Producto vectorial bajo la luz de las transformaciones lineales | Álgebra lineal, capítulo 8b

Summary

El guion del video ofrece una explicación detallada sobre cómo calcular el producto vectorial tridimensional entre dos vectores, utilizando una matriz peculiar y su determinante. Se discuten las propiedades geométricas del resultado, como la longitud del vector resultante, que es igual al área del paralelogramo definido por los vectores originales, y su dirección perpendicular a ambos. Además, se introduce el concepto de dualidad en transformaciones lineales y cómo relacionar cálculos numéricos con la geometría del producto vectorial. El video concluye con una conexión entre la interpretación geométrica y el cálculo computacional del producto vectorial, preparando al espectador para entender el cambio de base en álgebra lineal en el próximo episodio.

Takeaways

• 📚 El script comienza explicando cómo calcular el producto vectorial tridimensional entre dos vectores.
• 🧠 Se menciona que el producto vectorial involucra una matriz con las coordenadas de los vectores y símbolos como números por conveniencia en los cálculos.
• 📏 La longitud del vector resultante del producto vectorial es igual al área del paralelogramo definido por los vectores b y w.
• ⏲️ El vector resultante apunta en una dirección perpendicular a ambos vectores b y w, siguiendo la regla de la mano derecha.
• 🔍 Se sugiere que, aunque se pueden hacer cálculos de fuerza bruta, el script propone una línea de razonamiento elegante que utiliza conocimientos previos.
• 📘 Se asume que el espectador ha visto capítulos anteriores sobre determinantes y la idea de dualidad en matemáticas.
• 🔄 La dualidad implica que cada transformación lineal a la recta numérica está asociada con un vector único, el vector dual.
• 📊 El producto vectorial es un ejemplo de la acción del vector dual, donde se compara con el producto escalar entre un vector y el vector dual.
• 📐 Se define una transformación lineal de tres dimensiones hacia la recta numérica en términos de los vectores b y w.
• 🔢 Se establece que esta transformación lineal es describable como una multiplicación de matrices, lo que lleva a la idea de encontrar el vector p en 3D.
• 📈 El vector p se encuentra buscando las coordenadas que, al multiplicarse con un vector x, den el mismo resultado que el determinante de una matriz formada por x, b y w.
• 📖 Se conecta la interpretación geométrica del producto vectorial con el cálculo numérico, mostrando que el vector dual es perpendicular a b y w y tiene una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores.
• 🔑 Se resume que el vector dual encontrado computacionalmente debe corresponderse geométricamente con el vector p, integrando así los conceptos de productos escalares y vectoriales.

Q & A

¿Qué es el producto vectorial tridimensional y cómo se calcula?

El producto vectorial tridimensional es una operación matemática que toma dos vectores en el espacio tridimensional y produce un tercer vector perpendicular a ambos. Se calcula utilizando una matriz con las coordenadas de los vectores en las segunda y tercera columnas, y los símbolos de los ejes (i, j, k) en la primera columna, y luego se calcula el determinante de esta matriz.

¿Cuál es la longitud del vector resultante del producto vectorial y qué representa?

La longitud del vector resultante del producto vectorial es igual al área del paralelogramo definido por los dos vectores originales, b y w.

¿Cómo se interpreta la dirección del vector resultante del producto vectorial?

La dirección del vector resultante apunta en una dirección perpendicular a ambos vectores b y w, y obedece a la regla de la mano derecha, lo que significa que si los dedos índice y medio apuntan en las direcciones de b y w, respectivamente, el pulgar apuntará en la dirección del nuevo vector.

¿Qué es la dualidad en el contexto de las transformaciones lineales y cómo está relacionada con el producto vectorial?

La dualidad en el contexto de las transformaciones lineales se refiere a la idea de que cada transformación lineal de un espacio a la recta numérica está asociada con un vector único, llamado vector dual, que se utiliza para realizar el producto escalar y obtener el mismo resultado que la transformación lineal.

¿Cómo se define la función lineal en el script para entender mejor el producto vectorial?

Se define una función lineal que toma un vector de tres dimensiones y lo transforma en un número, utilizando como base los vectores b y w fijos, y proyectando el vector de entrada en una línea perpendicular a b y w, multiplicando luego la longitud de esta proyección por el área del paralelogramo generado por b y w.

¿Por qué es importante entender que la función definida en el script es lineal?

Es importante entender que la función es lineal porque esto nos permite traer la idea de la dualidad, lo que significa que podemos describir la función como la multiplicación de matrices y relacionarla con el producto escalar con un vector en el espacio 3D.

¿Cómo se relaciona el vector dual encontrado computacionalmente con el vector dual geométrico?

El vector dual computacionalmente se encuentra al resolver el determinante de una matriz especial, mientras que el vector dual geométrico se deduce al entender que debe ser perpendicular a b y w con una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. Ambos enfoques deben dar el mismo vector dual para la misma transformación.

¿Cómo se interpreta geométricamente el vector dual en relación con el producto escalar y el volumen de un paralelepípedo?

Geométricamente, el vector dual se interpreta como un vector perpendicular a b y w, con una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. El producto escalar entre el vector dual y cualquier otro vector x es equivalente a calcular el volumen de un paralelepípedo definido por x junto con b y w.

¿Qué es el cambio de base en el álgebra lineal y cómo se menciona en el script?

El cambio de base en el álgebra lineal es el proceso de expresar los vectores en un espacio en términos de una base diferente. En el script, se menciona como un concepto importante para el siguiente vídeo, sin embargo, no se detalla su relación directa con el contenido del script actual.

¿Cómo se relaciona el producto vectorial con el concepto de volumen de un paralelepípedo?

El producto vectorial se relaciona con el volumen de un paralelepípedo en el sentido de que el vector resultante del producto vectorial tiene una longitud igual al área del paralelogramo definido por los dos vectores originales, y su dirección es perpendicular a este plano, lo que se relaciona con el volumen del paralelepípedo que se forma.

Outlines

00:00

📚 Introducción al producto vectorial y dualidad

El primer párrafo introduce el concepto de producto vectorial tridimensional, explicando cómo calcularlo utilizando una matriz con las coordenadas de los vectores b y w, y los símbolos i, j y k en la primera columna. Destaca la importancia del determinante de esta matriz para obtener las coordenadas del vector resultante, y cómo las propiedades geométricas del producto vectorial están relacionadas con el área del paralelogramo y la dirección perpendicular a ambos vectores. Además, se menciona la idea de dualidad en el contexto de transformaciones lineales y su asociación con vectores duales.

05:01

🔍 Desarrollo del producto vectorial como función lineal

El segundo párrafo profundiza en el entendimiento del producto vectorial como una función lineal que mapea de tres dimensiones a una dimensión. Se describe cómo esta función se calcula utilizando el determinante de una matriz con una columna variable x y dos columnas constantes b y w. Geométricamente, esta función representa el volumen del paralelepípedo definido por el vector de entrada junto con b y w, con un signo que indica la orientación. Se discute la importancia de la linearidad de la función y cómo la dualidad permite describir la transformación como un producto escalar con un vector dual, buscando el vector p que cumpla con esta propiedad.

10:06

🌐 Uniendo la interpretación geométrica y computacional del producto vectorial

El tercer párrafo establece un puente entre la interpretación geométrica y computacional del producto vectorial. Se argumenta que el vector dual p, encontrado computacionalmente, debe ser perpendicular a b y w y tener una longitud igual al área del paralelogramo generado por estos vectores. Se muestra cómo el producto escalar entre p y cualquier vector x es equivalente al volumen del paralelepípedo definido por x junto con b y w. Finalmente, se resume cómo el enfoque computacional y geométrico converge en el vector dual p, proporcionando una comprensión completa del producto vectorial y su relación con el álgebra lineal, dejando como anticipo el tema del cambio de base para el próximo vídeo.

Keywords

💡Producto Vectorial

El producto vectorial es una operación matemática que toma dos vectores y produce un tercer vector perpendicular a ambos. En el video, se discute cómo calcular el producto vectorial tridimensional entre dos vectores, que es fundamental para entender las propiedades geométricas y la dirección del vector resultante, siguiendo la regla de la mano derecha.

💡Matriz

Una matriz es una estructura de datos matemática que se utiliza para representar sistemas de ecuaciones y transformaciones. En el contexto del video, se menciona una matriz cuyas columnas contienen los componentes de los vectores y símbolos como 'i', 'j', y 'k', que son esenciales para calcular el determinante y, por ende, el producto vectorial.

💡Determinante

El determinante es un valor numérico asociado con una matriz cuadrada que proporciona información sobre la transformación lineal que representa la matriz. En el video, se utiliza el determinante para calcular el producto vectorial, donde el resultado es una constante multiplicada por los símbolos de los ejes ('i', 'j', 'k').

💡Área del Paralelogramo

El área de un paralelogramo definido por dos vectores es mencionada en relación con la magnitud del vector resultante del producto vectorial. En el video, se indica que la longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo formado por los vectores 'b' y 'w'.

💡Transformación Lineal

Una transformación lineal es una función que mapea un espacio vectorial a otro, preservando las operaciones de suma y escalar. En el video, se discute cómo la idea de dualidad se relaciona con las transformaciones lineales, donde cada transformación tiene un vector dual asociado.

💡Dualidad

La dualidad es un concepto en álgebra lineal que relaciona una transformación lineal con un vector único, donde aplicar la transformación es equivalente a tomar el producto escalar con ese vector. En el video, se utiliza la dualidad para entender la conexión entre el cálculo numérico y la geometría del producto vectorial.

💡Producto Escalar

El producto escalar es una operación entre dos vectores que resulta en un número, representando la proyección de un vector sobre otro multiplicado por la longitud de ambos. En el video, se establece una relación entre el producto escalar y el volumen de un paralelepípedo, lo cual es crucial para entender el vector dual.

💡Volumen del Paralelepípedo

El volumen de un paralelepípedo generado por tres vectores es mencionado en el video como un concepto que se puede calcular a través del determinante de una matriz 3x3. Aunque no es el producto vectorial en sí, este concepto se utiliza para entender la relación entre la geometría y los cálculos del producto vectorial.

💡Regla de la Mano Derecha

La regla de la mano derecha es una herramienta para determinar la dirección de un vector resultante en operaciones vectoriales, como el producto vectorial. En el video, se utiliza esta regla para ilustrar cómo el vector resultante apunta en una dirección perpendicular a los vectores originales, dependiendo de la orientación de los mismos.

💡Cambio de Base

El cambio de base es un concepto en álgebra lineal que permite representar vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Aunque no se discute en profundidad en el video, se menciona como un tema para un próximo video, implicando su importancia en el estudio de las transformaciones y representaciones vectoriales.

Highlights

Explicación de cómo calcular el producto vectorial tridimensional utilizando una matriz con símbolos y, j y k en la primera columna.

El determinante de la matriz nos da las coordenadas del vector resultante, que es perpendicular a los vectores b y w.

La longitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo definido por b y w.

La dirección del vector resultante obedece a la regla de la mano derecha.

Introducción a la idea de dualidad en transformaciones lineales y su asociación con vectores únicos.

La representación de una transformación lineal por una matriz de una sola fila y su relación con el producto escalar.

El vector dual de una transformación es el resultado de aplicar la transformación lineal o tomar el producto escalar con ese vector.

La conexión entre el cálculo numérico del producto vectorial y su interpretación geométrica.

Definición de una transformación lineal de tres dimensiones hacia la recta numérica en términos de los vectores b y w.

La importancia de la linearidad de la función para entender la dualidad y la multiplicación de matrices.

Búsqueda del vector especial en 3D, llamado p, que cumple con la propiedad de ser el vector dual de la transformación lineal.

La interpretación computacional del producto escalar entre p y un vector x es similar a calcular el determinante de una matriz.

La interpretación geométrica del volumen del paralelepípedo y su relación con el producto escalar.

La proyección del vector en una línea perpendicular a b y w y su relación con el área del paralelogramo.

La elección del vector p que es perpendicular a b y w y tiene una longitud igual al área del paralelogramo.

La demostración de que el vector p encontrado computacionalmente es el mismo que el encontrado geométricamente.

La conexión entre los productos escalares y vectoriales y su importancia en el álgebra lineal.

Anuncio del próximo vídeo sobre el cambio de base en álgebra lineal.

Transcripts

[Música]

ah

ah

hola amigos donde nos quedamos el vídeo

anterior estaba hablando de cómo

calcular un producto vectorial

tridimensional entre dos vectores de

cruz w me refiero a esta simpática cosa

donde se escribe una matriz cuya segunda

columna tiene las coordenadas de b cuya

tercera columna tiene las coordenadas de

w pero las entradas de la primera

columna extrañamente son los símbolos y

j y k sombrerito y pretendes que estos

últimos son simplemente números por el

bien de los cálculos luego teniendo esa

peculiar matriz calcula su determinante

si sólo te pones a realizar esos

cálculos haciendo caso omiso de la

rareza de los mismos obtienes alguna

constante multiplicada por y sombrerito

más alguna constante multiplicada por

jota sombrerito más alguna constante

multiplicada por k sombrerito

y la manera específica en la que piensas

en el cálculo de este determinante está

en cierto modo más allá del punto todo

lo que importa aquí es que vas a

terminar con tres números diferentes que

se interpretan como las coordenadas de

algún vector resultante desde aquí

normalmente se le dice a los estudiantes

que el vector resultante tiene las

siguientes propiedades geométricas su

longitud es igual al área del

paralelogramo definido por b y w apunta

en una dirección perpendicular a ambos

b&w y esta dirección obedece a la regla

de la mano derecha en el sentido de que

si apuntas tu dedo índice a lo largo

debe y el dedo medio a lo largo de w

entonces se cumple que el pulgar

colocado hacia arriba va a apuntar en la

dirección del nuevo vector

hay algunos cálculos de fuerza bruta que

se podrían hacer para confirmar estos

hechos pero quiero compartir con ustedes

una línea elegante de razonamiento la

cual aprovecha un poco de los

conocimientos previos así que para este

vídeo estoy asumiendo que todo el mundo

ha visto el capítulo 5 del determinante

y el capítulo 7 donde presenté la idea

de dualidad

como recordatorio la idea de la dualidad

es que cada vez que tengas una

transformación lineal de un cierto

espacio a la recta numérica ésta está

asociada con un vector único en ese

espacio en el sentido de que aplicar la

transformación lineal es lo mismo que

tomar un producto escalar con ese vector

numéricamente esto se debe a que una de

esas transformaciones es representada

por una matriz con una sola fila donde

cada columna indica el número en el que

va a parar cada vector de la base

y multiplicar esta matriz por algún

vector b es computacionalmente idéntico

a tomar el producto escalar entre b y el

vector que se obtiene girando esa matriz

la conclusión es que cada vez que estés

en el mundo de las matemáticas y

encuentres una transformación lineal a

la recta numérica serás capaz de hacerla

coincidir con algún vector que se llama

el vector dual de esa transformación de

modo que al realizar la transformación

lineal obtienes lo mismo que al tomar un

producto de escalar con ese vector

el producto vectorial nos da un ejemplo

muy eficiente de este proceso en acción

se necesita un poco de esfuerzo pero

definitivamente vale la pena lo que voy

a hacer es definir una cierta

transformación lineal partiendo de tres

dimensiones hacia la recta numérica la

definiré en términos de los dos vectores

b&w posteriormente cuando asociamos esa

transformación con su vector dual en el

espacio 3 de ese vector dual va a hacer

el producto vectorial dv y w la razón

para hacer esto es porque al entender la

transformación quedará clara la conexión

entre los cálculos numéricos y la

geometría del producto vectorial

retrocedamos un poco recuerdas en dos

dimensiones lo que significaba calcular

la versión 2d del producto vectorial

cuando tienes dos vectores b&w colocas

las coordenadas de b como la primera

columna de la matriz y las coordenadas

de w como la segunda columna de la

matriz y luego calculas el determinante

no hay nada descabellado al hablar de

vectores de la base atrapados en una

matriz solo un determinante ordinario

que arroja un número

geométricamente esto nos da el área de

un paralelogramo generado por esos dos

vectores con la posibilidad de ser

negativa dependiendo de la orientación

de los vectores

ahora si no conocieras el producto

victorial 3d y tratarás de extrapolar

podrías imaginar que consiste en tomar

tres vectores tridimensionales separados

v y w luego harías de sus coordenadas

las columnas de una matriz 3 x 3

y finalmente calcular y es el

determinante de esa matriz

y como sabes desde el capítulo 5

geométricamente esto nos dará el volumen

de un paralelepípedo comprendido por

esos tres vectores con el signo más o

menos dependiendo de la orientación

según la regla de la mano derecha de

esos tres vectores

por supuesto todos ustedes saben que

esto no es el producto vectorial 3d el

verdadero producto vectorial en 3-d toma

dos vectores y arroja un vector no toma

tres vectores y arroja un número pero

esta idea en realidad nos pone muy cerca

de lo que el producto vectorial es en

realidad considera que el primer vector

o sea una variable con digamos tres

argumentos variables x jay-z mientras

que b y w permanecen fijos

lo que tenemos entonces es una función

que va de tres dimensiones a la recta

numérica tú pones como argumento algún

vector x iceta y obtienes un número

tomando el determinante de la matriz

cuya primera columna es x ez y cuyas

otras dos columnas son las coordenadas

de los vectores constantes b&w

geométricamente el significado de esta

función es que para cualquier vector de

entrada x z se toma en cuenta el

paralelepípedo definido por este vector

b&w a continuación te arrojará su

volumen con el signo más o menos

dependiendo de la orientación

ahora esto puede sentirse como si

hiciéramos algo aleatorio es decir de

dónde viene esta función porque la

estamos definiendo de esta manera y voy

a admitir que en esta etapa tuve la

sensación como si viniera de la nada

pero si estás dispuesto a ir junto con

ella y jugar con las propiedades que

tiene te resultará clave para entender

el producto vectorial

un hecho muy importante acerca de esta

función es que es lineal de hecho voy a

dejar de trabajar con los detalles de

porque esto es verdad basada en las

propiedades del determinante pero una

vez que se sabe que es lineal podemos

comenzar a traer la idea de la dualidad

una vez que sepas que es lineal sabrás

que hay alguna manera de describir esta

función como la multiplicación de

matrices específicamente ya que es una

función que va de tres dimensiones a una

dimensión habrá una matriz de uno por

tres que codifica esta transformación

y la idea de la dualidad es que lo

especial sobre las transformaciones de

varias dimensiones a una dimensión es

que puede girar esa matriz de lado y en

cambio interpretar toda la

transformación como el producto escalar

con un vector determinado

lo que estamos buscando es el vector

especial en 3-d al que voy a llamar p

tal que si tomas el producto escalar

entre p y cualquier otro vector x ez da

el mismo resultado que si pones x jay-z

como la primera columna de una matriz 3

por 3 cuyas otras dos columnas tienen

las coordenadas de v y w y luego

calculas el determinante hablaré de la

geometría de esto en un momento pero

primero vamos a profundizar y pensar en

lo que esto significa computacionalmente

tomar el producto escalar entre p y x y

z nos dará algo x x + algo x + algo x z

donde esos algo son las coordenadas de p

pero del lado derecho cuando se calcula

el determinante puedes organizar que se

vea como una constante multiplicada por

x más una constante multiplicada por ye

más una constante multiplicada por z

donde esas constantes implican ciertas

combinaciones de los componentes de v y

w por lo tanto estas constantes esas

combinaciones particulares de las

coordenadas de wv van a ser las

coordenadas del vector p

buscando pero lo que está pasando aquí a

la derecha debe parecer muy familiar

para cualquiera que efectivamente haya

trabajado en el cálculo del producto

vectorial

y reunir los términos constantes que se

multiplican por equis jay-z de esta

manera no es diferente de poner los

símbolos y sombrerito jota sombrerito y

ka sombrerito en la primera columna y

ver qué coeficientes se juntan en cada

uno de estos términos

es solo que poner y sombrerito jota

sombrerito y ka sombrerito es una manera

de señalar que debemos interpretar esos

coeficientes como las coordenadas de un

vector

por lo tanto lo que todo esto nos dice

es que este cálculo peculiar puede ser

pensado como una manera de responder a

la siguiente pregunta que vector p tiene

la propiedad especial de que cuando se

toma un producto escalar entre p y algún

vector x ez da el mismo resultado que

poner x iceta en la primera columna de

la matriz cuyas otras dos columnas

tienen las coordenadas de wv y luego

calcular el determinante esto fueron

muchas palabras pero es una cuestión

importante para digerir en este vídeo

ahora viene la parte buena que une todo

esto con el entendimiento geométrico del

producto vectorial que introduje en el

último vídeo

voy a hacer la misma pregunta pero esta

vez vamos a tratar de responder

geométricamente en lugar de

computacionalmente

quebec torpe en 3-d tiene la propiedad

especial de que cuando se toma un

producto escalar entre p y algún otro

vector x ez da el mismo resultado que si

se toma el volumen de un paralelepípedo

definido por ese vector xz junto con b w

recuerda que la interpretación

geométrica de un producto escalar entre

un vector p y algún otro vector es

proyectar ese otro vector en p y luego

multiplicar la longitud de esa

proyección por la longitud de p

con esto en mente permíteme mostrar una

cierta manera de pensar en el volumen

del paralelepípedo que nos va a importar

empieza por tomar el área del

paralelogramo definido por b&w y

multiplica no por la longitud de x y z

sino por el componente de x 10 eta que

es perpendicular al paralelogramo

en otras palabras la forma en que

nuestra función lineal va a funcionar en

un vector dado es proyectando ese vector

en una línea que es perpendicular a bay

w luego multiplicando la longitud de esa

proyección por el área del paralelogramo

generado por b y w

pero esto es lo mismo que calcular un

producto escalar entre x y z y un vector

que sea perpendicular a b y w con una

longitud igual al área del paralelogramo

pero aún hay más si se elige la

dirección apropiada para ese vector los

casos en los que el producto escalar es

negativo se alinearán con los casos en

que la regla de la mano derecha sea

negativa para la orientación de x de

zeta ivey w

esto significa que acabamos de encontrar

un vector p tal que si tomamos el

producto escalar entre p y algún vector

x ya z es lo mismo que si calculamos el

determinante de una matriz 3 por 3 cuyas

columnas son x dz y las coordenadas the

b&w por lo tanto la respuesta que hemos

encontrado antes computacionalmente

usando el truco de una anotación

especial se debe corresponder

geométricamente a este vector esta es la

razón fundamental por la cual el cálculo

y la interpretación geométrica del

producto vectorial están relacionados

solo para resumir lo que pasó aquí

empecé por definir una transformación

lineal del espacio 3d a la recta

numérica y lo hice en términos de los

vectores b&w luego me fui por dos

caminos separados para pensar en el

vector dual de esta transformación el

vector tal que si aplicas la

transformación es lo mismo que tomar el

producto escalar con ese vector por un

lado un enfoque computacional te llevará

al truco de poner los símbolos hijo teca

sombrerito en la primera columna de la

matriz y calcular el determinante

pero pensando geométricamente podemos

deducir que este vector dual debe ser

perpendicular a b y w con una longitud

igual al área del paralelogramo generado

por estos dos vectores

dado que estos dos enfoques nos dan un

vector dual para la misma transformación

deben ser el mismo vector

esto comprende los productos escalares y

vectoriales y el próximo vídeo será

sobre un concepto muy importante para el

álgebra lineal el cambio de base

[Música]