Teoremas básicos de límites matemáticos sobre funciones. Reglas y ejemplos. #QuédateEnCasa

Summary

Este video educativo de 'Matemáticas Sencillas' aborda teoremas fundamentales sobre límites matemáticos, siguiendo su introducción al límite de funciones. Se explican ocho teoremas, incluyendo límites de funciones lineales, constantes, identidad, sumas/restas, productos, potencias, divisiones y raíces. Cada teorema se ilustra con ejemplos claros, facilitando la comprensión y el cálculo de límites. El presentador anima a la práctica y a la suscripción para más contenido matemático.

Takeaways

• 📘 El material aborda teoremas básicos de límites matemáticos, siguiendo una introducción previa al límite matemático de una función.
• 🔢 El primer teorema trata sobre el límite de una función lineal, que se evalúa sustituyendo el valor hacia donde tiende la variable en la función.
• ➡️ Un ejemplo práctico muestra cómo evaluar el límite de una función lineal, como 2x + 4 cuando x tiende a 3, resultando en 10.
• 🔰 El segundo teorema explica que el límite de una función constante es simplemente el valor de la constante cuando x tiende a un número dado.
• 🆔 El tercer teorema se refiere al límite de una función identidad, que es igual al valor hacia donde tiende la variable.
• 📈 El cuarto teorema permite calcular el límite de una suma o diferencia de funciones evaluando los límites de las funciones individualmente y luego sumándolos o restándolos.
• 🔄 El quinto teorema se refiere al límite del producto de funciones, que es el producto de los límites de las funciones cuando x tiende a un número dado.
• 🆙 El sexto teorema trata sobre el límite de una enésima potencia de una función, que es el límite de la función elevada a la potencia n.
• 🔽 El séptimo teorema explica el límite de una división de funciones, que es el cociente de los límites de las funciones individuales.
• 🏁 El octavo teorema se refiere al límite de una raíz enésima de una función, que es la raíz enésima del límite de la función, teniendo cuidado de que el límite sea positivo si la raíz es cuadrada o de un índice par.

Q & A

¿Qué trata el material sobre límites matemáticos?

El material trata sobre teoremas básicos para resolver límites de funciones, específicamente en el contexto de un curso de cálculo diferencial.

¿Cuál es el contenido del primer teorema sobre límites que se menciona en el material?

El primer teorema trata sobre el límite de una función lineal, y establece que si m y b son constantes, el límite de la función mx + b cuando x tiende a un número a, es igual a ma + b.

¿Cómo se evalúa el límite de una función lineal según el primer teorema?

Para evaluar el límite de una función lineal, se sustituye el valor hacia donde tiende x en la función lineal.

¿Qué dice el segundo teorema sobre límites?

El segundo teorema se refiere al límite de una función constante, y afirma que si c es una constante, el límite de c cuando x tiende a a es simplemente c.

¿Cómo se evalúa el límite de una función constante?

El límite de una función constante se evalúa simplemente como el valor de la constante, ya que no hay una variable x a sustituir.

¿Qué es una función identidad y cómo se evalúa su límite según el tercer teorema?

Una función identidad es una función f(x) = x, y su límite cuando x tiende a un número a es simplemente el valor de a, ya que se sustituye el valor hacia donde tiende x en la función.

¿Qué nos dice el cuarto teorema sobre límites y cómo se aplica?

El cuarto teorema trata sobre el límite de una suma o diferencia de funciones, y establece que el límite de la suma o resta de funciones F y G cuando x tiende a a, es la suma o resta de los límites individuales evaluados por separado.

¿Cómo se evalúa el límite de una función elevada a una potencia según el sexto teorema?

El sexto teorema nos dice que el límite de una función F(x) elevada a una potencia n cuando x tiende a a, es equivalente a evaluar el límite de F(x) antes de aplicarle la potencia n.

¿Qué nos indica el séptimo teorema sobre límites y cómo se evalúa el límite de una división de funciones?

El séptimo teorema nos indica que el límite de una división de funciones F y G cuando x tiende a a, es igual a dividir los límites individuales evaluados por separado, siempre y cuando el límite de la función en el denominador no sea cero.

¿Qué nos enseña el octavo teorema sobre límites y cómo se evalúa el límite de una raíz enésima de una función?

El octavo teorema nos enseña que el límite de una raíz enésima de una función F(x) cuando x tiende a a, es equivalente a evaluar el límite de F(x) antes de aplicarle la raíz, siempre que si la raíz es par, el límite evaluado sea mayor a cero para evitar raíces de números negativos que no den un resultado real.

Outlines

00:00

📘 Teoremas Básicos de Límites

Este párrafo introduce los teoremas fundamentales sobre límites matemáticos, enfocándose en los teoremas formales para resolver límites de funciones. Se explica el Teorema 1, que trata sobre el límite de una función lineal, y se ejemplifica cómo se calcula el límite de una función lineal dada cuando x tiende a un número específico. Se menciona que el proceso de evaluar límites implica sustituir el valor hacia donde tiende la variable en la función en cuestión.

05:03

📗 Límites de Funciones Constantes y Identidad

El párrafo 2 profundiza en el Teorema 2, que se refiere al límite de una función constante, y el Teorema 3, que trata sobre el límite de una función identidad. Se explica que el límite de una función constante es simplemente el valor de la constante cuando la variable tiende a un número dado. Para la función identidad, el límite es el valor de la variable misma cuando esta tiende a un número específico. Se proporcionan ejemplos sencillos para ilustrar cómo se aplican estos teoremas.

10:06

📙 Teoremas de Suma, Resta, Multiplicación y Potencia

Este segmento cubre el Teorema 4, que trata sobre el límite de una suma o diferencia de funciones, y el Teorema 5, que se refiere al límite del producto de funciones. Se describe cómo calcular el límite de una suma o resta de funciones evaluando los límites de cada función por separado y luego sumándolos o restándolos. Además, se explica que el límite de una función elevada a una potencia es igual a la evaluación del límite de la función antes de aplicar la potencia. Se proporcionan ejemplos para cada caso.

15:08

📕 Límites de División y Raíces

El último párrafo aborda el Teorema 7, que trata sobre el límite de una división de funciones, y el Teorema 8, que se refiere al límite de una raíz enésima de una función. Se explica que el límite de una división es el cociente de los límites de las funciones individuales, siempre y cuando el límite del denominador no sea cero. Para el límite de una raíz, se debe asegurar que el valor del límite sea positivo si la raíz es cuadrada o de un índice par, y se ejemplifica cómo se calcula el límite de una raíz cúbica. Se concluye con una breve reflexión sobre la importancia de estos teoremas en el cálculo diferencial y se anuncia que se profundizará en ejemplos prácticos en futuras publicaciones.

Keywords

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en el cálculo que se refiere a la tendencia de una función cuando su variable se acerca a un punto específico. En el guion, se explica que el límite de una función lineal es igual a la constante multiplicada por el límite de la variable más la constante, ejemplificado con 'el límite de una función lineal expresada como mx + b cuando x tiende al número a, es igual a ma + b'.

💡Función lineal

Una función lineal es una relación entre dos variables donde la salida es una cantidad fija más un múltiplo de la entrada. En el video, se menciona que el límite de una función lineal es resuelto simplemente sustituyendo el valor al que tiende la variable en la función, como en el ejemplo '2x + 4' cuando x tiende a 3.

💡Función constante

Una función constante es aquella que toma el mismo valor independientemente de la entrada. En el guion, se establece que el límite de una función constante 'c' cuando x tiende a 'a' es simplemente 'c', lo cual se demuestra con el ejemplo del límite de 5 cuando x tiende a 2, siendo el resultado 5.

💡Función identidad

La función identidad es una función especial que asigna a cada elemento del dominio el mismo valor, es decir, f(x) = x. En el script, se menciona que el límite de x cuando x tiende a 'a' es 'a', ejemplificando con el límite de x cuando x tiende a -3, que resulta en -3.

💡Suma de funciones

El límite de una suma de funciones se calcula sumando los límites de las funciones individuales. En el guion, se demuestra esto con el ejemplo del límite de 'x^2 + 3x' cuando x tiende a 2, evaluando primero los límites de 'x^2' y '3x' por separado y luego sumándolos.

💡Producto de funciones

El límite del producto de dos funciones se obtiene multiplicando los límites de las funciones individuales. El guion explica esto con el ejemplo del límite de '4x^3' cuando x tiende a 3, evaluando primero el límite de '4' (que es una constante) y el límite de 'x^3' por separado y luego multiplicándolos.

💡Poder o enésima potencia

El límite de una función elevada a una potencia se calcula elevando al límite de la función al mismo poder. En el video, se ilustra con el ejemplo del límite de '3x' elevado al cuadrado cuando x tiende a 4, primero se evalúa el límite de '3x' y luego se eleva al cuadrado.

💡Cociente de funciones

El límite de una división de funciones se calcula dividiendo los límites de las funciones individuales. El guion menciona que si el límite de la función en el denominador es cero, esto puede causar una indeterminación, como se ve en el ejemplo del límite de '(x + 2) / (3x)' cuando x tiende a 1.

💡Raíz enésima

El límite de una raíz enésima de una función se calcula tomando la raíz enésima del límite de la función. El guion destaca la importancia de que el límite sea positivo si la raíz es cuadrada (número entero par), como en el ejemplo del límite de la raíz cúbica de x cuando x tiende a -8, resultando en -2.

💡Indeterminación

Una indeterminación ocurre cuando el resultado de una expresión matemática no está definido, como la división por cero. En el guion, se advierte sobre la necesidad de evitar que el límite del denominador en una división de funciones sea cero para no obtener una indeterminación.

Highlights

Se abordan teoremas básicos sobre límites matemáticos para resolver límites de funciones.

Teorema 1: Límite de una función lineal se evalúa sustituyendo el valor de x al límite.

Ejemplo: Límite de 2x + 4 cuando x tiende a 3 se calcula sustituyendo 3 en x.

Teorema 2: Límite de una función constante es el valor de la constante.

Ejemplo: Límite de 5 cuando x tiende a 2 es simplemente 5.

Teorema 3: Límite de una función identidad es el valor al que tiende x.

Ejemplo: Límite de x cuando x tiende a -3 es -3.

Teorema 4: Límite de una suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de los límites.

Ejemplo: Límite de x^2 + 3x cuando x tiende a 2 se calcula evaluando los límites por separado.

Teorema 5: Límite del producto de funciones es el producto de los límites.

Ejemplo: Límite de 4x^3 cuando x tiende a 3 se calcula multiplicando los límites.

Teorema 6: Límite de una enésima potencia de una función es el límite elevado a la potencia.

Ejemplo: Límite de (3x)^2 cuando x tiende a 4 se calcula evaluando el límite y luego aplicando la potencia.

Teorema 7: Límite del cociente de funciones es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero.

Ejemplo: Límite de (x + 2) / (3x) cuando x tiende a 1 se calcula dividiendo los límites.

Teorema 8: Límite de una raíz enésima de una función es la raíz enésima del límite.

Ejemplo: Límite de la raíz cúbica de x cuando x tiende a -8 se calcula sustituyendo y luego aplicando la raíz cúbica.

Se menciona que no hay raíces cuadradas de números negativos que den un resultado real, pero sí para índices impares.

Se invita a la audiencia a suscribirse al canal y se felicita por alcanzar los 2000 suscriptores.

Transcripts

Hola matemáticas sencillas aquí en este

material Vamos a abordar teoremas

básicos sobre límites

matemáticos como podrán recordar con

anterioridad he publicado un material

que titul introducción al límite

matemático de una función y básicamente

pudimos analizar un panorama de este

tema tan particular de un curso de

cálculo diferencial Así que en este

material Vamos a abordar los teoremas

formales para poder resolver límites de

funciones Así que vamos a iniciar con el

teorema número uno que trata sobre el

límite de una función lineal y nos dice

de la siguiente manera si m y b son dos

constantes cualesquiera Entonces el

límite de una función lineal expresada

como MX + B cuando x tiende al número a

es igual a ma + B Es decir que hacia

donde tiende la variable x que es su

valor en a se sustituye en la x presente

en la función lineal Así que vamos a ver

un ejemplo para que nos quede un poco

más

claro y nos dice si nos piden evaluar el

siguiente límite que es el límite de la

función do 2x + 4 cuando x tienda a 3

Entonces tenemos lo siguiente Observa

que aquí tenemos la notación de Límite

nuevamente y simple y sencillamente en

donde se encuentra la variable x vamos a

sustituir el valor hacia donde tiende x

que en este caso es 3 por consiguiente

nos queda 2 que multiplica 3 6 + 4 = 10

el límite como ya habíamos visto previa

mente en el video anterior simple y

sencillamente se traduce en sustituir el

valor hacia donde tiende x no es el

valor exacto de X sino al el valor hacia

donde tiende en la x presente en la

función que en este caso es una función

lineal Así que ahí está nuestro primer

límite evaluado

atendiendo el teorema número uno de

límites

el teorema número dos trata sobre el

límite de una función constante y dice

así sea c una constante cualesquiera

Entonces el límite de esa función que es

en este caso c cuando x tiende a a

simple y sencillamente es c Así que

atendiendo el teorema número uno si

nosotros vamos a sustituir en las x que

estén en la función

vamos a sustituir lo que hacia donde

tiende x que en este caso es a Pues en

una función constante no tenemos una

variable por eso es que se llama función

constante Por consiguiente el resultado

de ese límite simple y sencillamente es

el valor de dicha función constante Así

que atendiendo un muy sencillo ejemplo

si nos piden evaluar el siguiente límite

el límite de 5 cuando x tiende a 2 su

resultado simple y Sencillamente es 5

Observa que no hay ninguna x aquí para

que podamos sustituir el valor de 2 Así

que su resultado simple y sencillamente

es 5 tal como lo indica este

teorema el teorema número 3 habla sobre

el límite de una función identidad y

recordando que una función identidad es

una función FX = x porque cuando x vale

1 y vale 1 cuando x vale 2 y vale 2

cuando x vale 3 y vale 3 etcétera por

eso es que se llama función identidad

tenemos lo siguiente el límite de x

cuando x tiende a a simple y

sencillamente es el valor de a ya que

sustituimos hacia donde tiende X en la

misma función Así que viéndolo desde la

perspectiva de un ejemplo dice de la

siguiente manera si nos piden evaluar el

siguiente Límite el límite de x cuando x

tiende a -3 que no hay ningún problema

que sea un número negativo puede ser

cualquier número real Entonces tenemos

que el resultado de dicho límite simple

y sencillamente es sustituir este -3

aquí y el resultado claramente es -3

Observa que cuando sustituimos ya no

ponemos la nomenclatura de Límite con

estas letras de Límite Así que ahí está

es esa evaluación de Límite muy sencillo

atendiendo el teorema

3 el teorema 4 trata sobre el límite de

una suma o diferencia de funciones Así

que vamos a establecer lo siguiente sea

O sea supongamos que tenemos el límite

de una función F dex cuando x tiende a a

y que su resultado de dicho límite como

ya hemos visto anteriormente es un valor

que en este caso le vamos a llamar L y

supongamos que tenemos otra función que

en este caso sería G dex y x tiende al

mismo número a a sí del primer límite

Observa que esto es muy importante es

una condición muy importante que la x

tienda al mismo número a y el resultado

del segundo límite es m entonces podemos

establecer claramente lo siguiente el

límite de la sumatoria O la esta de F y

G cuando x tiende al mismo número es tan

sencillo como sumar o restar los valores

de los límites evaluados por separado

Así que vamos a ver un breve ejemplo

para que veas cómo es que se comporta

este teorema si nos piden evaluar el

siguiente límite Observa que aquí

tenemos una función x cu + 3x que

claramente es la representación de una

suma de funciones en donde entiéndase

que la primera función FX es x cu y la

segunda es GX

3x podemos decir lo

siguiente podemos

básicamente analizar el límite de estas

funciones por separado como está aquí

indicado abajo el límite de X cuadrado

cuando x tiende a 2 más el límite de 3x

cuando x tiende a 2 eso significa que

evaluamos los límites por separado este

límite Ya vimos que es sustituir el dos

aquí Así que nos va a dar cu y este

límite es sustituir también el dos aquí

en esta x 3 * 2 nos da 6 Así que evaluar

este límite inicial original nos va a

dar simple y sencillamente la suma de el

resultado de los límites evaluados por

separado que en este caso es 10 y tal

cual eh podría parecer que se puede

resolver este Límite así nos lo permite

este teorema es muy importante todos

estos teoremas recordar que establecen

las reglas mediante las cuales podemos

hacer el análisis de los límites de una

manera

algebraica el teorema 5 trata sobre el

límite del producto de funciones es

decir cuando las funciones están

multiplicando Ya vimos cuando están

sumando y restando así que aquí

atendemos a un producto Así que Inicia

con misas condiciones supongamos que

tenemos el límite de F dex cuando x

tiende a es ig a L y el límite de una

función GX cuando x tiende a a sea igual

a m entonces podemos generalizar que el

límite de la multiplicación de las dos

funciones involucradas en los límites

anteriores cuando x tiende a a Es simple

y sencillamente equivalente a

multiplicar los result dados de sus

límites evaluados individualmente Así

que vamos a ver nuevamente un ejemplo y

tenemos que si nos pidieran evaluar el

siguiente límite un límite muy

sencillito que sería el límite de 4x cu

cuando x tienda a 3 Observa que este

término 4x cu bien lo podemos expresar o

interpretar como una multiplicación de

función en donde la primera función es 4

la función F y la segunda función es x

cu cuadrado Así que podemos expresarlo

de la siguiente manera atendiendo a este

teorema el límite de 4 cuando x tienda a

3 por el límite de X cu cuando x tienda

a 3 el resultado es el primer límite es

el límite de una función constante Ya

vimos que es 4 y el segundo límite es

simple y sencillamente sustituir este 3

en la variable x y nos da como resultado

9 finalmente 9 * 4 nos da 36 así que

aquí está la aplicación de este teorema

Cuando tenemos la multiplicación o

producto de funciones que como podemos

observar tranquilamente este teorema nos

dice que es lo mismo aplicar el límite a

cada una de las funciones o sustituir

directamente el tres en la función

original este teorema nos dice que ambos

maneras son correctas de llevarlas a

cabo el teorema número 6 nos habla sobre

el límite de una enésima potencia y dice

de la siguiente manera sea el límite de

una función F dex cuando x tiende a = a

L y n cualquier número entero positivo

el límite de una función F dex elevada a

la n que n bien puede ser al cuadrado al

cubo a la cu etcétera es equivalente

a l que es el límite evaluado antes de

tener la potencia elevado a la misma

potencia Así que vamos a ver un ejemplo

para ver que no es nada del otro mundo y

es igual de sencillo que los teoremas

anteriores si nos piden evaluar el

límite 3x elevado cuadrado cuando x

tienda a 4 Entonces tenemos lo siguiente

Observa que aquí simple Sencillamente eh

podemos evaluar el límite de 3x cuando x

tienda a 4 sí imagina que aquí ignoramos

este do que sería la enésima potencia y

nos enfocamos a evaluar el límite de 3x

cuando x tienda a 4 claramente podemos

darnos cuenta que es 12 y hasta el final

gracias a este teorema es que podemos

volver a poner nuevamente nuestra

potencia n que sería aquí al cuadrado y

el resultado es 100

144 todo este procedimiento avalado por

el teorema número 6 y obviamente podemos

también concluir que es lo mismo que

desde un principio hubiera sustituido el

4 en la variable x y el resultado va a

seguir siendo

144 el teorema número 7 nos habla sobre

si ya vimos suma si ya vimos la resta Ya

vimos también el producto multiplicación

pues definitivamente nos falta también

el límite del cociente es decir división

de funciones y obviamente si hablamos de

un cociente tenemos que involucrar dos

funciones Así que nuevamente tenemos que

el límite de F dex cuando x tiende a a

es igual a L y sea límite de una función

GX cuando x tiende a a = a m entonces

involucrar la división de ambas

funciones F y G es Sencillamente dividir

los valores de los límites evaluados

individualmente Observa que aquí Tenemos

también l que es el resultado del primer

límite dividido entre m que es el

resultado del segundo límite atendiendo

claramente aquí que el valor de m el

resultado del segundo límite de la

función G no puede ser cer0 por qué no

puede ser cero porque ya sabemos ya

estamos acostumbrados a conocer que en

las matemáticas se desea evitar esa

famosa división entre cero que nos

otorgaría una indeterminación así que

aquí es muy importante cuidar que el

límite de esta función GX no sea igual a

0 ya que si no generaría una

indeterminación así que aplicándolo en

un ejemplo tenemos lo

siguiente si nos dan que evaluemos el

límite de Esta división que es x + 2

Entre 3x cuando x tienda a 1 Observa que

podemos expresarlo de la siguiente

manera podemos aplicar el límite en la

parte de arriba y también en la función

de abajo Así que nos quedaría el límite

de x + 2 cuando x tiende a 1 y el límite

del denominador sería el límite de 3x

cuando x tienda a 1 evaluamos el límite

superior nos da como resultado 3 Observa

que el 1 lo sustituimos aquí en el x 1 +

2 da 3 y también casualmente resulta que

abajo el hecho de sustituir hacia donde

tiende la X en la x me da también 3 * 1

3 Así que el resultado de este límite

simple y sencillamente es

1 finalmente tenemos el teorema número

ocho que trata sobre el límite de una

raíz enésima de una función y dice de la

siguiente manera se el límite F dex

cuando x tiende a a = a L y n cualquier

número entero positivo podemos

generalizar lo siguiente el límite de la

función F dex su raíz enésima cuando x

tiende a a es equivalente a evaluar el

límite antes de aplicarle la raíz

Observa que aquí está la L y al final le

aplicas la raíz

n en el caso de que tu n sí eh sea par

como por ejemplo una un un n = 2 sera

una raíz cuadrada o n = 4 una raíz

cuarta entonces debes de cuidar que el

valor del límite sea mayor a cer0 por

qué Porque si aquí tuviéramos un número

negativo y aquí tenemos una raíz

cuadrada sabemos que no hay raíces

cuadradas de números negativos que nos

den como resultado un número real por

qué

pues sabemos que de acuerdo a la base de

la leyes de los signos pues para que de

un positivo ambos signos deben de ser

iguales entonces aquí es muy importante

que si tu n es par entonces la l

definitivamente debe de ser mayor a cero

Así que vamos a verlo de una manera más

clara en un ejemplo supongamos que nos

piden evaluar el siguiente límite

Observa el límite de la raíz cúbica de X

cuando esa x tiende a

-8 Así que

eh evaluando este límite y atendiendo

ese teorema número 8o tendríamos lo

siguiente Observa que simple y

sencillamente podemos sustituir aquí el

límite de x cuando x tiende a -8 y nos

va a quedar -8 y sobre ese resultado que

representa la l aplicamos la raíz que

está en el en el El problema del límite

original que sería raíz cúbica y aquí

definitivamente el hecho de tener una

raíz cúbica de un número negativo Sí hay

un resultado Real ese resultado es -2 ya

que -2 * -2 * -2 nos da -8 y de hecho

este ejemplo eh nos permite abrir un

breve paréntesis para recordar que es

muy común escuchar esa frase de que no

no hay raíces de números negativos en

realidad si lo hay lo que realmente no

hay es raíces Sí con este con este

índice del radical par de números

negativos Pero si ese índice es impar

Entonces si hay raíces de números

negativos tal como lo muestra Este

ejemplo Así que esto cierra esta este

pequeño ciclo de ocho teoremas

que se aplican Al momento de evaluar

límites de funciones matemáticas Así que

lo que ahora seguiría es ponerlos en

práctica es decir analizar diversos

ejemplos comunes frecuentes que se

presentan Eh Pues de una manera muy

común en un curso de cálculo diferencial

en donde es necesario aplicar estas

reglas para poder evaluar límites

matemáticos sin embargo eso definitiva

nuevamente es material de otro video que

publicaré muy probablemente en los

próximos días Así que espero que este

material haya sido de provecho de

interés para ti te invito a que te

suscribas al nuestro canal de

matemáticas sencillas que por cierto he

recibido la gran noticia de que hemos

alcanzado los 2000 suscriptores Gracias

a ustedes por qué Porque definitivamente

este canal está producido exclusivamente

para ustedes Así que felicidades a

ustedes mismos 2000 suscriptores Creo yo

que vamos por un muy buen camino y

definitivamente el esfuerzo seguirá

siendo una constante de este tu canal de

matemáticas sencillas