Álgebra vectorial | | UPV

Summary

El vídeo explica conceptos básicos de álgebra vectorial, como el módulo de un vector, suma y resta de vectores, producto escalar y vectorial y el producto mixto. Se introduce la regla de Maxwell para diferenciar entre sistemas de referencia directos (dextrógiros) e inversos (levógiros), fundamental para realizar cálculos físicos. Se destacan las propiedades de los productos vectoriales y cómo se relaciona con el área de un paralelogramo, y se enfatiza la importancia de usar sistemas de referencia directos para obtener resultados correctos.

Takeaways

• 🔍 La Regla de Maxwell es una relación arbitraria entre un sentido de giro y un sentido de avance, representada por un tornillo, sacacorchos o la regla de la mano derecha.
• 📏 Los sistemas de referencia se pueden categorizar en dos grupos: directos (dextrógiros o a derechas) y inversos (levógiros o a izquierdas), basándose en la relación entre los ejes de coordenadas y la Regla de Maxwell.
• 📐 En física, se utilizan preferentemente sistemas de referencia directos para operaciones con vectores.
• 📏 El módulo de un vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
• 🔄 La suma de vectores se representa mediante el paralelogramo o colocando los vectores secuenciadamente, sumando sus componentes correspondientes.
• ➖ La resta de vectores se realiza restando las componentes de los vectores y puede visualizarse como la suma del vector con el opuesto del segundo vector.
• 🔢 El producto escalar de dos vectores se calcula multiplicando el módulo de cada vector por el coseno del ángulo que forman, y se representa como un escalar.
• 📍 El producto vectorial de dos vectores se calcula mediante una expresión analítica que involucra el determinante de una matriz con los componentes de los vectores y da como resultado un vector perpendicular a ambos.
• 🔄 El sentido del producto vectorial se determina aplicando la Regla de Maxwell al giro de un vector al otro, y puede ser hacia dentro o hacia fuera del plano formado por los vectores.
• 🔄 El producto mixto de tres vectores es el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos, y su valor absoluto corresponde al volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.

Q & A

¿Qué es la regla de Maxwell y cómo se relaciona con el sentido de giro y avance?

La regla de Maxwell es un convenio arbitrario que relaciona un sentido de giro con un sentido de avance. En el vídeo, se muestra que el sentido de giro está en color rojo y el de avance en verde. Si se invierte el sentido de giro, también se invierte el de avance. También se conoce como regla del tornillo o regla de la mano derecha, donde el pulgar indica el sentido de avance y la palma del mano indica el giro.

¿Cuál es la diferencia entre un sistema de referencia directo y uno inverso?

Un sistema de referencia directo es aquel en el cual, al girar del eje x al eje y, el sentido que proporciona la regla de Maxwell coincide con el eje z. Por otro lado, un sistema inverso o levógiro es aquel donde al hacer la misma operación, el sentido que nos da la regla de Maxwell es el opuesto del eje z.

¿Por qué en física se prefieren los sistemas de referencia directos?

En física, se prefieren los sistemas de referencia directos porque son necesarios para el uso correcto de operaciones como el producto vectorial. La regla de Maxwell se cumple correctamente solo en estos sistemas, evitando errores en el sentido del vector resultante.

¿Cómo se calcula el módulo de un vector dado por sus componentes?

El módulo de un vector se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. Esto se puede representar analíticamente como √(a_x² + a_y² + a_z²), donde 'a_x', 'a_y' y 'a_z' son las componentes del vector en los ejes x, y y z respectivamente.

¿Cómo se realiza la suma de vectores y cuál es su representación gráfica?

La suma de vectores se realiza mediante la regla del paralelogramo, donde se completan los vectores con sus respectivas paralelas y el vector que va del origen común al extremo opuesto es la suma de esos vectores. Alternativamente, se pueden secuenciar los vectores colocando el extremo de uno junto al origen del otro, y el vector que va del origen del primero al extremo del último es la suma.

¿Cómo se calcula la resta de vectores y cómo se representa analíticamente?

La resta de vectores se calcula restando las componentes correspondientes de los vectores, es decir, a - b se calcula como (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z). Esto se representa gráficamente como el vector que va del extremo del minuendo al extremo del sustrayendo.

¿Qué es el producto escalar de dos vectores y cómo se calcula?

El producto escalar de dos vectores es un número que se obtiene multiplicando el módulo de cada vector por el coseno del ángulo que forman entre sí. Se calcula analíticamente como la suma de los productos de las componentes correspondientes de los vectores (a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z).

¿Cómo se determina la dirección del producto vectorial de dos vectores?

La dirección del producto vectorial de dos vectores es perpendicular al plano que forman dichos vectores. Se determina aplicando la regla de Maxwell al girar uno de los vectores hacia el otro, y el sentido resultante indica la dirección del producto vectorial.

¿Cuál es la relación entre el área del paralelogramo formado por dos vectores y su producto vectorial?

El área del paralelogramo formado por dos vectores es igual al módulo del producto vectorial de esos vectores. Esto significa que si el producto vectorial es un vector de módulo 7, el área del paralelogramo es 7 unidades cuadradas.

¿Qué es el producto mixto de tres vectores y cómo se calcula?

El producto mixto de tres vectores es el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se calcula mediante un determinante que tiene tres filas, cada una correspondiente a las componentes de uno de los vectores. El resultado es un número que representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.

¿Por qué es importante usar sistemas de referencia directos cuando se trabaja con el producto vectorial?

Es importante usar sistemas de referencia directos para el producto vectorial porque la fórmula del producto vectorial solo se cumple en estos sistemas. Si se aplica en un sistema inverso, el vector resultante será el opuesto del correcto.

Outlines

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📐 Introducción a la álgebra vectorial

El vídeo comienza explicando que se va a continuar con el módulo cero, centrado en el tema de álgebra vectorial. Se menciona que se realizará un repaso de las operaciones más comunes necesarias en física con vectores, como el cálculo del módulo de un vector, el producto mixto, entre otros. Se introduce la regla de Maxwell, un convenio arbitrario que relaciona un sentido de giro con un sentido de avance, ejemplificado con un tornillo, un sacacorchos o la regla de la mano derecha. Además, se habla sobre la categorización de sistemas de referencia en ortonormales y se dividen en sistemas directos (dextrógiros o a derechas) y sistemas inversos (levógiros o a izquierdas). Se enfatiza la necesidad de utilizar sistemas de referencia directos en física. Se explica el cálculo del módulo de un vector a partir de sus componentes y se presentan las operaciones de suma y resta de vectores, tanto de forma gráfica como analítica.

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🔢 Operaciones con vectores

Se continúa explicando las operaciones con vectores, iniciando con la multiplicación de un vector por un escalar y cómo esto afecta el sentido del vector dependiendo si el escalar es positivo o negativo. Se introduce el producto escalar de vectores, que es un número resultante de multiplicar el módulo de un vector por el módulo del otro y el coseno del ángulo que forman. Se proporciona una fórmula analítica para calcularlo sin necesidad de conocer el ángulo. Posteriormente, se aborda el producto vectorial, que da como resultado un vector perpendicular a los que se multiplican, y se explica cómo se determina su dirección utilizando la regla de Maxwell. Se menciona la importancia de usar sistemas de referencia directos para este tipo de operaciones. Finalmente, se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos, y se señala que su valor absoluto corresponde al volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores. Se concluye con un resumen de todas las operaciones vistas en el vídeo.

Keywords

💡Álgebra vectorial

Álgebra vectorial es una rama de las matemáticas que trata de los vectores, que son objetos con magnitud y dirección. En el vídeo, se utiliza para repasar operaciones fundamentales en física, como el módulo de un vector o el producto mixto, que son esenciales para comprender fenómenos físicos.

💡Regla de Maxwell

La regla de Maxwell, también conocida como regla del tornillo o regla de la mano derecha, es una convención utilizada para relacionar el sentido de giro con el sentido de avance. En el vídeo, se menciona para establecer una relación arbitraria entre estos dos conceptos, fundamental en la comprensión de sistemas de referencia y operaciones vectoriales.

💡Sistemas de referencia

Un sistema de referencia es un marco utilizado para describir la posición y el movimiento de objetos en el espacio. En el vídeo, se habla de sistemas ortonormales, donde los ejes de coordenadas son perpendiculares, y se dividen en sistemas directos (dextrógiros o a derechas) y sistemas inversos (levógiros o a izquierdas), que son cruciales para el producto vectorial.

💡Módulo de un vector

El módulo de un vector es una medida de su longitud o magnitud. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. En el vídeo, se explica cómo se representa y se calcula, y es fundamental para entender la magnitud de fuerzas en física.

💡Suma de vectores

La suma de vectores se realiza siguiendo la regla del paralelogramo o colocando los vectores secuenciatialmente. En el vídeo, se describe cómo se representa gráficamente y analíticamente, sumando las componentes correspondientes de los vectores.

💡Resta de vectores

La resta de vectores se define como la suma del vector y el opuesto del vector que se resta. En el vídeo, se ilustra cómo se realiza de manera gráfica y analítica, restando las componentes de los vectores.

💡Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es una operación que resulta en un escalar (un número). Se define como el módulo del primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo entre ellos. En el vídeo, se explica cómo se calcula analíticamente y se relaciona con la proyección de un vector sobre otro.

💡Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores resulta en otro vector perpendicular a ambos. Se define por el módulo del primer vector por el módulo del segundo por el seno del ángulo entre ellos. En el vídeo, se detalla cómo se calcula mediante un determinante y se relaciona con el área del paralelogramo formado por los vectores.

💡Producto mixto

El producto mixto es un concepto que se obtiene multiplicando un vector por el producto vectorial de otros dos vectores, resultando en un escalar. En el vídeo, se indica que el producto mixto puede indicar el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores.

💡Sistemas directos y inversos

Los sistemas directos (dextrógiros o a derechas) y los sistemas inversos (levógiros o a izquierdas) se refieren a cómo se relacionan los ejes de un sistema de referencia. En el vídeo, se menciona que para operaciones como el producto vectorial, es crucial utilizar sistemas de referencia directos.

Highlights

Repaso de álgebra vectorial en física

Introducción a las operaciones con vectores

Importancia de la regla de Maxwell para vectores

Convenciones de notación y sentido de giro

Relación entre sentido de giro y sentido de avance

La regla del tornillo como herramienta de comprensión

La regla del sacacorchos y su analogía con la regla de Maxwell

La regla de la mano derecha y su aplicación en física

Diferenciación entre sistemas de referencia directos e inversos

Categorización de sistemas de referencia según la regla de Maxwell

Necesidad de sistemas de referencia directos en física

Definición y cálculo del módulo de un vector

Representación gráfica y analítica del módulo de un vector

Suma de vectores utilizando el paralelogramo

Regla del paralelogramo para la suma de vectores

Resta de vectores y su representación analítica

Producto de escalar y vector: definición y ejemplos

Producto escalar de vectores: definición y fórmula analítica

Interpretación del producto escalar como el coseno del ángulo entre vectores

Producto vectorial de vectores: definición y fórmula analítica

Diferencia entre el área del paralelogramo y el módulo del producto vectorial

Dirección del producto vectorial según la regla de Maxwell

Producto mixto de tres vectores: definición y fórmula analítica

Volumen del paralelepípedo y su relación con el producto mixto

Resumen de todas las operaciones vectoriales vistas

Conclusión de la lección

Transcripts

Hola

vamos a continuar con el módulo cero

viendo el tema de álgebra vectorial

en ese tema vamos a realizar un repaso de las operaciones más típicas que necesitaremos en física con vectores

que van desde por módulo de un vector hasta producto mixto

pasando primero por unos preliminares con algunas notaciones y convenios que necesitaremos

lo primero que vamos a necesitar es la denominada regla de Maxwell un convenio una relación arbitraria

entre un sentido de giro y un sentido de avance

en el vídeo que estáis viendo tenemos

el sentido de giro en color rojo el sentido de avance en color verde cuando se invierte el sentido de giro se invierte

el de avance es una relación arbitraria podría haber sido en principio al contrario

pero es por la que se ha optado

esa relación arbitraria que estáis viendo aquí representada por un tornillo como veis no importa que esté en un lado o esté en el otro

se conoce también, pues, con este nombre regla del tornillo

otros nombres habituales son regla del sacacorchos porque el sacacorchos cumple la misma relación entre giro y avance

o la regla de la mano derecha que veis aquí

en la que

la palma de la mano haría el papel de giro de sentido de giro

y

el pulgar haría la parte de sentido de avance

que declaró que no siempre la regla de la mano izquierda como podéis ver por simetría del cuerpo humano

indicaría justamente

el criterio contrario

en cuanto a los sistemas de referencia también tenemos que decir como paso preliminar que se pueden categorizar

en dos grandes grupos considerando que tenemos un sistema referencia ortonormal básicamente que los tres ejes de coordenadas

son perpendiculares entre si

todo se puede separar en dos, en los subconjuntos el que vemos arriba cumple las en la siguiente el siguiente criterio

que girando del eje x al eje y

el sentido que nos proporciona la regla de Maxwell coincide precisamente con el eje z

los que cumplen con esta norma se conocen como sistemas directos

dextrógiros o a derechas

en adelante diremos simplemente directos

otros van al revés si hiciéramos el eje x al eje y

el sentido que nos da la regla de Maxwell es el opuesto del eje z

los que son como éste recibe el nombre de sistemas inversos levógiros o a izquierdas

en realidad siempre nos saldrá tantos de un lado como de los otros de los  que hay la

mitad serían directos la mitad serían inversos

por el motivo que veremos posteriormente

en correlación con el producto vectorial aquí en física vamos a necesitar utilizar siempre sistemas de referencia directos

la forma de saber que estamos usando el sistema directo es esa comprobación que girando de x a y la regla

la regla de Maxwell me da justamente el sentido de z

como operaciones de vectores comenzamos por módulo de un vector, es decir, básicamente

cuanto mide

que dado un vector que representa a partir de sus componentes "a" sub "x"  "a" sub "y" y

"a" sub "z"

en cualquiera de las dos notaciones habituales

que se utilizan generalmente

el módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes

en lo que sigue pues para representar un módulo pondremos o bien el vector con su flecha

con dos rayas a los lados como vemos en la parte central

o bien directamente el vector

para mismo nombre del vector pero sin la flecha arriba que también representa módulo de

en cuanto a la suma de vectores por definición consiste en aplicar la regla del paralelogramo dados dos vectores se completa paralelogramo

con sus correspondientes paralelas

y el vector que va del origen común al extremo opuesto es

por definición la suma de esos vectores

una segunda forma de visualizarlo es poniendo los vectores secuencia poniendo el extremo de uno junto

al origen de otro

y el vector que va del origen del primero el extremo del último sería la suma podéis ver

en la representación gráfica que ambos vectores exactamente iguales

a la forma analítica hacer esa operaciones es sumar las componentes x con x, y con y

z con z

en cuanto a la resta de vectores

es como la aritmética

igual que siete menos tres es siete más que el opuesto de tres

los vectores ocurre igual si queremos a la resta a menos b cogemos el vector sustrayendo el b

tomamos su opuesto que simplemente mismo vector mismo módulo misma dirección pero sentido contrario y sumamos a con menos b

así que

este vector rojo sería la resta de ambos vectores

una forma alternativa de hacerlo es representado los dos vectores con origen común

y llevando un vector que iría del extremo del sustrayendo el extremo del minuendo

de paso podemos comprobar que sigue las mismas normas de comprobación que cualquier resta igual que sabemos que siete

menos tres es cuatro porque cuatro más tres es siete

podemos ver que el vector b

más

a menos b vuelve a darnos el a

la forma ética de hacer esta operación la tenemos aquí es restar las componentes

componente x del minuendo menos la del sustrayendo lo mismo con la componente y griega

y con la componente z

como tercera operación vamos a hablar del producto de escalar de número

y vector

multiplicar un vector por un número m consiste en multiplicar cada una de las componentes por ese mismo número

lo que eso representa es

lo que estamos viendo aquí en ejemplos en color rojo vemos el vector 2a el vector 1'5a

y el vector -0'5a si podemos dejar claro que el sentido coincide sólo si multiplicamos

por un número positivo cuando multiplicamos por negativo

el sentido si invierte

como cuarta operación vamos a las del producto escalar de vectores

como digo se multiplican dos vectores y el producto es un escalar de ahí el nombre, es decir

un número, no un vector

por definición el producto escala dos vectores

es módulo del primero por módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman entre ellos

la anotaciones poniendo aquí un punto

para distinguir de otros tipos de productos que veremos posteriormente

esta es la definición pero no es la fórmula que se suele utilizar para calcularlo porque normalmente falta un dato clave que es

que no conocemos el ángulo imaginad dos metros cualesquiera en el espacio y empezar a pensar que ángulo es el que hay entre

ellos

sin embargo, por ello se utiliza la expresión analítica siguiente se puede demostrar

que se cumple esta propiedad que el producto escalar dos vectores coincide con el producto de componentes x

entre sí

y entre sí y z se entre sí

y sumado los tres productos

una vez más que está dando como resultado un número un escalar no un vector

a diferencia de lo que ocurre con el producto vectorial que como su nombre indica da como

resultado

un vector

como todos los vectores la diferencia tiene que decirme qué módulo tiene, que dirección tiene, que sentido tiene

yendo por pasos primero se usará notación se pondría ese aspa en medio para diferenciarlo del escalar

y en cuanto módulo repito por definición

es el modo del primero por el módulo del segundo vector por el en esta ocasión

seno

del ángulo que forman

que se puede demostrar que coincide exactamente con el área del paralelogramo que forman el área que vemos ahí en

color azul

conviene dejar claro que no es cierto que el área sea igual al producto vectorial

el area lo que es igual es al módulo del producto vectorial

el area es un escalar

el producto vectorial completo es un vector

cuya dirección es perpendicular a los vectores multiplicados tiene que ser perpendicular "a" a "a", y a "b"

lo que significa dicho en otras palabras que es perpendicular al plano que forman a y b

en este ejemplo el plano que forman a y b

es el de la propia pantalla

así que la dirección perpendicular sería

perpendicularmente la pantalla

ahí está representado oblícuo porque estamos intentando representar una perspectiva caballera

faltará decir si el sentido es

hacia dentro de la pantalla o hacia fuera de la pantalla, las dos posibilidades existen

bueno pues el sentido por definición

corresponde a la aplicación de la regla de Maxwell al giro del primero de los vectores al segundo girar de "a"

a "b"

en este ejemplo girar de "a" a "b" sería el sentido que veis ahí en color verde

y la regla de Maxwell del tornillo, del sacacorchos la mano derecha nos conduciría aquí sentido es hacia

dentro de la pantalla,

con lo cual ya tenemos definido el vector a por b. Aprovecho para recalcar que el vector b por a sería al contrario, porque

habría que girar por el camino más corto

y en ese caso según la regla de Maxwell el vector iría hacia fuera de la pantalla.

Esta es la expresión analítica porque evidentemente hacer con números los cálculos anteriores no es viable

así que esta es la forma de obtener el producto vectorial,

es resolviendo este determinante

con una primera fila, los vectores unitarios y, j, k, la segunda las componentes del primer vector

y la tercera las componentes del segundo.

Quiero recalcar, porque esto es importante aunque no voy a entrar más en el detalle, que esta fórmula solamente se cumple en sistemas de referencia directos.

Sistemáticamente si se aplica esta fórmula, esta expresión, a un sistema de referencia inverso

siempre el vector que sale es justamente lo opuesto del que realmente es,

siempre saldría justo el contrario.

Tenemos que tener cuidado por tanto en que siempre que haya un producto vectorial implicado en cualquier operación matemática o en cualquier problema físico

tenemos que estar utilizando un sistema de referencia directo.

Como última operación que vamos a comentar aquí está el producto mixto, dados tres vectores por

definición el producto mixto es el producto escalar de

el primero

por el vectorial de los otros dos. El producto vectorial me da un vector, b por c,

es un vector en este caso que puedo multiplicar escalarmente por a y el resultado por fin es un

número.

Se puede comprobar que la forma de obtenerlo es con el determinante que veis ahí donde tenemos tres

filas,

cada una de las filas corresponde a las componentes de uno de los vectores.

Se puede comprobar también que el número que sale en valor absoluto

corresponde con el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores,

de igual modo el producto que sale, porque si el producto mixto da siete, significa que el volumen

es siete, si el producto mixto da menos siete

significa que el volumen es siete.

Para terminar, aquí tenemos un resumen de todas las operaciones que hemos estado viendo

como elemento de consulta.

Y con esto termina la lección, muchas gracias.