Ejemplo del Método de Euler

Summary

En este script se presenta el método de Euler para resolver el problema de valor inicial de Jane de la ecuación diferencial 'dx/dt = 12x + 1' con la condición inicial 'x(0) = 4'. Se proporciona la solución analítica 'x = log(2x + 1)' y se verifica evaluando en 't=0'. Se muestra cómo calcular iterativamente usando el método de Euler, avanzando en pasos de 'h' y evaluando la función en cada paso. Se comparan los valores aproximados obtenidos para diferentes valores de 'h' con el valor exacto, destacando cómo disminuir 'h' reduce el error relativo. Se incluye una gráfica que contrasta la solución analítica con las aproximaciones numéricas para 'h = 0.5' y 'h = 0.25', mostrando que un paso más pequeño mejora la precisión del método.

Takeaways

• 📚 Se presenta un ejemplo de cómo resolver un problema de valor inicial utilizando el método de Euler (método de oler).
• 🔍 El problema específico trata de encontrar la solución de la ecuación diferencial \( \frac{dx}{dt} = 12x + 1 \) con la condición inicial \( x(0) = 4 \).
• 🧐 La solución analítica para este problema es \( x = \ln(2x) \), la cual se verifica evaluando en la condición inicial.
• 📉 La derivada de la solución analítica se obtiene y se utiliza para comparar con el método numérico.
• 📈 Se grafica la solución analítica en azul y se muestra cómo se aproxima con el método de Euler.
• 🔢 Se utiliza un valor inicial \( x_0 = 4 \) y se avanza en pasos de tamaño \( h \), evaluando la función en cada paso.
• 📊 Se muestran los pasos numéricos para calcular \( x_1, x_2, x_3 \) y se comparan con la solución analítica.
• 📉 Se crea una tabla comparando los valores exactos y los aproximados obtenidos con el método de Euler para diferentes tamaños de paso \( h \).
• 📉 Los errores relativos se calculan y se muestran para evaluar la precisión del método de Euler en función del tamaño de paso.
• 🔍 Se observa que al disminuir el tamaño de paso \( h \), la aproximación numérica mejora, aunque aumenta el número de pasos necesarios.
• 📈 Se incluye una gráfica que ilustra cómo las aproximaciones numéricas se acercan a la solución analítica a medida que se reducen los pasos.

Q & A

¿Qué método se utiliza para resolver el problema de valor inicial presentado en el guion?

Se utiliza el método de Euler para resolver el problema de valor inicial.

¿Cuál es la ecuación diferencial del problema de valor inicial?

La ecuación diferencial es y' = 12x + 1 con la condición inicial y(0) = 4.

¿Cuál es la solución analítica para el problema de valor inicial mencionado?

La solución analítica es y = ln(2x) + 1.

¿Cómo se verifica la solución analítica para el problema de valor inicial?

Se verifica evaluando la solución analítica en la condición inicial, donde y(0) debe ser igual a 4, y al derivar la solución para obtener y', debe coincidir con la ecuación diferencial dada.

¿Cuál es el valor inicial (x0) y su correspondiente valor de y (y0) en el método de Euler?

El valor inicial es x_0 = 0 y el correspondiente valor de y es y_0 = 4.

¿Cómo se calcula el primer paso (x1) utilizando el método de Euler con un tamaño de paso h?

Se calcula como x_1 = x_0 + h y y_1 = y_0 + h * f(x_0, y_0), donde f es la función dada en la ecuación diferencial.

¿Cuál es el tamaño del paso (h) utilizado en el primer ejemplo del método de Euler?

El tamaño del paso utilizado en el primer ejemplo es h = 0.5.

¿Cómo se determina el valor aproximado de y en x1 utilizando el método de Euler?

Se determina utilizando la fórmula y_1 = y_0 + h * f(x_0, y_0) y evaluando la función en los valores de x0 y y0.

¿Cuál es la diferencia entre los valores aproximados y los valores exactos para diferentes tamaños de paso (h)?

Cuanto más pequeño sea el tamaño de paso (h), menor será el error relativo y más cercana estará la aproximación a la solución exacta.

¿Cómo se compara la solución numérica con la solución analítica en la gráfica?

Se compara observando la cercanía de los puntos de la solución numérica (en forma de cuadros rojos) a la curva de la solución analítica (en azul).

¿Qué se concluye respecto al error relativo y el tamaño del paso en el método de Euler?

Se concluye que un tamaño de paso más pequeño disminuye el error relativo, aunque aumenta el número de pasos necesarios para alcanzar un punto específico.