Fungsi #Part 13 // Jenis-jenis Fungsi // Fungsi Modulus // Fungsi Mutlak // Grafik, Domain , Range

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8 Feb 202108:42

Summary

TLDRIn diesem Video wird die Funktion des Modulus (absoluter Wert) erklärt. Der Dozent beschreibt, wie man die Funktion f(x) = |x - 3| grafisch darstellt, beginnend mit der Definition des Modulus. Es werden die Schritte zur Berechnung von Funktionswerten durch die Zerlegung in verschiedene Fälle erläutert, abhängig davon, ob x größer oder kleiner als 3 ist. Der Vortrag geht auch auf die Eigenschaften der Funktion ein und stellt fest, dass sie nicht injektiv, aber surjektiv ist, und daher nicht bijektiv. Eine detaillierte und anschauliche Erklärung zu Modulusfunktionen wird geboten.

Takeaways

😀 Der Modulus (Wert der Betragsfunktion) wird auch als absoluter Wert bezeichnet.
😀 Die Funktion f(x) = |x| kann zwei mögliche Ergebnisse haben: Wenn x positiv oder null ist, bleibt der Wert positiv oder null; wenn x negativ ist, wird der Wert durch Multiplikation mit -1 positiv.
😀 Um die Grafik der Modulusfunktion zu zeichnen, müssen wir zuerst die Funktionsgleichung definieren und dann den Betrag gemäß der Definition berechnen.
😀 Ein Beispiel zeigt, wie man die Funktion f(x) = |x - 3| grafisch darstellt, indem man die Werte für verschiedene x-Werte berechnet und auf dem Koordinatensystem darstellt.
😀 Der Scheitelpunkt der Funktion f(x) = |x - 3| liegt bei x = 3, und dieser Punkt wird als "Punkt der Aufspaltung" bezeichnet.
😀 Für x-Werte kleiner als 3, wird die Funktionsform als negative Version der Eingabe mit einem negativen Vorzeichen dargestellt, um sie zu einem positiven Wert zu machen.
😀 Die grafische Darstellung umfasst Punkte wie (-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), und so weiter, die alle zu einer V-Form führen.
😀 Die Modulusfunktion ist nicht injektiv, da verschiedene x-Werte denselben Funktionswert ergeben können (z. B. x = -2 und x = 2 führen beide zu 5).
😀 Die Modulusfunktion ist surjektiv, weil der Funktionsbereich alle nicht-negativen Werte abdeckt, also die Funktion für jeden Wert im Ergebnisbereich mindestens einen x-Wert hat.
😀 Da die Funktion nicht injektiv ist, aber surjektiv, handelt es sich nicht um eine bijektive Funktion. Eine bijektive Funktion müsste sowohl injektiv als auch surjektiv sein.

Q & A

Was ist eine Modulusfunktion?
-Eine Modulusfunktion, auch als absoluter Wert bezeichnet, gibt den Betrag einer Zahl an. Der Wert ist immer positiv oder null, unabhängig davon, ob der Ausdruck innerhalb des Modulus positiv oder negativ ist.
Wie wird die Modulusfunktion mathematisch dargestellt?
-Die Modulusfunktion wird als |x| dargestellt, wobei x der Ausdruck innerhalb des Modulus ist. Der Wert von |x| ist x, wenn x positiv oder null ist, und -x, wenn x negativ ist.
Was bedeutet der Begriff 'Tearpoint' in einer Modulusfunktion?
-Der 'Tearpoint' ist der Punkt, an dem der Ausdruck innerhalb des Modulus die Werte von negativ zu positiv ändert, typischerweise bei x = 0.
Wie wird der Graph einer Modulusfunktion gezeichnet?
-Um den Graphen einer Modulusfunktion zu zeichnen, muss man den Ausdruck innerhalb des Modulus in zwei Teile aufteilen: einen für x ≥ 0 und einen für x < 0. Für x ≥ 0 bleibt der Ausdruck unverändert, und für x < 0 wird der Ausdruck negativ gemacht, um den Betrag darzustellen.
Was ist der 'Tearpoint' im Beispiel fx = |x - 3|?
-Im Beispiel fx = |x - 3| liegt der Tearpoint bei x = 3, da der Ausdruck innerhalb des Modulus bei x = 3 von negativ zu positiv wechselt.
Wie berechnet man den Funktionswert für x = -2 in der Funktion fx = |x - 3|?
-Für x = -2 wird der Ausdruck im Modulus zu |(-2) - 3| = |-5| = 5. Der Funktionswert ist also 5.
Was passiert, wenn x = 3 in der Funktion fx = |x - 3|?
-Wenn x = 3, wird der Ausdruck im Modulus zu |3 - 3| = |0| = 0. Der Funktionswert ist also 0.
Warum ist die Modulusfunktion nicht injektiv?
-Die Modulusfunktion ist nicht injektiv, da es zwei verschiedene Werte von x geben kann, die denselben Funktionswert haben. Zum Beispiel haben x = -2 und x = 2 beide den gleichen Funktionswert für fx = |x - 3|.
Was bedeutet es, dass eine Funktion surjektiv ist?
-Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Wertebereich mindestens einmal als Funktionswert erreicht wird. In der Modulusfunktion ist der Wertebereich immer nicht negativ (≥ 0).
Was bedeutet es, dass eine Funktion nicht bijektiv ist?
-Eine Funktion ist nicht bijektiv, wenn sie entweder nicht injektiv oder nicht surjektiv ist. Da die Modulusfunktion nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.