Sumas de Riemann de punto medio | Khan Academy en Español
Summary
TLDREl vídeo explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Se elige la función e^x = x^2 + 1 y se divide el intervalo [-1, 2] en tres partes iguales. Se presentan diferentes métodos para calcular las alturas de los rectángulos: usando el punto medio, el punto a la izquierda o el punto a la derecha de cada intervalo. Se muestra que cuanto más rectángulos se usen, más precisa será la aproximación al área real. La regla del punto medio se menciona como una técnica para mejorar las aproximaciones.
Takeaways
- 📊 El objetivo del vídeo es aprender a aproximar el área bajo una curva usando rectángulos.
- 🔢 Se utiliza la función e = x^2 + 1 para ilustrar cómo calcular el área bajo la curva.
- ⌛ Se divide el intervalo de -1 a 2 en tres secciones iguales para facilitar el cálculo.
- 📐 Se sugiere usar el valor de la función en el punto medio de cada intervalo para definir las alturas de los rectángulos.
- 📈 Se calcula el área del primer rectángulo como (-0.5)^2 + 1 veces la base, dando un área de 1.25.
- 📉 Se hace una comparación entre el área calculada con el punto medio y los puntos a la izquierda o derecha del intervalo.
- 🔄 Se menciona que se pueden usar más rectángulos para mejorar la aproximación del área.
- 📋 Se explica que la 'regla del punto medio' es una técnica para aproximar el área bajo la curva.
- 📉 Se ejemplifica cómo el uso de los puntos a la izquierda y derecha puede dar áreas diferentes y afectar la aproximación.
- 📖 Se enfatiza que el número de rectángulos utilizados influirá en la precisión de la aproximación del área.
Q & A
¿Cuál es la función utilizada en el ejemplo del vídeo?
-La función utilizada es f(x) = x² + 1.
¿Qué área bajo la curva se está calculando?
-Se está calculando el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 entre x = -1 y x = 2.
¿Cómo se divide el intervalo para aproximar el área?
-El intervalo se divide en tres partes iguales, con una base de 1 para cada rectángulo.
¿Qué método se utiliza primero para aproximar el área de los rectángulos?
-Primero se utiliza el método del punto medio, donde la altura de cada rectángulo se calcula usando el valor de la función en el punto medio de la base.
¿Cuáles son las alturas de los rectángulos cuando se usa el punto medio?
-Las alturas son 5/4, 5/4, y 13/4 para los tres rectángulos respectivamente.
¿Cuál es el área total aproximada utilizando el método del punto medio?
-El área total aproximada utilizando el método del punto medio es de 23/4, o 5 enteros y 3/4.
¿Qué otro método se menciona para calcular el área bajo la curva?
-Se menciona el método de usar los puntos a la izquierda de cada intervalo para calcular la altura de los rectángulos.
¿Qué área se obtiene usando los puntos a la izquierda del intervalo?
-Usando los puntos a la izquierda, el área total aproximada es de 5.
¿Cómo varía el resultado al usar los puntos a la derecha del intervalo?
-Usando los puntos a la derecha, el área total aproximada es de 8, lo que resulta en una sobreestimación del área real.
¿Cómo se puede mejorar la aproximación del área bajo la curva?
-Se puede mejorar la aproximación utilizando más rectángulos con bases más pequeñas, lo que proporcionará una mejor precisión.
Outlines
📊 Aprendiendo a aproximar áreas bajo curvas
El vídeo explica cómo aproximar el área bajo una curva usando rectángulos. Se elige la función e^(x^2) + 1 y se divide el intervalo [-1, 2] en tres partes iguales. Se calcula el área de tres rectángulos con la misma base de 1 unidad, usando el valor de la función en el punto medio de cada intervalo para definir las alturas. Se explica que para mejorar la aproximación, se deben usar más rectángulos. Se calculan áreas para cada rectángulo con alturas obtenidas del punto medio: el primero con una altura de 1.25, el segundo de 1.25 y el tercero de 13/4, sumando un total de 23/4 o 5.75. Esto se conoce como el método del punto medio.
🔍 Otras formas de aproximar áreas
Se menciona que hay otras formas de aproximar el área bajo la curva, como usar el punto a la izquierda o a la derecha de cada intervalo. Se hace un ejemplo rápido para ilustrar cómo se calcularía el área si se usan los puntos a la izquierda, obteniendo un área total de 5. También se calcula el área usando los puntos a la derecha, obteniendo un total de 8. Se destaca que estas aproximaciones pueden ser por encima del área real y que con más rectángulos y bases más delgadas, se obtiene una mejor aproximación al área real bajo la curva.
Mindmap
Keywords
💡área bajo la curva
💡aproximación
💡función
💡rectángulos
💡punto medio
💡regla del punto medio
💡punto a la izquierda/derecha
💡intervalo
💡suma
💡aproximación por arriba
Highlights
El objetivo del vídeo es aproximar el área bajo la curva de una función.
Se utiliza la función e^x = x^2 + 1 como ejemplo.
El intervalo de x es de -1 a 2.
Se divide el intervalo en tres secciones iguales para usar rectángulos.
Se explica la aproximación del área usando tres rectángulos con la misma base.
Se define la altura de cada rectángulo usando el valor de la función en el punto medio de la base.
Se calcula el área del primer rectángulo usando el punto medio -0.5, obteniendo un área de 1.25.
Se calcula el área del segundo rectángulo usando el punto medio 0.5, obteniendo un área de 1.25.
Se calcula el área del tercer rectángulo usando el punto medio 1.5, obteniendo un área de 3.25.
Se suman las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación total de 5.75.
Se menciona la regla del punto medio para calcular la altura de los rectángulos.
Se sugiere que más rectángulos resultan en una mejor aproximación.
Se explica que también se pueden usar los puntos a la izquierda o a la derecha de cada intervalo para definir las alturas.
Se calcula el área usando los puntos a la izquierda, obteniendo un total de 5.
Se calcula el área usando los puntos a la derecha, obteniendo un total de 8.
Se destaca que el uso de puntos a la derecha da una aproximación por encima del área real.
Se enfatiza la importancia de entender las diferentes formas de calcular el área aproximada.
Se concluye que el número de rectángulos utilizados afecta la precisión de la aproximación.
Transcripts
lo que queremos hacer en este vídeo es
ver cómo podemos aproximar el valor del
área bajo la curva y para ayudarnos con
un ejemplo usaremos la función e igual a
equis cuadrada más 1
pensemos en el área bajo esta curva por
arriba del eje x que va desde x igual a
menos 1 x igual a 2 que es esta área de
aquí hay varias formas en las que
podemos resolver esto lo que voy a hacer
es descomponer este intervalo en tres
secciones iguales que en realidad serán
las bases de rectángulos veremos
diferentes formas de encontrar las
alturas de dichos rectángulos vamos a
aproximar el área usando tres
rectángulos con la misma base y veremos
diferentes formas de definir las alturas
de dichos rectángulos primero vamos a
definir la altura de cada rectángulo
usando el valor de la función en el
punto medio de la base lo vemos aquí
vamos a asegurarnos de que esto tiene
sentido para nosotros vemos que
dividimos el intervalo que va de x igual
a menos 1 a x igualados en tres partes
iguales
cada una tiene una base igual a 1 si
quisiéramos tener una mejor aproximación
deberíamos tener más
es más rectángulos veamos cómo podemos
calcular esto la base de cada rectángulo
es igual a 1 la altura la tomamos del
valor de la función en el punto medio de
la base el punto medio de aquí es menos
un medio el punto medio de aquí es un
medio y el punto medio de acá es tres
medios esta primera altura va a ser
menos un medio al cuadrado más uno menos
un medio al cuadrado es un cuarto más
uno es cinco cuartos esta altura es
cinco cuartos y el área del primer
rectángulo es cinco cuartos por uno lo
que nos da cinco cuartos lo escribimos
si usamos el punto medio para encontrar
la altura de cada rectángulo el área del
primer rectángulo tiene un área de cinco
cuartos lo resaltamos usamos la misma
idea para el segundo rectángulo un medio
al cuadrado es un cuarto más un entero
es cinco cuartos
los sumamos más cinco cuartos y cuál es
la altura del tercer rectángulo tomamos
el valor de la función en el punto medio
que es tres medios tres medios al
cuadrado nos da nueve cuartos más uno
nos da trece cuartos así que su altura
es trece cuartos y su base es uno el
área será de trece cuartos los sumamos
la suma de todo esto da veintitrés
cuartos que es lo mismo que cinco
enteros y tres cuartos esto se conoce
como la regla del punto medio pues
usamos el punto medio de cada intervalo
para calcular la altura de nuestro
rectángulo pero esta no es la única
forma de hacerlo podemos usar el punto a
la derecha o el punto a la izquierda de
cada intervalo esto lo haremos con más
detalle en futuros vídeos pero para que
se den una idea de cómo funciona
hagamos un ejemplo rápido aquí si nos
interesan los puntos a la izquierda de
nuestro intervalo en este caso el punto
izquierda es menos uno menos uno al
cuadrado es uno más uno es dos la altura
es 2 y al multiplicar la por la base que
es 1 nos queda un área de 2 en este otro
intervalo el punto a la izquierda es 0 0
al cuadrado es 0 más 1 es 1 que
multiplicamos por 1 y nos da 1 y en el
tercer intervalo el punto a la izquierda
es 11 al cuadrado es uno más uno es 2 y
2 x 1 nos da 2 así que cuando usamos los
puntos a la izquierda del intervalo la
suma nos queda dos más uno más dos que
es igual a cinco y también podemos usar
los puntos a la derecha del intervalo el
primer rectángulo vemos que aproxima por
debajo el área bajo la curva de este
intervalo su punto a la derecha es 0 0
al cuadrado es 0 más uno es igual a 1
este primer rectángulo tiene una altura
igual a 1 y una base igual a 1 por lo
que su área es igual a 1
el segundo rectángulo tiene su punto a
la derecha en 1 1 al cuadrado es uno más
uno es 2 x la base que es 1 nos da 2 y
en el último rectángulo el punto a la
derecha es 2 2 al cuadrado es 4 más 15 x
la base de 1 nos da 5 cuando usamos los
puntos a la derecha del intervalo la
suma nos queda 12 más 5 que es igual a 8
y con solo ver esto nos damos cuenta de
que estamos calculando el área muy por
arriba del área bajo la curva real así
que esta es una aproximación por arriba
del valor real lo importante aquí es
darnos cuenta de las diferentes formas
en las que podemos calcular el área
aproximada usando rectángulos y pueden
imaginarse que si usamos más rectángulos
con bases cada vez más delgadas que
cubren el intervalo desde x igual a
menos 1 a x igualados obtendremos
mejores aproximaciones al área real bajo
la curva que nos interesa
con esto terminamos
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