके सामने

वो लोग यहां पे जीरो की जगह हमारे पास मां

लीजिए ये दे दिया जाए n² + एन + 1 तो फिर

इस पार्ट का जो आंसर आएगा वो हमारे पास

क्या आएगा सुन पिया आएगा दें फाइनल आंसर

जो होगा वो हमारे पास क्या होगा का प्लस

पी होगा अब मैं आपको बताना छह रहा हूं की

मां लीजिए सबसे पहले मैं आपको कफ का

कॉन्सेप्ट समझता हूं की अगर हमारे पास

यहां पे जीरो ए रहा है तो कैसे हम यहां पे

इस शिकरण से रिलेशन को सॉल्व करेंगे

क्योंकि हमारे पास एक कांस्टेंट क्वेश्चन

रेफरेंस रिलेशन है तो सबसे पहले हम इसके

एग्ज़ीलियरी इक्वेशन निकलते हैं फिर उसके

बाद इसके रूट निकलते हैं अगर इसकी रूट सब

के सब रियल और डिस्टिंक्ट है तो फिर इसका

ये हमारे पास क्या होता है इसका कफ होता

है लिखने का तरीका जैसे मैं आपके सामने

एग्जांपल देता हूं की यार ये हमारे पास

कोई इक्वेशन दे राखी है रिकॉग्निशन दे रखा

है तो कैसे इसको सॉल्व करेंगे तो यहां पर

करने का तरीका होता है वो ये होता है फिर

मैं आपको तरीका बताऊंगा ए इनको हम एक्स

पावर एन रख देंगे यहां पे और इसके

एक्सिलोरेशन निकलेंगे तो एक्स एन आएगा दें

थ्री एक्स एन - 1 आएगा प्लस तू एक्स एन -

2 आएगा इस इक्वल तू जीरो इसमें यहां पे

क्या करेंगे हम एक्स पावर एन - 2 को आम

निकाल लेते हैं तो ये आएगा हमारे पास x² +

3x + 2 = 0 ये 0 में चला गया ये हमारा

हमारा जीरो के बराबर रख देंगे तो x² + 3x

+ 2 = 0 दोस्तों एक्स की वैल्यू हमारे पास

ए जाएगी -1 और -2 तुम दोनों वैल्यू

डिस्टिंक्ट ए रही है और रियल ए रही है तो

इसका जो हमारे पास कफ होगा वो ऐसे लिखेंगे

इन = यहां पे a1 और ये आएगा माइंस वन पावर

एन + a2 इस सुनिए आएगा -2 पावर एन तो यार

इस तरह से यहां पे हम इसको सॉल्व करते हैं

अब बात करते हैं की अगर हमारे पास जो रूट

ए रहा है वो इक्वल ए रहा है तो कैसे

करेंगे दोस्तों मैं आपके सामने एक

रेगुलेशन लेट हूं मां लीजिए रीक्रिएशन

हमारे पास ए एन है प्लस 4 ए एन - प्लस वन

प्लस फोर माइंस तू मां लीजिए ये हमारे पास

कोई रेफरेंस सॉल्यूशन ए रहा है और उसको

मैं सॉल्व करना है तो मैं आपको बताना छह

रहा हूं इसका सीधा लिखेंगे हम ए इनको एक्स

और ले लेंगे तो फिर ये हमारे पास ए जाएगा

स्टूडेंट x² + 4x + 4 या इसको हम एम ले

लीजिए m² + 4m + 4 हो जाएगा बराबर जीरो

रखेंगे इसमें इसको सॉल्व करेंगे यहां पे

तो हम जानते हैं यहां पे हमारे पास एक्स

की वैल्यू क्या ए जाएगी - 2 एन - 2 आएगा

दोनों रिपीट कर रहा है और जब भी रिपीट

करता है तब भी हमारे पास यहां पे एन आता

है प्लीज कनेक्ट दिस इस एन राइट ये हमारे

पास एन आएगा तो स्विच का जो हमारे पास कैफ

आएगा वो क्या आएगा स्टूडेंट तो कफ आएगा इन

= एक्चुअली इन की जगह हम ए एन लिखेंगे

यहां पे क्योंकि जो हमारे पास सॉल्यूशन

आएगा वो एन फॉर्म में आएगा दोस्तों आप

इसको ए एन लिख दीजिए ज्यादा अच्छा रहेगा

यहां पे है ना तो जो कफ आएगा वो हमारे पास

ए एन आएगा तो यहां पे हमारे पास जो कफ

आएगा वो क्या आएगा सुन एन आएगा यहां पे है

ना तो इसमें ये हमारे पास क्या आएगा ए एन

= यहां पे इसका जो सॉल्यूशन आएगा वो आएगा

हमारे पास a1 +

a2n -1 -2 पावर है सुन यह हमारे पास क्या

आएगा इसका सॉल्यूशन आएगा और इस तरह से

यहां पे इसको हम यहां पे क्या करते हैं

सॉल्व करते हैं अब बात करेंगे स्टूडेंट

अगर हमारे पास जो रूट ए रहे हैं वो परिसर

नंबर ए रहे हैं और नॉन रिपेंटेड ए रहे हैं

तो यार उसे वाले कैसे में हम यहां पे क्या

करते हैं देखिए सेशन यहां पे क्वेश्चन

लेंगे ये आएगा एन प्लस तू ए एन - 1 + 4 एन

- 2 = 0 मां लीजिए ये हमारे पास कोई

डिफरेंस इक्वेशन है और इसको हम सॉल्व

करेंगे तो यहां पे क्या करेंगे इसको

नॉर्मली हम यहां पे क्या करते हैं यहां पे

x² ए जाता है वही एक्स पावर और करेंगे जो

मैंने बताया वही तरीका है ना 2x ए जाएगा

एन + 4 = 0 इसको वैल्यू निकलेंगे रूट

निकलेंगे तो हमारे पास यहां पे इसकी जो

रूट आएंगे वो क्या आएंगे स्टूडेंट एक्स =

-2 + - सुनिए b² डेट इस हमारे पास 4 - 4ac

तो ये हमारे पास 16 ए जाएगा डिवाइड / 2 तो

यार हमारे पास ये वैल्यू आएगी माइंस का तू

प्लस माइंस का 12 आएगा तो ये आएगा हमारे

पास 3 ये आएगा हमारे पास 2√3 आईओटीए

डिवाइडेड बाय तू हो जाएगा इसको जब

सिंपलीफाई करेंगे हम तो सुनिए आएगा माइंस

का वन प्लस माइंस रूट 3 हमारे पास क्या

आएगा सुन इसकी रूट ए जाएंगे क्लियर है अब

मैं बताना छह रहा हूं की अब हमें यहां पे

क्या करना है इसका जो लाइक कफ लिखने का

तरीका होता है ये होता है हमें आर चाहिए

तो सुन यार ये हमारे पास अल्फा है तो

अल्फा हमारे पास -1 दे रखा है और बीता

हमारे पास यहां पे √3 दे रखा है तो हम

क्या करेंगे आर की वैल्यू निकलेंगे तो ये

आएगा alpha² + बेटा स्क्वायर तो ये आर

हमारे पास यहां पे इसकी वैल्यू क्या आएगी

थ्री अल्फा स्क्वायर थ्री आएगा प्लस वन तो

स्टूडेंट ये हमारे पास 2 हो जाएगा नो इसका

तीता निकाल लेते हैं तो तीता हमारे पास

क्या होता है तन इन्वर्स बीता / अल्फा

राइट ये हमारे पास फॉर्मूला होता है तो

इसको सॉल्व करेंगे तो सुनिए आएगा 10-1

हमारे पास √3 / -1 होगा तो इसमें ये हमारे

पास आएगा tan⁻¹

- √3 हो जाएगा दोस्तों इसकी जो वैल्यू

होती है सेकंड क्वाड्रेट में आएगा और π -

π/3 होता है तो दोस्तों यहां पे हमारे पास

इसकी जो वैल्यू होगी वो क्या होगी 2π/3 हो

जाएगा अब इसमें ये वैल्यू उठा के हम यहां

रखते हैं तो हमारे पास तो आंसर आएगा वो

आएगा ए एन = आर की वैल्यू हमारे पास यहां

पे क्या है आर है हमारे पास ए रहा है तू

ये आएगा 2 पावर एन और यहां से आएगा ए वन

कस एन 2π/3 हो जाएगा प्लस यहां पे a2 आएगा

सन और 2π/3 हो जाएगा तो सुन ये हमारे पास

क्या आएगा इसका कफ होगा इस तरह से आप इसको

हम यहां पे सॉल्व करते हैं सुजान बात

करेंगे यहां पे क्वेश्चन पूछा जा रहा है

की सॉल्व डी रेफरेंस रिलेशन दिस तो यहां

पे हम यही करेंगे यहां पे स्टूडेंट यहां

पे ए = एक्स एन हो जाएगा तो नॉर्मली ये x²

- 3x + 2 टाइप का ए जाएगा जो मैंने बताया

इस इक्वल तू जीरो दें सॉल्व करेंगे तो

हमारे पास रूट आएंगे 2 और 1 और स्टूडेंट

यहां पे इस तरह से इसका क्या ए जाएगा कफ ए

जाएगा इस तरह से हम यहां पे इसको सॉल्व कर

सकते हैं सुना आगे बढ़ते हैं अब कैसे इसका

पी निकलते हैं पी बहुत इंपॉर्टेंट होता है

ये मतलब सिलेक्टेड चीज जो आपको याद रखना

की जरूर है यहां पे जो हमारे पास फंक्शन

होगा वो एन की टर्म में होगा राइट या तो

हमारे पास एन हो जाएगा या फिर n² ए जाए या

फिर एन ए जाए या फिर एन ए एन ए जाए ये तीन

टाइप के नॉर्मली कर टाइप के नॉर्मली

कृष्णा एग्जाम में पूछ ले जाते हैं अब मैं

आपको बताना चाहूंगा अगर हमारे पास फंक्शन

एन इस टाइप का दे रखा है राइट तो इसका जो

ये का फॉर्म होता है वो p1 और प्लस p2

होता है अब एग्जांपल लेट हूं और एग्जांपल

तो समझने की कोशिश करता हूं मां लीजिए

हमारे पास कोई इक्वेशन दे राखी ए प्लस

यहां पर हमारे पास दे रखा है ये 4a - 1 +

4a - 2 = यहां पे हमारे पास दे रखा है ये

एन + 1 मां लीजिए एस आर है ना बिकॉज़ एन

दे रखा फंक्शन ऑफ एन आईटी मेंस ये एन + 1

भी हो सकता है 2n + 1 भी हो सकता है कुछ

भी हो सकता है राइट तो सर इसका सबसे पहले

हम क्या निकलेंगे इसका कफ निकलेंगे तो कफ

तो मैंने बताया दिया है यहां पे इसके

एक्सिलोरेशन लिखेंगे यदि x² + 4x + 4 = 0

इसमें हम जानते हैं यहां पे इसकी एक्स की

वैल्यू क्या ए जाएगी - 2 एन - 2 आएगा तो

इसका जो कफ आएगा वो हमारे पास क्या आएगा

सुन ए एन = ये ए जाएगा हमारे पास a1 + a2n

- 2 पावर एन ए जाएगा सुनिए तो इसका कफ ए

जाएगा अब बात करेंगे इसका पी कैसे निकलते

हैं में जो बात हो रही है वो पी की हो रही

है इसमें जब पी निकलते हैं तो यार ये

हमारे पास क्या होगा इसका पी का फॉर्म

होता है राइट तो जो भी हमारे पास पी आई

होगा वो इस डिफरेंस इक्वेशन को क्या करेगा

सेटिस्फाई करेगा राइट तो हम ये जो p1 और

प्लस p2 इसको हर यहां पर टर्म में रखते

हैं ना तो चूंकि इसका जो पी का फॉर्म होगा

वो हमारे पास क्या होगा p1 और प्लस p2

टाइप का होता है तो इसको बराबर एन मां

लेंगे यहां पे और ए एन बराबर मां के इसको

यहां पे क्या करेंगे हम पट करेंगे राइट है

ना जो भी हमारे पास पी का फॉर्म होता है

ये थोड़ा सा स्पेशल तरीका है इसको सॉल्व

करने का ये मैं ये हमें याद रखना पड़ेगा

राइट हमें क्या करना है स्टूडेंट जो भी इस

हमारे पास यही का फॉर्म ए रहा है उसको हम

क्या करेंगे इस तरीके से लिस्ट में पट

करेंगे और फिर कंपेयर करेंगे तो फिर यहां

पे इसको पट करता हूं मैं तो जैसे मैं इसको

पट करूंगा मैं थोड़ा सा चेंज कर लेट हूं

इसलिए यहां पे मैं पट करता हूं तो ये आएगा

हमारे पास p1 और प्लस पी तू हो जाएगा प्लस

इसमें ये आएगा फोर यहां पे एन - 1 है तो

ये ए जाएगा p1 और -1 + p2 हो जाएगा प्लस

यहां पे एन - 2 है तो सनी आएगा फोर पी एन

-

2p1n - 2 + यहां पे क्या ए जाएगा हमारे

पास p2 हो जाएगा और इसको हम कंपेयर करेंगे

एन + 1 से राइट अब इसमें यहां पे जहां तक

भी हमारे पास p1 की टर्म है इसको हम एक

साथ ले लेट हूं p1 की टर्म हमारे पास एक

तो यहां ए रही है या एक कम करते एन का

कॉएफिशिएंट है मतलब मैं p1 से मतलब नहीं

है तो हम एन का कॉफिशिएंट राहत है तो इसने

एन का कॉएफिशिएंट तो यहां पे ए रहा है एक

एन का कॉफिशिएंट हमारे पास ये ए रहा है

डेट इस 4p1 राइट और एक एन का कॉफिक्शन

हमारे पास यहां पे ए रहा है डेट इस अगेन

फोर पी वन राइट ये हमारे पास एन का

कॉएफिशिएंट ए रहा है अब बात करेंगे

स्टूडेंट कांस्टेंट का रहा है तो स्टूडेंट

कांस्टेंट हमारे पास एक तो यहां ए रहा है

p2 एक हमारे पास यहां पे ये ए रहा है सुन

क्या ए रहा है माइंस का 4p1 आएगा यहां पे

है ना क्योंकि p1 जब इससे मल्टीप्लाई होगा

ये आएगा माइंस का 4p1 प्लस यहां पे हमारे

पास ये 4p2 ए जाएगा अब नेक्स्ट यहां पे हम

देखते हैं तो सी नहीं आएगा हमारे पास जब

p1 इस -2 से मल्टीप्लाई होगा तो माइंस का

8 ए जाएगा तो - 8 p1 होगा और सो यहां पे

हमारे पास ये 4p2 हो जाएगा राइट ये हमारे

पास कांस्टेंट टर्म आएगी एन + 1 अब इसमें

हम जानते हैं की ये जो टर्म है ये इसके

कॉफी के बराबर होगी इसका कॉफिशिएंट वन ए

रहा है तो हमारे पास पी वन फोर पी वन और

फोर पी वन दोस्तों ये आएगा 9:00 p1 बराबर

किसके हो जाएगा वन के हो जाएगा तो यार p1

की वैल्यू हमारे पास क्या आएगी 1/9 हो

जाएगी अब इसको यहां पे इसको लेते हैं तो

सबसे पहले देखते हैं की हमारे पास p2 p2

कितना है तो ये

द्वारा यह चार और यह कर

नाइन p2 ए रहा है हमारे पास और यहां पे

क्या ए रहा है आठ और कर 12 तो सनी ए रहा

माइंस का 12 p1 = ये किसके बराबर होगा

कांस्टेंट टर्म के बराबर हो जाएगा अब

इसमें p1 की वैल्यू हमारे पास क्या दे

राखी है 1 / 9 दे राखी है तो 9:00 p2 और

ये हमारे पास आएगा 12 / 9 = 1 दें 9 p2 =

हमारे पास आएगा 1 + 12 / 9 तो दोस्तों

यहां पे इसको सॉल्व करेंगे तो 9 और 12

हमारे पास क्या आएगा स्टूडेंट 21 / 9 हो

जाएगा सो कैंसिल करेंगे तो यार ये साथ

आएगा और ये हमारे पास थ्री आएगा और 9 को

डिवाइड कर देंगे तो p2 = हमारे पास 7 / 27

हो जाएगा राइट अब ये p1 और p2 की वैल्यू

उठा के हम यहां रख देंगे तो इसको इसका जो

पी आएगा है ना मतलब इस डर का जो पी आएगा

यहां पे कुछ नहीं करना ये p1 और p2 की

वैल्यू उठाके और रख दीजिए तो p1 की वैल्यू

हमारे पास 1 / 9 ए रही है तो एन * 1 / 9 +

सुन यहां पे ये कितना ए रहा है 7 बाय 27

ये आर ये हमारे पास क्या आएगा इसका पी

आएगा इस तरह से आप इसको सॉल्व करते हैं

अगर हमारे पास एन टाइप का फंक्शन ए रहा है

तो हमें एन की जगह ये पट करना पड़ेगा फिर

मैं कंपेयर करके p1 p2p3 की वैल्यू

निकालनी पड़ेगी अगर हमारे पास जो फंक्शन ए

रहा है वो ए पावर एन टाइप का ए रहा है तो

उसे वाले कैसे में ये रखना पड़ेगा जैसे

मैं आपके सामने एक और एग्जांपल बताता हूं

मां लीजिए ये हमारे पास दे रखा है एन +

यहां पे हमारे पास ए रहा है फोर ए माइंस

वन प्लस फोर ए एन - 2 = मां लीजिए इस टाइप

का हमारे पास ए रहा है डेट इस n3 की पावर

एन राइट इस टाइप का अगर हमारे पास ए रहा

तो के से हम इसका पी निकलेंगे राइट तो सर

इसका जो पी का फॉर्म होता है वो हमारे पास

इस टाइप का होता है क्लियर है मैं का की

बात कर रहा हूं कफ तो आपको बता दिया मैंने

है ना तो सिर्फ इसका जो पी होगा वो हमारे

पास वे नो डेट डी पी आ डी फॉर्म ऑफ पी इस

इक्वल तू दिस है ना तो इसको हम ले लेंगे ए

एन = p1 और प्लस p2 * 3 पावर है इस यहां

पे ये ए जो है वो यहां पे लिखना पड़ेगा अब

इसमें ये जो वैल्यू इसको उठा के हम यहां

यहां रखें कंपेयर करेंगे वहां से p1 p2 की

वैल्यू मिल जाएगी दोस्तों ये वैल्यू उठाके

मैं यहां रखना हूं मैं थोड़ा कलर चेंज

करता हूं ताकि आपको समझ में आया पोजीशन

में नहीं रखा तो ये आएगा पी वन और प्लस पी

तू इन थ्री पावर एन ए जाएगा प्लस यहां पे

ये एन - 1 है तो 4 इसमें नहीं आएगा p1 एन

- 1 + p2 * ये आएगा थ्री पावर एन - 1 हो

जाएगा राइट + सनी आएगा 4 और यहां पे इसकी

वैल्यू रखेंगे p1 एन - 2 + p2 * 3 पावर एन

- 2 = ये n3 पावर एन हो जाएगा राइट सो

यहां पे क्या करेंगे हम लोग ये लिखेंगे p1

एन + p2 और ये हमारे पास आएगा सुन 3 पावर

एन ए जाएगा प्लस सुन यहां पे पहले इसको

सिस्टमैटिक कर लेते हैं तो ये आएगा p1 और

- p1 + p2 और स्टूडेंट जो 3 पावर एन - हा

को लिख देता हूं थ्री पावर एन / 3 लिख

देता हूं प्लस इसमें यहां पे इसको देखेंगे

तो 4 ये आएगा हमारे पास p1n - 2p1 + p2

इसमें मैं लिख दूंगा इसको 3 पावर एन अपन

नाइन इसे इक्वल तू एन थ्री पावर एन राइट

ये हमारे पास ए रहा है अब इसमें n3 और

इनकी जो टर्म इसके साथ इसको कंपेयर करेंगे

तो सुन n3 पावर एन की टर्म हमारा एक तो

यहां से मिलेगी तो क्या करता हूं मैं एन

आम निकाल लेट हूं एन थ्री पावर एन आम

निकाल लेते हैं तो यहां पे p1 ए जाएगा

राइट और यहां पे भी ये n3 पावर एन की टर्म

आएगी तो ये आएगा हमारे पास 4 / 3p1

क्योंकि ये फोर भी है और ये थ्री है राइट

नेक्स्ट हमारे पास यहां पे भी टर्म आएगी

स्टूडेंट तो ये टर्म हमारे पास क्या आएगी

एन ये भी एन की टर्म आएगी तो 3 / 9 आएगा

f4 / 9 आएगा तो 4 / 9 p1 ए जाएगा सुनो

हमारे पास यहां पे सोचो हम क्या करेंगे

यहां पे जो भी हमारे पास लाइक एन की

कॉएफिशिएंट की टर्म नहीं है उसको हम अलग

लिख लेते हैं तो यहां पे एक तो हमारे पास

आएगा p2 है ना जिसमें एन का कॉफिशियल नहीं

ए रहा है सुन यहां पे भी एन का कॉफिशिएंट

नहीं ए रहा तो वो हमारे पास आएगी माइंस का

इसको मैं लिखूंगा माइंस का पी वन बाय थ्री

और प्लस का

4p2/3 ए जाएगा इसी टाइप से यहां पे हमारे

पास ये टर्म आएगी तो सिर्फ 4 हो जाएगा और

ये नाइन जाएगा तो ये आएगा माइंस का 8p1 /

9 और नेक्स्ट हमारे पास आएगा फोर पी तू

बाय नाइन ये हमारे पास टर्म ए जाएगी इसे

इक्वल तू एन थ्री पावर एन आएगा तो जो n3

पावर एन कॉएफिशिएंट आएगा वो इसकी

कॉफिशिएंट के साथ इक्वल होगा और ये टर्म

का जो कॉफिश ए ही नहीं रहा है तो यार ये

जीरो के बराबर है कंपेयर करेंगे हम राइट

तो इसका जो हमारे पास कॉएफिशिएंट आएगा वो

क्या आएगा मैं इसको थोड़ा सा रेड कलर लिख

लेट हूं तो सनी आएगा मैं इसको जोड़ लेट

हूं p1 p1 कितना अच्छा ले लिख लेते हैं एक

बार सो आईटी बिल फोर बाई थ्री पी वन प्लस

फोर बाय नाइन p1 = 1 ए जाएगा और ये हमारे

पास जो टर्म आएगी डेट इस सो सुनिएगा p2 -

4p1 / 3 + 4p2 / 3 - 8p1 / 9 + 4p2 / 9 =

हमारे पास यहां पे क्या ए जाएगा जीरो हो

जाएगा दोस्तों यहां पे इसको सॉल्व कर लेते

हैं 9 इसका एलसीएम ले लेट हूं तो ये आएगा

9 और सो ये आएगा 12 + 4 और मैं p1 को आम

ले लेट हूं इस इक्वल तू वन तो सनी आएगा

हमारे पास 12 और 4 16 और नो 25 तो p1 की

वैल्यू हमारे पास क्या आएगी इसमें 9 / 25

ए जाएगा राइट अब इसको यहां पे इसको सॉल्व

कर लेते हैं यहां भी हम इसका नई एलसीएम ले

लेते हैं जब नाइन एलसीएम लेंगे तो सुन

यहां पे क्या आएगा 9p2 हो जाएगा

-12p1 हो जाएगा

प्लस 12p2 हो जाएगा और माइंस का 8 p1 हो

जाएगा प्लस यहां पे हमारे पास ये 4p2 हो

जाएगा इस इक्वल तू जीरो सो नाइन तो गया

जीरो में अब यहां पे इस क्वेश्चमंप्लीफाई

कर लीजिए सुन p2p2 कितना ए रहा है नो और

12 21 और 21 और कर इसमें 21 और कर हमारे

पास 25 हो रहा है तो यहां पे ए जाएगा

हमारे पास 25 p2 और p1 कितना रहा ये चेक

कर लेते हैं तो 12 और 8 20 हो रहा है तो

माइंस का 20 p1 = 0 इसलिए आएगा 25 p2 = 20

p1 और p1 की वैल्यू हमारे पास यानी 9 / 25

ए रहा है तो ये रख देंगे यहां पे तो 25 p2

= 20 * 9 / 25 हो जाएगा इसको सॉल्व करेंगे

तो पांच और ये ए जाएगा हमारे पास कर तो p2

की वैल्यू हमारे पास आएगी 9 * 4 = 36 36 /

125 तो ये हमारे पास क्या आएगा इसका p2 ए

जाएगा दें इसके बाद जो फाइनल इसका जो का

आएगा वो ये फॉर्म आएगा उसमें p1 p2 की

वैल्यू पट कर दीजिए तो p1 की वैल्यू हमारे

पास 9 / 25 एन ए रहा है और p2 हमारे पास ए

रही है प्लस का 36 / 125 * यहां पे आएगा

ये थ्री पावर और दोस्तों ये इसका क्या हो

जाएगा हमारे पास पी आएगा इस तरह से आप

इसको हम सॉल्व कर दें सेशन नेक्स्ट बात

करेंगे कुछ और क्वेश्चंस के अंदर क्वेश्चन

को समझना की कोशिश करते हैं मुझे यहां पे

ध्यान दीजिएगा ये हमारे पास एक क्वेश्चन

दे रखा है तो इसको कैसे सॉल्व करेंगे सबसे

पहले हम इसका कफ निकलेंगे वही ये ए जाएगा

m² या x² + 5x + 6 है तो 3 और 2 हमारे पास

यहां पे रूट ए जाएंगे तो इसका कफ तो आप

आराम से निकाल सकते हो फ्रेंड्स कफ में

क्या आएगा - 2n -3 ए जाएगा और -2 और -3 तो

यार ये हमारे पास क्या ए जाएगा इसका कफ

आएगा अब बात करते हैं स्टूडेंट का पी आई

अब इसका पी हमारे पास किस टाइप का है तो

ये ए रहा है 42 4 पावर है तो यार ये इस

टाइप का ए रहा है ए पावर एन टाइप कर भाई

यहां पे कांस्टेंट कुछ भी उसे मतलब नहीं

हमें यहां पे एन की टर्म से मतलब है

क्योंकि पी एन की टर्म का निकाला जाएगा

राइट तो ये फोर पावर एन टाइप का ए रहा है

तो इसीलिए इस टाइप का है तो इसका जो पी

होता है वो होता है का पावर एन तो हमें

क्या करना है इसको एन मां लेंगे है ना हम

क्या करेंगे सुन यहां पे इसको ए एन हमारे

पास यहां पे क्या होगा पी ए एन होगा तो पी

हमारे पास है ए हमारे पास क्या है तो फोर

पावर ले तो सुन यह जो एन है इसको उठा के

यहां रखना है यहां रखना है और यहां रखना

है और दें इसको सॉल्व करेंगे और कंपेयर

करेंगे तो हमारे पास आंसर आएगा चलो मैं

आपको बता देता हूं दोस्तों ने हमारे पास

जो ए है वो हमारे पास क्या आएगा स्टूडेंट

ये आएगा हमारे पास पी और फोर पावर एन आएगा

तो ये वैल्यू उठा के आप यहां रखेंगे तो

दोस्तों ये ए जाएगा हमारे पास p4 पावर एन

हो जाएगा प्लस ये आएगा हमारे पास 5p और

फोर पावर एन - 1 ए जाएगा प्लस 6p और फोर

पावर एन - 2 ए जाएगा यहां पे राइट इस

इक्वल तू 42 पर पावर एन ए जाएगा इसको

डिवाइड बाय 4 कर देंगे इसको डिवाइड बाय 16

कर देंगे फिर ये फोर पावर और आम निकाल के

जो भी हमारे पास एक प्रोफेशनल है इसको 42

के साथ क्या कर देंगे कंपेयर कर देंगे है

ना और फिर हमारे पास यहां पे क्या हो

जाएगा पी की वैल्यू मिल जाएगी ये हमने

यहां पे किया है फिर इसको यहां पे जब

सॉल्व करेंगे तो इसकी वैल्यू इसके बराबर

अगर हम जानते हैं की किसके बराबर रहेगा 42

4 पावर एन आएगा तो यार ये हमारे पास जो

कॉएफिशिएंट आएगा 42 के बराबर आएगा तो सन

21a / 8 पी = 42 ए जाएगा तो हम जानते हैं

इसको कैंसिल करेंगे तो यह तू ए जाएगा और

उसको मल्टीप्लाई करेंगे तो यहां पे हमारे

पास इसकी वैल्यू क्या ए जाएगी 16 ए जाएगी

तो स्टूडेंट ये हमारे पास पी की वैल्यू 16

जाएगा तो 16 डॉट फोर पावर एन इसका क्या ए

जाएगा हमारे पास पी आएगा इस तरह से इसको

हम सॉल्व नेक्स्ट बात करेंगे कुछ

क्वेश्चंस को लेक जैसे हमारे पास ये दे

रखा है तो सबसे पहले यहां पे आपसे बोला जा

रहा है की इसका पी क्या होगा तो 3n² - 2n

+ 1 तो फन = n² टाइप का है और n² टाइप कर

रहा है तो हम जानते हैं इसका जो पी होता

है वो peer² + qn+r होता है स्टूडेंट इसको

हम ए एन ले लेंगे यहां पे क्या ले लेंगे

इसको हम ए ले लेंगे अब ये इनकी वैल्यू उठा

के यहां यहां और यहां रखेंगे दोस्तों जैसे

आप ये वैल्यू उठा के अब रखेंगे यहां पे

दोस्तों ये हमारे पास ये एन ए जाएगा तो

दोस्तों यहां पे हमारे पास ये क्या ए

जाएगी एन - 1 वाली टर्म ए जाएगी और ये

सिक्स के साथ मल्टीपल के साथ ये एन - 2 ए

जाएगा और इसको हम कंपेयर किसके साथ करेंगे

सुन 3n² - 2n + 1 दोस्तों यहां पे जितने

भी एन स्क्वायर की टर्म है उसको एक साथ

लिखेंगे एन की टर्म को एक साथ लिखेंगे और

कांस्टेंट हमको एक साथ लेंगे फिर इसके साथ

में यहां पे क्या करेंगे इसको कंपेयर

करेंगे तो आप जब सॉल्व करेंगे तो दोस्तों

n² की टर्म ये आएगी एन की टर्म ये आएगी तो

ये हमारे पास कांस्टेंट है तो स्टूडेंट ये

हमारे पास n² की टर्म है तो 12p = हमारे

पास क्या ए जाएगा 3 ए जाएगा दें माइंस का

34p - 12 क्यों जो आएगा वो हमारे पास -2

के बराबर आएगा और 29 पी - 79 17³ + 12 आर

की जो वैल्यू आएगी वो हमारे पास क्या आएगी

स्टूडेंट वन के बराबर आएगी यहां से पी की

वैल्यू उठाकर यहां की के मिल जाएगा और पी

और के की वैल्यू उठाके यहां राखी थी यहां

से हमारे पास आर मिल जाएगा ये पिक उठा के

आपको यहां यहां रखना है आपका आंसर ए जाएगा

और यही हम यहां पे करेंगे स्टूडेंट जैसे

इसका पिक सॉल्व करोगे तो यार ये वैल्यू ए

जाएगी उल्टा करेंगे तो हमारे पास ये इसका

क्या ए जाएगा इसका पी ए जाएगा तो इस तरह

से बहुत धीरे इसको सॉल्व कर सकते हैं

नेक्स्ट बात करेंगे स्टूडेंट सॉल्व डी

रिक्रूटमेंट रिलेशन तो हमारे पास ये दे

रखा है यहां पे जीरो ए रहा है तो सिर्फ

हमें यहां पे कफ निकालना है इसके निकालना

की आवश्यकता नहीं है कैसे करेंगे स्टूडेंट

जब भी हमारे पास ऐसा क्वेश्चन आता है तो

यहां पे हमारे पास ये डिग्री देखेंगे तो

डिग्री फोर ए रही है तो यहां पे हम इसको

एक्स पावर फोर लिखेंगे तो ये ध्यान देने

की जरूर x⁴ आएगा फिर नेक्स्ट टर्म जो आएगी

वो एक्स कब ए जाएगी प्लस यह आएगा हमारे

पास 3x² - 4x + 2 = 0 यहां पे एक्स की

वैल्यू निकाल दीजिए जब एक्स की वैल्यू

निकलेंगे तो वन वन ए रहा है एन + - √ मतलब

√2 ए रहा है आईओटीए √2 ए रहा है दिस इन वन

वन है ये रिपीटेड रूट है तो इसका निकालना

का कफ निकालना का ये तरीका होता है और जब

हमारे पास इमेज़ीनरी रूट आता है तो हमारे

पास ये इसका फॉर्मूला होता है जहां पर आर

की जो वैल्यू होती है वो हमारे पास होती

है सुन अल्फा स्क्वायर प्लस बीता स्क्वायर

कर रूट तो सुन अल्फा तो हमारे पास यहां पे

जीरो है और बीता हमारे पास यहां पे क्या

दे रखा है √2 दे रखा है इसको सॉल्व करेंगे

तो हमारे पास जो गम की आर की वैल्यू हो

जाएगी वो हमारे पास √2 ही आएगी इसमें ये

वैल्यू उठा के रखेंगे हम तो यार ये आएगा

तू पावर क्योंकि √2 है तो तू पावर वन बाय

तू है और ये पावर एन है तो तू पावर एन / 2

ए जाएगा हमें एंगल निकालना तो एंगल होता

है इसमें θ=tan इन्वर्स बीता / अल्फा बेटा

हमारे पास यहां पे क्या दे रखा है √2 दे

रखा है अल्फा हमारे पास जीरो दे रखा है तो

सुनिए हमारे पास क्या हो जाएगा इंफिनिटी

इंफिनिटी की वैल्यू क्या होती है पी / 2

तो ये हमारे पास इसकी वैल्यू हो जाएगी तो

इस तरह से यहां पे इसका कफ लिखना है सुन

बात करेंगे डिफरेंस क्वेश्चन हमें दे राखी

है और हमें यहां पे क्या निकालना है इसको

सॉल्व करना है तो सबसे पहले हम इसका क्या

निकलेंगे स्टूडेंट का कफ निकलेंगे तो कफ

कैसे निकलते हैं ध्यान देने की जरूर है

इसलिए ये आएगा हमारे पास क्योंकि यहां पे

जो डिफरेंस ए रहा है वो हमारे पास कितना

हा वन कर तो ये एक्स ए जाएगा प्लस ये वन

आएगा इस इक्वल तू जीरो ये ध्यान देने की

जरूर है ना हाईएस्ट डिग्री जो आएगी वो

इसके डिफरेंस पे डिपेंड करेगा राइट तो

एक्स = -1 ए जाएगा और -1 आएगा तो ये हमारे

पास क्या आएगा इसका कफ ए जाएगा अब बात

करेंगे स्टूडेंट पी के बड़े में तो पी

हमारे पास क्या ए रहा है सुन 3n इन तू

पावर एन ऐसा क्वेश्चन मैं आपको एग्जांपल

में सॉल्व कराया था इसलिए इस टाइप का कोई

भी अगर हमारे पास फंक्शन दे रखा है तो

उसका जो पी होता है वो pn+ ट्यूब तू पावर

एन टाइप का क्योंकि ए पावर एन है तो ए

यहां पे 2 है तो तू पावर एन हो जाएगा अब

इसमें ये वैल्यू उठा के हमें यहां रखती है

और यहां रखती है तो जब यहां रखेंगे तो ये

आएगा और यहां रखेंगे तो सुनिए एन - 1 है

तो न - 1 के तू पावर एन - 1 ए जाएगा इसको

सॉल्व करेंगे और इसको इसके साथ क्या

करेंगे सुन कंपेयर करेंगे तो हम जानते हैं

की इसकी वैल्यू हमारे पास क्या आएगी थ्री

और तू पावर एन के साथ हम क्या करेंगे इसको

3 और 2 पावर एन के साथ इसको हम क्या

करेंगे कंपेयर करेंगे तो दोस्तों यहां पे

जो थ्री और तू पावर एन ए रहा है तो यहां

पे हमारे पास ए रहा है 3m मतलब n2 पावर एन

की बात करेंगे तो एन तू पावर एन हमारे पास

ये यहां ए रहा है तो सुनो हमारे पास इसका

जो कॉफिशिएंट होगा वो आएगा 3 / 2 पी इस

इक्वल तू हमारे पास थ्री ए जाएगा तो यार

पी की वैल्यू हमारे पास क्या आएगी

स्टूडेंट तू हो जाएगा राइट तो ये पी की

वैल्यू हो जाएगी अब इसमें ये जो है

क्योंकि हमारे पास यहां पे नेक्स्ट जो

कॉएफिशिएंट है वो जीरो है मतलब नेक्स्ट जो

वैल्यू जीरो होती है यार ये हमारे पास

किसके बराबर हो जाएगा जीरो के बराबर हो

जाएगा तो सुनिएगा 3/2q - पी / 2 = 0 हो

जाएगा पी की वैल्यू तू रख दीजिए तो ये

आएगा 3/2q - 1 = 0 तो के की वैल्यू हमारे

पास क्या आएगी 2 / 3 हो जाएगी तो यार ये

हमारे पास आएगा पी और ये आएगा हमारे पास

के तो इसका जो वैल्यू आएगा वो आएगा हमारे

पास 2n + 2 / 3 * 2 पावर एन ये हमारे पास

क्या आएगा इसका पी आया होगा इस तरह से आप

इसको हम सॉल्व करते हैं फाइनल आंसर जो

होगा इसका वो क्या होगा ca+p आएगा तो कफ

ये ए रहा है ये ए रहा है दें फाइनल आंसर

क्या होगा ca+p आएगा तो इस तरह से इसको हम

यहां पे सॉल्व करते हैं सो इसमें थैंक यू

सो मैच वाचिंग मी और कैसा लगा आपको प्लीज

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