13. Integral de raiz de 6x (separar raices)

MateFacil

28 Nov 201403:41

Summary

TLDREn este video, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de integrar la raíz cuadrada de 6x. Se explica cómo separar la constante 6 de la variable x utilizando la propiedad de las raíces, y luego se aplica la fórmula para integrar x elevado a la 1/2. Se introduce la regla de la herradura para manejar fracciones en el denominador, culminando en la simplificación de la integral. El video invita a los espectadores a aplicar estos conceptos para resolver una integral similar, prometiendo un próximo video con la solución.

Takeaways

😀 El vídeo trata sobre cómo realizar la integral de la raíz cuadrada de 6x.
🔢 Se utiliza la fórmula que separa la constante de la variable en la raíz.
📐 Se extrae la constante √6 fuera de la integral.
📘 Se aplica la propiedad de la integral de una potencia fraccionaria de una variable.
📙 Se utiliza la fórmula \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) para calcular la integral.
🔄 Se convierte el exponente fraccionario en un radical para aplicar la regla de la herradura.
🔢 Se multiplica lo de arriba con lo de abajo en la regla de la herradura.
📚 Se obtiene el resultado final de la integral como \( 2\sqrt{6}x^{\frac{3}{2}} \).
📖 Se sugiere que los espectadores intenten realizar una integral similar que se explicará en el próximo vídeo.
🔍 Se enfatiza que aunque la integral parece complicada, sigue un procedimiento similar al de la integral de la raíz cuadrada.

Q & A

¿Qué fórmula se utiliza para separar la constante de la variable en una integral?
-Se utiliza la fórmula que dice que la raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces, para separar la constante de la variable en una integral.
¿Cómo se aplica la propiedad de sacar una constante fuera de la integral?
-La constante se saca fuera de la integral multiplicando la integral de la variable por la constante, y luego se multiplica la constante por el resultado de la integral de la variable.
¿Cuál es la fórmula para integrar la raíz de una variable?
-La fórmula para integrar la raíz de una variable es \( \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.
¿Qué significa el exponente a 1/2 + 1 en el contexto de la integral?
-El exponente a 1/2 + 1 se utiliza para aplicar la fórmula de la integral de una potencia, donde se suma 1 al exponente y se divide entre el nuevo exponente para encontrar la antiderivada.
¿Cómo se convierte un exponente fraccionario en un radical en el contexto de la integral?
-Para convertir un exponente fraccionario en un radical, se toma la raíz correspondiente al numerador del denominador del exponente, en este caso, la raíz cuadrada para un exponente de 3/2.
¿Qué es la regla de la herradura en el contexto de la integral?
-La regla de la herradura es una técnica utilizada para integrar funciones que están en la forma de una fracción donde el denominador es una potencia, se multiplica el numerador por el exponente del denominador y se coloca como exponente del radicando.
¿Cómo se aplica la regla de la herradura en la integral dada en el guion?
-Se aplica la regla de la herradura multiplicando el numerador por el exponente del denominador, lo cual en este caso es 2, y luego se simplifica la expresión para obtener la integral final.
¿Qué significa el término 'raíz de cualquier tipo' en el guion?
-El término 'raíz de cualquier tipo' se refiere a que la técnica de separar la constante de la variable en una integral puede aplicarse a cualquier raíz, no solo a la raíz cuadrada, sino también a la cuarta, quinta, etc.
¿Cómo se junta la multiplicación de raíces en una sola raíz?
-Para juntar la multiplicación de raíces en una sola raíz, se toma la raíz común de los radicandos y se multiplica el resultado por el producto de los radicandos que están fuera de la raíz.
¿Cuál es el resultado final de la integral de la raíz cuadrada de 6x según el guion?
-El resultado final de la integral de la raíz cuadrada de 6x es \( 2\sqrt{6}x^{3/2} + C \), donde \( C \) es la constante de integración.

Outlines

00:00

📚 Integral de la raíz cuadrada de 6x

En este párrafo se explica el proceso para calcular la integral de la función \(\sqrt{6x}\). Se comienza aplicando la propiedad de las raíces, separando la constante 6 de la variable x, lo que resulta en \(6 \cdot \sqrt{x}\). Luego, se extrae la constante 6 de la integral, dejando \(\sqrt{x}\) como el nuevo integrando. Se utiliza la fórmula de la integral de una raíz, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), donde n es 1/2 para la raíz cuadrada. Al aplicar esta fórmula, se obtiene \(x^{3/2} / (3/2)\). Para simplificar, se convierte el exponente fraccionario en un radical y se aplica la regla de la herradura, lo que lleva a la finalización de la integral como \(2\sqrt{6}x^{3/2}\).

Mindmap

Keywords

💡Integral

La integral es una operación matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva en el plano cartesiano. En el guion, la integral se utiliza para encontrar la antiderivada de la función dada, es decir, para encontrar una función cuya derivada sea la función original. Por ejemplo, el guion habla sobre realizar la integral de la raíz cuadrada de 6x, lo que implica calcular la antiderivada de esta función.

💡Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da el primer número. En el contexto del guion, la raíz cuadrada de 6x se menciona para ilustrar cómo separar la constante (6) de la variable (x) al calcular la integral, lo que se hace utilizando la propiedad de que la raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces.

💡Constante

Una constante en una función es un valor que no cambia. En el guion, la constante 6 se separa de la variable x al calcular la integral de la raíz cuadrada de 6x, lo que permite simplificar el proceso de integración al extraer la constante fuera de la integral.

💡Propiedad de la integral

Las propiedades de la integral son reglas que se aplican para simplificar el proceso de integración. En el guion, se mencionan varias propiedades, como la de extraer una constante fuera de la integral y la de manejar la integración de funciones con exponentes, que son fundamentales para resolver la integral dada.

💡Exponente

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica una base por sí misma. En el guion, se utiliza la propiedad de los exponentes para simplificar la integral de la raíz de x, donde se eleva x a la potencia de 1/2 y se aplica la regla de la integral que implica sumar 1 al exponente y dividir entre el nuevo exponente.

💡Regla de la herradura

La regla de la herradura es una técnica utilizada en la integración de funciones con exponentes fraccionarios. En el guion, se aplica esta regla para integrar la función raíz cuadrada de x, donde se convierte el exponente fraccionario en un radical y se multiplica lo de arriba con lo de abajo para simplificar la integral.

💡Radical

Un radical es una notación matemática que se utiliza para representar la raíz de un número. En el guion, se menciona la conversión de un exponente fraccionario en un radical, como parte del proceso de aplicar la regla de la herradura, lo que ayuda a simplificar la integral.

💡Multiplicación de raíces

La multiplicación de raíces es un concepto que se refiere a la operación de multiplicar dos o más números bajo una raíz común. En el guion, se menciona que la raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces, lo que se utiliza para separar la constante 6 de la x al calcular la integral.

💡Antiderivada

Una antiderivada es una función que, cuando se deriva, da como resultado otra función dada. En el guion, la búsqueda de la antiderivada de la función raíz cuadrada de 6x es el objetivo principal, y se usa el proceso de integración para encontrarla.

💡Función

Una función matemática es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto. En el guion, la función raíz cuadrada de 6x es el objeto de estudio, y se busca encontrar su antiderivada a través del proceso de integración.

Highlights

Integración de la raíz cuadrada de 6x.

Utilización de la fórmula raíz(ab) = raíz(a) * raíz(b) para separar el 6 de la x.

Extracción de la constante √6 fuera de la integral.

Aplicación de la fórmula raíz(x) = x^(1/2).

Transformación de la integral usando la propiedad de la constante multiplicativa.

Aplición de la regla de la integral de una potencia, x^n = x^(n+1)/(n+1).

Suma del exponente y división por el nuevo exponente para simplificar la integral.

Conversión del exponente fraccionario en radical para aplicar la regla de la herradura.

Multiplicación de los términos superior e inferior en la regla de la herradura.

Resultado final de la integral como √6 * x^(3/2) / (3/2).

Conversión del denominador fraccionario en radical para una mejor comprensión.

Unificación de las raíces en una sola raíz cuadrada.

Comparación de la integral de la raíz cuadrada con la de una raíz de un número diferente.

Proposición de realizar una integral similar pero con una raíz de un número diferente.

Sugerencia de que la integral de una raíz de un número diferente sigue un procedimiento similar.

Promesa de mostrar en el siguiente video cómo realizar la integral de una raíz de un número diferente.