El problema de la recta tangente.
Summary
TLDREl problema de la recta tangente fue crucial en el desarrollo del cálculo en el siglo 17. Se destacaron matemáticos como Newton y Leibniz, quienes trabajaron en la aproximación de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico. La solución general se basa en el uso de la recta secante, que pasa por dos puntos de la curva, y cuya pendiente se hace más precisa a medida que el segundo punto se acerca al punto de tangencia. La definición de tangente se complica en curvas no circulares, pero la pendiente de la tangente se calcula a través del límite del cociente de diferencias cuando estos tienden a cero, proporcionando una aproximación precisa de la curva en el punto de interés.
Takeaways
- 📚 El problema de la recta tangente fue un tema central en el desarrollo del cálculo en el siglo 17.
- 👨🔬 Pierre de Fermat, René Descartes, Christiaan Huygens, Isaac Barrow y otros matemáticos contribuyeron a soluciones parciales del problema.
- 🌟 La primera solución general del problema de la recta tangente se atribuye a Isaac Newton y a Gottfried Wilhelm Leibniz.
- 🔍 Newton trabajó en este problema influenciado por su interés en la refracción de la luz y la óptica.
- 📐 En una circunferencia, la recta tangente en un punto es perpendicular al radio que pasa por ese punto.
- 🤔 Para curvas generales, definir la recta tangente se vuelve más complicado y no siempre se ajusta a las definiciones simples.
- 📈 La pendiente de la recta tangente en un punto se puede aproximar usando la pendiente de la recta secante que pasa por ese punto y otro punto cercano.
- 📊 A medida que los puntos utilizados para la recta secante se acercan al punto de tangencia, la aproximación a la pendiente de la recta tangente se vuelve más precisa.
- 💡 La definición formal de la recta tangente con pendiente 'm' se basa en el límite del cociente de incrementos cuando delta x tiende a cero.
- 📖 La recta tangente a una función en un punto dado es aquella que pasa por ese punto y tiene una pendiente igual al límite del cociente de diferencias de 'y' sobre 'x'.
Q & A
¿Cuáles fueron los cuatro problemas que impulsaron el desarrollo del cálculo en el siglo 17?
-Los cuatro problemas fueron: 1) El problema de la recta tangente, 2) El problema de la velocidad y la aceleración, 3) El problema de los máximos y mínimos, 4) El problema del área.
¿Qué es el problema de la recta tangente y cómo se relaciona con el cálculo?
-El problema de la recta tangente consiste en aproximar la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado. Se determina la pendiente de la secante que va de un punto de la gráfica a otro punto, y a medida que este segundo punto se acerca al punto dado, la aproximación se vuelve más exacta.
¿Quiénes fueron algunos de los matemáticos que contribuyeron a las soluciones parciales del problema de la recta tangente?
-Pierre de Fermat, René Descartes, Christiaan Huygens e Isaac Barrow fueron algunos de los matemáticos que propusieron soluciones parciales al problema de la recta tangente.
¿A quién se le atribuye generalmente la primera solución general al problema de la recta tangente?
-La primera solución general al problema de la recta tangente se suele atribuir a Isaac Newton y a Gottfried Wilhelm Leibniz.
¿De qué manera el interés de Isaac Newton por la refracción de la luz y la óptica influyó en su trabajo sobre la recta tangente?
-El trabajo de Newton sobre la recta tangente se originó de su interés en la refracción de la luz y la óptica. Esto lo llevó a definir la recta tangente en una circunferencia como la recta perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
¿Cómo se complica el problema de definir la recta tangente en curvas generales más allá de las circunferencias?
-En curvas generales, el problema se complica porque no es tan claro cómo definir las rectas tangentes, ya que pueden tocar la curva en el punto de tangencia sin cruzarla, o pueden cruzarla en más de un punto.
¿Cómo se puede aproximar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado?
-La pendiente de la recta tangente se puede aproximar usando la recta secante que pasa por el punto de tangencia y otro punto cercano de la curva. A medida que el segundo punto se acerca al punto de tangencia, la aproximación se vuelve más precisa.
¿Cuál es la definición formal de la recta tangente con pendiente 'm' en un punto 'c' de una función?
-Si una función está definida en un intervalo abierto que contiene 'c', y existe el límite de (f(c + Δx) - f(c)) / Δx al tender Δx a cero, entonces ese límite es igual a 'm'. La recta que pasa por el punto (c, f(c)) y tiene pendiente 'm' es la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (c, f(c)).
¿Cómo se relaciona la pendiente de la recta tangente con la pendiente de la gráfica de una función en un punto específico?
-La pendiente de la recta tangente en un punto 'c' de la gráfica de una función se llama también pendiente de la gráfica de la función en x igual a 'c'. Esta pendiente representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.
¿Qué implica la aproximación de la pendiente de la recta tangente tomando puntos más cercanos al punto de tangencia?
-Tomar puntos más cercanos al punto de tangencia para aproximar la pendiente de la recta tangente implica que la aproximación se vuelve más precisa, ya que el cambio en 'y' se ajusta más estrechamente al cambio en 'x' en el punto de tangencia.
Outlines
📐 Problemas fundamentales del cálculo del siglo 17
Este párrafo aborda los cuatro grandes problemas que impulsaron el desarrollo del cálculo en el siglo 17, entre ellos el problema de la recta tangente. Se menciona que el cálculo se desarrolló en torno a estos problemas, siendo el problema de la recta tangente el de aproximar la pendiente de una gráfica en un punto específico. Se describe el proceso de aproximación utilizando la pendiente de la secante que conecta dos puntos de la gráfica, y cómo esta aproximación se vuelve más precisa a medida que los puntos se acercan. Además, se destaca la contribución de matemáticos como Pierre de Fermat, René Descartes, Christiaan Huygens, Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz a la solución de este problema. La sección también explora diferentes definiciones de recta tangente para curvas y cómo estas se aplican a diferentes contextos, concluyendo con la definición formal de la recta tangente y su pendiente en un punto dado.
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Keywords
💡Recta tangente
💡Pendiente
💡Secante
💡Límite
💡Diferencias
💡Incremento
💡Cálculo diferencial
💡Isaac Newton
💡Gottfried Wilhelm Leibniz
💡Refracción de la luz
Highlights
El problema de la recta tangente es uno de los cuatro grandes problemas que impulsaron el desarrollo del cálculo en el siglo 17.
El problema de la velocidad y la aceleración es otro de los cuatro problemas clave que influyeron en el avance del cálculo.
El problema de los máximos y mínimos es esencial para el análisis de funciones y su importancia en el cálculo.
El problema del área es fundamental para el cálculo integral y la comprensión de áreas bajo curvas.
Pierre de Fermat, René Descartes, Christiaan Huygens e Isaac Barrow contribuyeron con soluciones parciales al problema de la recta tangente.
Isaac Newton y Gottfried Leibniz son generalmente reconocidos por su trabajo en la solución general del problema de la recta tangente.
La aproximación de la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado es esencial para entender la tangente.
La secante que va de un punto de la gráfica a otro punto cercano se utiliza para aproximar la recta tangente.
La definición de la recta tangente en una circunferencia es la recta perpendicular al radio en el punto de tangencia.
La definición de la recta tangente en curvas generales es más complicada y requiere una aproximación más precisa.
La recta tangente en un punto p se define como la que toca la curva sin cruzarla en ese punto.
La pendiente de la recta tangente se puede aproximar usando la recta secante que pasa por dos puntos cercanos.
El cambio en y dividido por el cambio en x, conocido como cociente de incrementos, se utiliza para encontrar la pendiente de la secante.
La precisión de la aproximación de la pendiente de la recta tangente mejora a medida que los puntos se acercan al punto de tangencia.
La definición formal de la recta tangente con pendiente m se basa en el límite de la pendiente de la secante cuando el segundo punto se acerca al punto de tangencia.
La recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico se caracteriza por su pendiente m, que es el límite del cociente de incrementos.
La pendiente de la recta tangente también se conoce como la pendiente de la función en el punto de tangencia.
Transcripts
el problema de la recta tangente
el cálculo se desarrolló a la sombra de
cuatro problemas en los que estaban
trabajando los matemáticos europeos en
el siglo 17 1 el problema de la recta
tangente 2 el problema de la velocidad y
la aceleración 3 el problema de los
máximos y mínimos
4 el problema del área el problema de la
recta tangente para aproximar la
pendiente de la recta tangente a una
gráfica en un punto dado se determina la
pendiente de la secante que va de un
punto de la gráfica a otro punto a
medida que este segundo punto se acerca
al punto dado la aproximación tiende a
tornarse más exacta aunque pierre de
fermat
1601 a
1.665 rené descartes
1596 1650
christiaan huygens
1629 a
1.695 e isaac barrow mil 630 mil 677
habían propuesto soluciones parcial es
la primera solución general se suele
atribuir a isaac newton
1642 a 1.727 y a gatwick leibniz mil 646
mil 716 el trabajo de newton respecto a
este problema procedía de su interés por
la refracción de la luz y la óptica que
quiere decir que una recta es tangente a
una curva en un punto en una
circunferencia la recta tangente en un
punto p es la recta perpendicular al
radio que pasa por p como se muestra en
la figura
sin embargo en una curva general el
problema se complica por ejemplo cómo se
podrían definir las rectas tangentes que
se observan en la figura
afirmando que una recta es tangente a
una curva en un punto p si toca a la
curva empecé en atravesarla tal
definición sería correcta para la
primera curva de la figura 22 pero no
para la segunda también se podría decir
que una recta es tangente a una curva si
la tocan o hace intersección en ella
exactamente en el punto p definición que
serviría para una circunferencia pero no
para curvas más generales como sugiere
la tercera curva de la figura 2 pto
en esencia el problema de encontrar la
recta tangente en un punto p se reduce
al de calcular su pendiente en ese punto
se puede aproximar la pendiente de la
recta tangente usando la recta secante
que pasa por p y por otro punto cercano
de la curva como se muestra en la figura
23 si el punto cfs es el punto de
tangencia y c + delta x fdc más delta x
es el otro punto de la gráfica de la
función la pendiente de la recta secante
que pasa por ambos puntos se encuentra
sustituyendo en la fórmula el miembro de
la derecha en esta ecuación es un
cociente de incremento o de diferencias
el denominador del está x es el cambio o
incremento en xy el numerador del thai
que es igual a fcc + del tx - fcc es el
cambio o incremento en y
la belleza de este procedimiento radica
en que se pueden obtener más
aproximaciones y más precisas de la
pendiente de la recta tangente tomándo
puntos de la gráfica cada vez más
próximos al punto de tangencia como se
muestra en la figura 24
definición de la recta tangente con
pendiente m si la función está definida
en un intervalo abierto que contiene
hace y además existe el límite de delta
x tendiendo a cero de delta y sobre
delta x que es igual al límite de delta
x tendiendo a cero de fcc más delta x
menos fdc sobre delta x que es igual a m
entonces la recta que pasa por el punto
c fdc y cuenta con una pendiente m es la
recta tangente a la gráfica de la
función en el punto c fdc la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la
función en el punto c fdc se llama
también pendiente de la gráfica de la
función en x igual a c
y
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no no no
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