PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE: METODO DERIVADA DE LOS 4 PASOS.
Summary
TLDREl video aborda un ejercicio de cálculo sobre la pendiente de una recta tangente, comparándola con una secante. Se explica cómo usar la derivada de cuatro pasos para hallar la pendiente de la tangente en un solo punto, a través del límite cuando h tiende a cero. El profesor detalla el proceso paso a paso, desde sustituir x por x+h en la función, hasta calcular el límite final y encontrar la pendiente y ecuación de la recta tangente en el punto dado (-1,1). También se destaca la diferencia entre la razón de cambio instantánea y promedio.
Takeaways
- 📘 El ejercicio es similar al de la página 65, pero con una función cúbica que incluye fracciones.
- 📐 Se hace una revisión de la diferencia entre una recta tangente y una secante.
- 🧮 La fórmula de la pendiente de la recta secante es (y2 - y1) / (x2 - x1), utilizada cuando se conocen dos puntos.
- 📉 En cálculo, se busca la pendiente de la recta tangente, que toca la curva en un solo punto, usando el límite.
- 💡 La fórmula de la derivada de cuatro pasos se obtiene del límite cuando h tiende a cero.
- ✏️ Se resuelve el ejercicio siguiendo cuatro pasos: encontrar f(x+h), restar f(x), dividir entre h, y aplicar el límite.
- 🔢 El primer paso implica desarrollar un binomio al cubo para sustituir x por (x+h) en la función dada.
- 📏 El tercer paso lleva a dividir entre h y, al final, aplicar el límite para encontrar la pendiente de la tangente.
- 📊 La pendiente resultante es 3/5 cuando se evalúa en el punto (-1, 1).
- 📝 Se presenta la ecuación de la recta tangente en dos formas: general y pendiente-ordenada al origen.
Q & A
¿Qué es una recta secante y cómo se determina su pendiente?
-Una recta secante es aquella que intersecta a la curva de una función en dos puntos. Su pendiente se determina mediante la fórmula (y2 - y1) / (x2 - x1), donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos de intersección.
¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una recta tangente?
-Una recta secante intersecta a la curva en dos puntos, mientras que una recta tangente toca la curva en solo un punto.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta tangente?
-La pendiente de una recta tangente se calcula mediante el límite cuando h tiende a cero de [(f(x + h) - f(x)) / h], que también es la definición de la derivada de la función en el punto de tangencia.
En el guion, ¿qué función se utiliza para ejemplificar cómo encontrar la recta tangente?
-Se utiliza la función f(x) = x^5 + 6x como ejemplo para encontrar la recta tangente.
¿Cuál es el primer paso para encontrar la pendiente de la recta tangente según el guion?
-El primer paso es encontrar f(x + h), que implica reemplazar x por (x + h) en la función original.
¿Cómo se desarrolla el binomio al cubo en el ejemplo del guion?
-El binomio al cubo se desarrolla siguiendo la fórmula (x + h)^5 = x^5 + 5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5.
En el guion, ¿qué significa hacer el segundo paso para encontrar la pendiente de la recta tangente?
-El segundo paso implica restar la función original f(x) a f(x + h) para obtener una expresión que luego se dividirá entre h.
¿Cuál es la fórmula de la recta tangente en el punto (x1, y1)?
-La fórmula de la recta tangente en el punto (x1, y1) es y - y1 = m(x - x1), donde m es la pendiente de la recta tangente.
¿Cómo se determina la ecuación de la recta tangente en el punto (-1,1) para la función dada en el guion?
-Se sustituye x = -1 en la pendiente obtenida para encontrar la pendiente en ese punto y luego se usa la fórmula de la recta tangente para obtener su ecuación.
En el guion, ¿qué método se sugiere para simplificar la ecuación de la recta tangente al resolver el ejercicio?
-Se sugiere simplificar la ecuación de la recta tangente igualando todo a cero y moviendo los términos para que la x quede positiva.
Outlines
📚 Introducción a las rectas secantes y tangentes
El orador presenta un ejercicio del libro de texto, similar al ejercicio 3 de la página 65. Explica las diferencias entre una recta secante, que cruza una curva en dos puntos, y una recta tangente, que toca la curva en un solo punto. Introduce la fórmula para la pendiente de la recta secante y cómo en cálculo se busca encontrar la pendiente de una recta tangente usando el límite de una función cuando h tiende a cero.
📏 Rectas tangentes y ecuaciones
Se visualiza el ejercicio de encontrar la pendiente de una recta tangente que pasa por el punto (-1, 1) en una curva dada. El objetivo es encontrar la pendiente y la ecuación de dicha recta. El orador repasa los cuatro pasos para encontrar la pendiente usando la fórmula del límite de la función derivada y aplica esos pasos al ejercicio.
🧮 Primeros pasos del cálculo de la pendiente
Se detallan los primeros dos pasos para encontrar la pendiente de la recta tangente. El primer paso consiste en sustituir x por x+h en la función y desarrollar un binomio al cubo. En el segundo paso, se resta la función original de esta nueva función obtenida y se resuelven las restas para simplificar la expresión.
➗ División y límite para obtener la pendiente
En el tercer paso, el orador divide los términos obtenidos entre h. Explica dos métodos: uno directo dividiendo cada término y otro factorizando h. En el cuarto paso, toma el límite cuando h tiende a cero para eliminar los términos con h, obteniendo finalmente la pendiente de la recta tangente, que es 3/5x² para cualquier punto en la curva.
🔍 Aplicación del valor del punto (-1,1)
Se sustituye el valor de x=-1 en la fórmula obtenida para calcular la pendiente de la recta tangente en ese punto específico. El resultado es una pendiente de 3/5, indicando una inclinación positiva. Luego, el orador recuerda las diferencias entre pendientes positivas, negativas, horizontales y verticales.
📐 Cálculo de la ecuación de la recta tangente
El orador explica cómo obtener la ecuación de la recta tangente usando la fórmula punto-pendiente. Sustituye los valores y resuelve la ecuación paso a paso, transformándola en la ecuación general de la recta. Alternativamente, también muestra cómo expresar la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen, dejando al oyente la elección de la forma preferida.
Mindmap
Keywords
💡Recta Tangente
💡Recta Secante
💡Pendiente
💡Derivada
💡Límite
💡Cambio Instantáneo
💡Cambio Promedio
💡Función Cúbica
💡Binomio al Cubo
💡Ecuación de la Recta
Highlights
Introducción del ejercicio basado en la página 65 del libro, con una función cúbica similar a la del ejercicio 3.
Explicación de la diferencia entre una recta tangente y una secante: la secante cruza la curva en dos puntos, mientras que la tangente la toca en un solo punto.
Revisión de la fórmula de la pendiente de una recta secante, que se calcula usando (y2 - y1) / (x2 - x1).
Introducción a la fórmula de la pendiente de una recta tangente, explicando que se basa en el límite cuando h tiende a cero.
Relación entre la fórmula de la pendiente tangente y la derivada de una función mediante el proceso de cuatro pasos.
Desarrollo del primer paso de la derivada: encontrar f(x + h) reemplazando x en la función original.
Uso del binomio al cubo para desarrollar f(x + h), descomponiendo los términos paso a paso.
Segundo paso: restar la función original de f(x + h), lo que implica cambiar los signos y realizar una resta vertical.
Tercer paso: dividir el resultado obtenido por h, explicando cómo se simplifican los términos y utilizando las propiedades de los exponentes.
Cuarto paso: calcular el límite cuando h tiende a cero, sustituyendo h por cero en la fórmula resultante para obtener la pendiente final.
Resultado final: la pendiente de la recta tangente es 3/5 x² para cualquier valor de x.
Explicación del concepto de razón de cambio instantánea, que es equivalente a la pendiente de la recta tangente y la derivada.
Introducción del concepto de razón de cambio promedio, explicando su relación con el tercer paso del proceso de derivación.
Cálculo de la pendiente en un punto específico (-1, 1), sustituyendo x en la ecuación de la pendiente tangente.
Desarrollo de la ecuación de la recta tangente usando la fórmula punto-pendiente y ajustándola en diferentes formatos algebraicos.
Transcripts
hola muchachos vamos a ver un ejercicio
de los del libro que me estaban
preguntando de la página 65 de la página
66 voy a comenzar a proyectar pantalla
para que podamos este resolverlo puedan
ver la solución entonces
vamos a comenzar con este que está aquí
es muy similar al ejercicio 3 de la
página 65 de su libro en este caso lo
que cambia es la función también es una
x cúbica eso es lo que tiene aquí el un
quinto más el seis quintos pero es muy
similar en la forma de resolverlo y pues
espero que les ayude para su tarea antes
de resolverlo quiero regresarme un
poquito
a esta parte de diferenciar Cuál es una
recta tangente comparada con una recta
secante ustedes bien saben ya lo
recuerda recordarán de Mate 3 que una
recta secante es aquella que cruza corta
o intersecta a la curva de una función
en dos puntos entonces en mate 3 les
enseñaron a encontrar la pendiente de
una recta que en la que conocen los dos
puntos es decir la pendiente de una
recta secante con la formulita que dice
y2 - g1 sobre x2 - x1 para poder usar
esta fórmula es necesario conocer este
este punto de aquí que tienen las
coordenadas x1 y1 y este otro de acá que
tiene las coordenadas Déjenme acá lo
pongo este lado x2 y2 sí Entonces sí
conocemos esos dos puntos podemos usar
esta esta fórmula está ahí todo bien el
asunto es que en cálculo lo que hacemos
Es algo más este especializado esto es
encontrar la pendiente de una recta
tangente y tangente sabemos que es
aquella que toca o cruza a la curva de
una función en un solo punto la rosa en
un solo punto de esa curva Entonces se
vuelve imposible utilizar esta misma
fórmula para calcular la pendiente de
esta recta morada puesto que solo
conocemos un punto No conocemos ambas
coordenadas para ello Entonces es donde
surge la pendiente de la recta tangente
la fórmula que es la misma fórmula que
nos sirve para sostener la derivada la
derivada de los cuatro pasos que es la
que hemos estado aprendiendo y que a su
vez se obtiene mediante un límite el
límite cuando h tiende a cero de la
función incrementada menos la función
original y todo eso dividido entre H
recordando que H significa el cambio x y
también se puede representar como Delta
x cualquiera de los dos símbolos
representan lo mismo el cambio que sufre
x
Entonces
a qué se refiere que Delta H perdón si
queda Delta x o que H cualquiera de las
dos los símbolos que quieran usar tiende
a cero pues significa que estos dos
puntos se empiezan a aparecer tanto uno
respecto al otro se empiezan a acercar
tanto estos dos puntos de la recta
secante Que prácticamente la recta
secante se vuelve similar a la tangente
porque la distancia que separa estos dos
puntos tiende a cero y en ese en ese
caso en el límite de eso es donde ambas
rectas coinciden en una sola entonces en
resumen este de aquí es la fórmula para
obtener la pendiente de una recta
tangente y también es la famosa derivada
de los cuatro pasos Entonces esta
fórmula de aquí es la que vamos a
utilizar para poder resolver el
ejercicio que andamos buscando este de
acá entonces voy a volver a escribir
aquí la para tenerla a la mano hay otra
vez se me fue la onda Aquí este
la pendiente de la recta tangente se
obtiene con el límite cuando h tiende a
cero esta siempre siempre va a ser de la
misma manera siempre siempre siempre
siempre es este mismo esta misma
expresión es la que usamos todo el
tiempo sale es nuestra fórmula Bueno
entonces lo que voy a hacer fíjense vean
para empezar ustedes recordarán que y es
lo mismo que F de X porque lo que
estamos diciendo es que ye depende de x
y está en función de X entonces Siempre
es lo mismo lo puedo igualar ayer o lo
puedo igualar FX Bueno Este es fdx estoy
aquí
lo que voy a hacer es utilizar esta
función que me dan para meterla en esta
fórmula que ya conozco y para eso pues
voy a
realizarlo en cuatro pasos antes de
empezar con los cuatro pasos veamos la
Gráfica de esa función es esta de aquí
me están dando el punto menos uno coma
uno entonces lo podemos marcar acá menos
1,1 es aquí en ese punto hay una recta
tangente que pasa por aquí que me va a
quedar mucho acá pero vamos a dar súper
mal vamos a suponer que la recta
tangente es una recta que me quedó
derechita y que pasa por ese punto esta
recta lo que quiero saber de ella es la
pendiente eso es la pregunta de los
64.000 la pendiente de esta recta Pero
además su ecuación
son las dos cosas que me están
preguntando ojo no me están preguntando
la ecuación de la curva verde la de la
curva verde si la conozco es esta que me
están dando acá lo que me están
preguntando es la de la recta que pasa
por ahí para poder encontrar la ecuación
de la recta Prima tengo que conocer su
pendiente entonces vamos a empezar con
eso vamos a hacer aquí los los cuatro
pasos fíjense bien el paso 1
es encontrar FX + H es decir esta
partecita de aquí de la Fórmula F de x +
h significa que en la función que me
estaban dando originalmente
en lugar de poner x voy a dejar un
espacio vacío fíjense bien Aquí esta x
la voy a quitar voy a dejar un espacio
vacío aquí adentro de un paréntesis y lo
demás lo copio igual la estructura de la
función sigue siendo la misma pero aquí
adentro que voy a poner Pues voy a poner
x + h sí es decir el primer paso es
tomar la función quitar las x y en su
lugar poner x + h sale ahí mismo en el
primer paso tengo que desarrollar en
este caso es un binomio al cubo OK Vamos
a desarrollar el Binomio como voy a usar
este espacio de acá es el un quinto lo
voy a dejar en su lugar este un quinto
de aquí voy a abrir un paréntesis y voy
a desarrollar El binomio al cubo si
recuerdan cubo el primero más triple
producto al cuadrado el primero por el
segundo
y me quedó muy claro eso
triple producto al cuadrado por el
segundo más triple del primero por el
cuadrado el segundo más segundo y este
más seis quintos ahí se vuelve a quedar
y luego tengo que hacer Además este un
quinto multiplicarlo por cada término
entonces Esto va a quedar un quinto x
cúbica más 3 por un quinto pues son tres
quintos x cuadrada H más tres quintos xh
cuadrada más un quinto
húbica más los seis quintos que ya
andaban acá Ok entonces este Por fin es
el primer paso es este pedacito de aquí
ahora en el segundo paso me están
pidiendo que
restemos la función original o se hace
esta de acá entonces lo que voy a hacer
fíjense bien este fue el paso 1 en El
Paso 2 lo que voy a hacer es
restarle esta al restarle quiere decir
que le cambió los signos a cada término
Este término es positivo Entonces ahora
va a volverse negativo menos un quinto
x³ luego no tengo ningún término
semejante como este aquí entonces voy a
dejar este espacio vacío este espacio
vacío todo este vacío y me voy a ir con
el término independiente que está acá y
lo voy a poner aquí abajo del semejante
seis quintos ahora este también es
positivo al restarlo le cambio el signo
pues queda menos
y lo que voy a hacer es resolver aquí
una resta vertical el de arriba menos el
de abajo 0 este no hay nadie quien
restarle Entonces se queda igual más
tres quintos x cuadrada H el que sigue
se queda igual más tres quintos xh
cuadrada el que sigue se queda igual más
un quinto
húbica y este menos este pues se
eliminan eliminar es restar se están
restando y el resultado de esa
eliminación es 0 Entonces esto de aquí
es lo que me quedó como resultado del
tercer paso Ok entonces me voy a ir acá
hasta abajo
y lo voy a volver a escribir acá para
que esté allá no cabe bueno en otra hoja
lo voy a llevar esto para
escribirlo en otra hoja de nuevo para
que quede limpio porque es un cochinero
ahí entonces sería nos queda tres
quintos de X cuadrada H más tres quintos
de xh cuadrada más un quinto de H al
cubo y ese fue el resultado de él
segundo paso Vamos a verificar si no me
equivoqué en algo
es esto de aquí verdad Bueno ahora el
siguiente paso el paso 3 una vez que ya
hice esta resta pues es dividir ese
resultado que me quedó de restar
dividirlo entre H entonces ahí vamos a
escribir esa esa división en El Paso 3
voy a dividir cada uno de estos términos
entre H entonces aquí hay dos opciones
una de ellas
que sería digamos el camino rápido es ir
dividiendo cada uno de estos términos
entre la H pero de uno por uno todo esto
entre H fíjense bien aquí este tres
quintos de X cuadrada se queda igual
y lo que voy a dividir es la H con la H
entre H me da uno ojo Recuerden que eso
no es eliminar esto es dividir H entre H
me da 1 luego más el que sigue 3x 3/5 de
X Perdón se queda igual y se divide la H
cuadrada entre la H y me queda H
cuadrada entre H pues H porque se restan
exponentes este tiene exponente 1 a 2 le
resto 1 me queda elevado a la 1 y la
última más un quinto y H cúbica entre h
a 3 le resto 1 me queda H cuadrada sí
Ese es el camino rápido igual lo
pudieron haber hecho así pudieron haber
factorizado como término común h y abrir
un paréntesis y decir bueno que me queda
después de factorizar me queda de esta
manera
y
al dividir entre H está h con esta H
pues me da uno que multiplica a todo
esto sí uno por tres quintos de X
cuadrada más tres quintos x h más un
quinto H cuadrada de cualquier manera
nos queda exactamente lo mismo porque
este uno no se escribe este uno no se
escribe el exponente uno no se escribe
Entonces en realidad me queda esto que
está aquí Ese es el resultado del paso 3
y ahora sí El Paso 4 en El Paso 4 voy a
obtener el límite cuando h tiende a 0 de
esta expresión que me quedó del paso 3
una vez que resolvió el paso 3 Entonces
qué voy a hacer Pues en todos los
lugares donde me quedo una H la voy a
sustituir con el cero esto queda así
tres quintos x cuadrada más tres quintos
x por 0
más un quinto de cero al cuadrado 0 al
cuadrado 0 por un 0 pues 0 tote 0 por 3x
pues cero total y esto queda Entonces
como resultado tres quintos x cuadrada
este resultado
vamos a ver qué significa ese resultado
es la pendiente de la recta tangente
pero ojo para cualquier punto esto es
cualquier valor de X
por eso está aquí expresado en términos
de X porque yo le puedo sustituir un
valor y obtener un resultado numérico
siempre que me piden la pendiente de la
recta tangente para cualquier valor de X
o para cualquier punto pues me están
pidiendo hasta aquí Ok otro detallito
chiquito
también se le llama razón de cambio
instantánea esta este resultado también
se llama
razón de cambio instantánea abreviado
rci sí es lo mismo la razón de cambio
instantánea la pendiente de la recta
tangente en cualquier punto y la
derivada
tiene tres nombres pero Con distinta
interpretación pero significan algo muy
similar y hay otra cosa Este de aquí
este resultado del tercer paso este que
está aquí
se llama razón de cambio promedio rcp
razón de cambio promedio OK Siempre el
resultado del tercer paso Bueno ahora ya
tengo la pendiente de la recta en
cualquier punto voy a volver acá al
problema para acordarme qué es lo que me
estaban preguntando me estaban
preguntando perdonar acá me estaban
preguntando la pendiente de la recta
tangente a la curva en la de esta
función pero en este punto en -1,1
Entonces si ya tengo la ecuación de la
de la si ya tengo la pendiente de la
recta Y esa pendiente me sirve para
cualquier punto
me quedo que tres quintos de X cuadrada
A ver vamos a ver si es cierto si ya
tengo eso pendiente esta Pues ahora lo
que voy a hacer es sustituir el punto
aquí en esta X cuál de los valores voy a
sustituir el punto es menos 1,1 bueno
ustedes saben que este de aquí es la x y
este otro es la Y entonces voy a
sustituir el -1 aquí pero entonces Esto
me va a quedar
tres quintos de menos uno al cuadrado
menos 1 al cuadrado uno por tres quintos
pues tres quintos Esta es la pendiente
de la recta tangente que pasa por el
punto menos uno coma uno o se hace es la
pendiente de esta recta en especial sí
tiene una inclinación de tres quintos
vamos a ver si es cierto Está inclinada
hacia la derecha recuerden ustedes que
una inclinación hacia la derecha
significa que la pendiente va a ser
positiva una inclinación a la izquierda
la pendiente debe ser negativa una recta
horizontal su pendiente va a ser 0 una
recta vertical ahí solo 20 se supone que
es vertical
la pendiente va a ser
infinito Ok una recta vertical no puedo
su pendiente va a ser infinito Bueno
entonces
Ya tengo la pendiente Pero además me
preguntan la ecuación de la recta
bueno la ecuación de la recta la pueden
obtener del vídeo que que les envié del
profe Valentín usaban esta fórmula M es
igual a y menos de 1 entre x por x1 y
también esta es la ecuación de la
pendiente pero es la misma también si la
utilizan de esta manera yema nos lleva
uno es igual a m por x - x1 esta se
llama ecuación
punto pendiente
es exactamente la misma se fijan nada
más que en la primera en esta de acá
está despejada la m y acá no pero es
exactamente la misma si ustedes toman
esta parte que está dividida nada mandan
multiplicando al otro lado pues les
queda así entonces pueden usarlo en esta
forma o en esta forma como les guste a
mí me gusta más usar esta pero es
exactamente lo mismo porque aquí lo que
hay que tener en cuenta es que estos
valores de aquí Este es x1 Y esto es de
1 y son los valores que voy a sustituir
aquí no perdón no es cierto
aquí
y acá
pues vamos a hacer eso entonces quedaría
y menos 1
es igual a m que MS estoy aquí tres
quintos
por x menos x 1 - -1
este de aquí indica un cambio de signo
entonces quedaría menos 1 es igual a
tres quintos de x + 1 ahora lo que voy a
hacer es
multiplicar Bueno hay varias opciones
una opción es este 5 mandarlo
multiplicando acá a ambos términos Y
luego el 3 a ambos términos o también
pueden dejar el tres quintos y
multiplicarlo por la x y multiplicarlo
por el 1 y bueno en este caso
pues yo creo que está más fácil así
vamos a agarrar este 5 lo vamos a pasar
para acá 5 por y menos 1 igual a 3 por x
+ 1 y vamos a multiplicar entonces queda
5 y el menos 5 igual a 3x + 3
juntamos todo de un solo lado e
igualamos a cero esto quedaría entonces
recuerden en este caso siempre siempre
que igualemos hacer una ecuación debemos
Buscar que la x quede positiva cuando
igualamos hacer una ecuación entonces
para que la x queda positiva lo que voy
a hacer es estos dos términos pasarlos
acá de este lado del igual quedaría
entonces 3x - 5 y aquí tengo un +3 y
este va a pasar más 5 entonces va a ser
más 8 igual a 0 Y esta sería entonces la
ecuación de la recta en su forma general
sí es la forma general de la recta
tangente ahora que si lo quieren hacer
dejándolo igualado ayer por ejemplo
por ejemplo de aquí de aquí en vez de
hacer esto también se puede hacer esto
otro si prefieren
decir y es igual a voy a multiplicar el
tres quintos por estos de acá sería tres
quintos de X más tres quintos por una
pues son tres quintos y este menos uno
que estaba aquí lo pasó al otro lado del
igual como más uno un entero es lo mismo
que cinco quintos cierto este -1 pasa
sumando acá y lo y lo convierto a
quintos son cinco quintos Y por último
sumamos estos de aquí entonces queda y
igual a tres quintos x más 8 quintos Y
esta es esa misma ecuación pero este es
de la forma MX + B de la forma punto
pendiente Esta es la ecuación general
Esta es la ecuación este Perdón no es
cierto pendiente ordenada al origen de
forma pendiente ordenada al origen forma
general es la misma ecuación de que
forma la van a dejar en la que ustedes
quieran a la que le hayan entendido
mejor sí y Bueno ahí se termina ese ese
primer
examen
ese primer ejercicio sale
[Música]
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