¿Cómo analizo la Vibración Libre? Dinámica Estructural

Summary

El script del video de 'Estructura Tech 21' se enfoca en la dinámica estructural, específicamente en la vibración libre de sistemas de un grado de libertad. Se definen propiedades dinámicas clave como la frecuencia y el periodo natural de vibración. Se analiza la ecuación de movimiento para la vibración libre no amortiguado, obteniendo la solución diferencial y utilizando las relaciones de Euler para reescribirla en términos trigonométricos. Se discuten las condiciones iniciales y cómo determinan las constantes en la solución, y se ilustra la relación entre el periodo y la frecuencia natural de vibración, con ejemplos prácticos como el del Golden Gate Bridge.

Takeaways

• 📚 El video es parte del canal 'Estructura Tech 21', dedicado al aprendizaje de la ingeniería estructural.
• 🎥 Se presenta el segundo video de la sección 'Dinámica Estructural', enfocado en la vibración libre de sistemas estructurales.
• 🔍 Se definen propiedades dinámicas importantes como la frecuencia natural y el periodo fundamental de vibración de un sistema.
• 📉 Se analiza la ecuación de movimiento inherente a la vibración libre, considerando la ausencia de excitación externa y amortiguamiento.
• 🔧 Se describe el proceso para obtener soluciones a la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado, a partir de condiciones iniciales.
• 📈 Se calculan las derivadas de la función solución para sustituir en la ecuación diferencial y encontrar la ecuación característica.
• 🌀 Se discuten las soluciones de la ecuación característica, que involucran el uso de números imaginarios y la frecuencia natural de vibración.
• 📐 Se relaciona la frecuencia natural de vibración con los parámetros de rigidez y masa del sistema.
• 📊 Se utiliza la función solución para explicar los conceptos de frecuencia y periodo natural de vibración, y cómo se determinan a partir de las condiciones iniciales.
• 📈 Se describe el uso de las relaciones de Euler para transformar la solución en términos de funciones trigonométricas.
• 📉 Se grafica la solución de la ecuación diferencial para visualizar el movimiento oscilatorio del sistema y su relación con el periodo natural.
• 🌉 Se menciona el Golden Gate como ejemplo práctico, destacando su periodo natural de vibración en diferentes direcciones.
• 👋 El video concluye con un agradecimiento y una invitación a seguir explorando la dinámica estructural en futuras publicaciones.

Q & A

¿Qué es lo que se discute en el segundo video de la sección dinámica estructural de 'Estructura Tech 21'?

El segundo video de la sección dinámica estructural de 'Estructura Tech 21' se enfoca en la vibración libre y se utiliza como pretexto para definir algunas de las propiedades dinámicas más importantes de los sistemas estructurales, como la frecuencia natural de vibración y el periodo fundamental de vibración de un sistema.

¿Qué es la vibración libre y cómo se da?

La vibración libre se da cuando un sistema estructural es perturbado de una posición de equilibrio estática y se deja vibrar sin ninguna excitación externa. Es decir, se aplica un desplazamiento inicial y se 'solta' el sistema para que comience a vibrar.

¿Qué es la ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad y cómo se llega a ella?

La ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad es la ecuación que describe el comportamiento dinámico del sistema. Se llega a ella mediante el análisis de la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas con la masa, la aceleración y la rigidez del sistema.

¿Qué sucede si no existe amortiguamiento en el sistema durante la vibración libre?

Si no existe amortiguamiento en el sistema durante la vibración libre, el sistema teóricamente vibrará indefinidamente, sin decaimiento en el desplazamiento, manteniendo su movimiento oscilatorio continuo.

¿Cómo se define la frecuencia natural de vibración y qué variables influye?

La frecuencia natural de vibración se define como la frecuencia con la que un sistema vibra en ausencia de amortiguamiento y fuerzas externas. Depende de dos variables principales: la rigidez lateral del sistema y la masa del sistema.

¿Cómo se relaciona la frecuencia natural de vibración con el periodo fundamental de vibración de un sistema?

La frecuencia natural de vibración está relacionada con el periodo fundamental de vibración a través de la relación de que el periodo es igual a 2π dividido por la frecuencia natural. Esto significa que la frecuencia es el inverso del periodo.

¿Qué es la ecuación característica y cómo se utiliza en el análisis de vibración libre no amortiguado?

La ecuación característica es una ecuación que se obtiene al igualar a cero el término de la izquierda de la ecuación diferencial de movimiento, después de sustituir la función solución en forma exponencial. Se utiliza para encontrar los valores de lambda, que son claves para determinar la forma de la solución de la ecuación diferencial.

¿Cómo se pueden determinar las constantes 'a' y 'b' en la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado?

Las constantes 'a' y 'b' se determinan a partir de las condiciones iniciales del sistema, como el desplazamiento y la velocidad en el tiempo cero. Al sustituir estos valores en la solución de la ecuación diferencial, se pueden calcular las constantes.

¿Qué son las relaciones de Euler y cómo se utilizan para reescribir la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado?

Las relaciones de Euler son una forma de reescribir términos exponenciales en términos de funciones trigonométricas, como el coseno y el seno. Se utilizan para transformar la solución de la ecuación diferencial en una forma más reconocible y físicamente interpretable, relacionando los términos exponenciales con oscilaciones sinusoidales.

¿Cómo se relaciona el periodo natural de vibración con la rigidez y la masa del sistema?

El periodo natural de vibración es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la relación entre la masa y la rigidez del sistema. Esto significa que un aumento en la rigidez o una disminución en la masa resulta en un periodo natural más corto, y viceversa.

¿Cuál es el periodo natural de vibración del Golden Gate Bridge en la dirección longitudinal y transversal?

El periodo natural de vibración del Golden Gate Bridge es de 3.81 segundos en la dirección longitudinal y de aproximadamente 18 segundos en la dirección transversal.

Outlines

00:00

📚 Introducción a la Vibración Libre en Ingeniería Estructural

El primer párrafo presenta la segunda lección de la serie sobre dinámica estructural en el canal 'Estructura Tech 21'. El tema principal es la vibración libre y se define como un fenómeno que ocurre cuando un sistema estructural es perturbado y se deja vibrar sin excitación externa. Se menciona que se analizará la ecuación de movimiento inherente a un sistema de un grado de libertad, destacando la importancia de las propiedades dinámicas como la frecuencia natural y el periodo fundamental de vibración. Se invita al espectador a seguir el canal y se enfatiza la importancia de comprender la vibración libre para avanzar en el estudio de la dinámica estructural.

05:01

🔍 Análisis de la Ecuación de Movimiento para Vibración Libre

En el segundo párrafo se aborda el análisis de la ecuación de movimiento para un sistema de un grado de libertad, enfocándose en la vibración libre no amortiguado. Se describe el proceso de obtener la ecuación diferencial a partir de la segunda ley de Newton y se señala que para la vibración libre, la fuerza externa es nula. Se introduce la ecuación característica y se explica cómo se obtienen las soluciones a la ecuación diferencial, que involucran exponentes y constantes que aún deben ser determinadas a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el tiempo cero.

10:03

📉 Concepto de Frecuencia Natural y Período de Vibración

El tercer párrafo profundiza en el concepto de frecuencia natural de vibración y cómo se relaciona con la raíz cuadrada de la rigidez sobre la masa. Se discute la importancia de estas magnitudes para entender la dinámica de un sistema de un grado de libertad. Además, se utiliza la función solución de la ecuación diferencial para reemplazar los términos exponenciales por funciones trigonométricas, utilizando las relaciones de Euler, lo que permite una representación más intuitiva de la vibración en términos de seno y coseno.

15:03

📈 Determinación de Constantes y Condiciones Iniciales

El cuarto párrafo se centra en la determinación de las constantes 'a' e 'b' a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el tiempo cero. Se describe el proceso de derivación de la función solución para obtener la velocidad y cómo se evalúan estas condiciones iniciales para encontrar los valores de 'a' y 'b'. Se resalta la importancia de estas constantes para completar la solución de la ecuación diferencial de vibración libre no amortiguado.

20:05

🌉 Ejemplo de Aplicación: Período Natural de Vibración del Golden Gate

El quinto párrafo presenta un ejemplo práctico del Golden Gate Bridge para ilustrar la aplicación de los conceptos aprendidos. Se menciona el período natural de vibración tanto en la dirección longitudinal como transversal del puente, mostrando cómo estos valores son importantes en la ingeniería de estructuras. Además, se enfatiza la relación inversa entre la frecuencia y el periodo de vibración y cómo estas magnitudes dependen de la rigidez y la masa del sistema.

25:08

👋 Despedida y Agradecimientos

En el último párrafo, el presentador agradece la atención y espera que el contenido haya sido útil y comprensible para el espectador. Se invita a dar 'like' y a suscribirse al canal para recibir más contenido sobre la área de la ingeniería estructural. Se comparte un mensaje de cuidado y se desean un caluroso y afectuoso abrazo a la audiencia, con la promesa de volver en un próximo video.

Keywords

💡Ingeniería Estructural

La ingeniería estructural es la rama de la ingeniería que se encarga del diseño y análisis de estructuras que soporten y resistan fuerzas y cargas. En el video, se centra en el aprendizaje de esta disciplina, específicamente en la sección de dinámica estructural, donde se estudia cómo las estructuras se comportan ante diferentes tipos de vibraciones.

💡Vibración Libre

La vibración libre se refiere a un fenómeno en el que un sistema, tras ser perturbado de su posición de equilibrio, comienza a vibrar sin la influencia de ninguna fuerza externa adicional. En el video, este concepto es fundamental para entender las propiedades dinámicas de los sistemas estructurales y se ilustra cómo se comporta un sistema después de ser perturbado inicialmente.

💡Frecuencia Natural

La frecuencia natural de vibración es la frecuencia a la que un sistema vibra cuando está en su estado natural, es decir, sin la influencia de fuerzas externas o amortiguamiento. En el video, se define como un concepto clave para entender la dinámica de los sistemas estructurales y se relaciona con la rigidez y la masa del sistema.

💡Período Fundamental

El período fundamental de vibración es el tiempo que tarda un sistema en completar un ciclo de vibración desde su posición de equilibrio. En el video, se discute cómo el período está relacionado con la frecuencia natural y cómo se puede determinar a partir de las propiedades del sistema.

💡Ecuación de Movimiento

La ecuación de movimiento es una expresión matemática que describe el comportamiento de un sistema dinámico. En el contexto del video, se utiliza para modelar la vibración libre de un sistema de un grado de libertad, considerando factores como la masa, la rigidez y el coeficiente de amortiguamiento.

💡Amortiguamiento

El amortiguamiento es la disminución de la amplitud de vibración de un sistema a lo largo del tiempo debido a la resistencia interna o a fuerzas externas. Aunque en el video se centra en la vibración libre no amortiguado, se menciona el concepto para contrastar con la vibración libre viscosamente amortiguada.

💡Sistema de un Grado de Libertad

Un sistema de un grado de libertad es un sistema que tiene una única manera de moverse o vibrar. En el video, se utiliza como un modelo simplificado para analizar la vibración y se describe cómo se comporta matemáticamente y físicamente bajo diferentes condiciones iniciales.

💡Ecuación Diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más derivadas de una función desconocida. En el video, se resuelve una ecuación diferencial para determinar el movimiento de un sistema de un grado de libertad en vibración libre, lo que permite obtener la forma de onda y las propiedades dinámicas del sistema.

💡Condiciones Iniciales

Las condiciones iniciales son los valores conocidos de una función y sus derivadas en un punto específico de tiempo, que se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales. En el video, se establecen las condiciones iniciales de desplazamiento e inicial y velocidad inicial para encontrar las constantes en la solución de la ecuación diferencial de vibración.

💡Relaciones de Euler

Las relaciones de Euler son una par de identidades matemáticas que relacionan las funciones exponenciales con las funciones trigonométricas. En el video, se utilizan estas relaciones para transformar la solución de la ecuación diferencial en términos de funciones trigonométricas, facilitando la interpretación del movimiento del sistema.

Highlights

Bienvenida a la sección de dinámica estructural, donde se discute la vibración libre y sus propiedades dinámicas importantes.

La vibración libre se da cuando un sistema estructural es perturbado y se deja vibrar sin excitación externa.

Se define la ecuación de movimiento inherente a la vibración libre y se analiza su solución para sistemas de un grado de libertad.

La ecuación diferencial para la vibración libre no amortiguado se obtiene anulando la excitación externa y el coeficiente de amortiguamiento.

La solución de la ecuación diferencial describe el movimiento de un sistema de un grado de libertad bajo condiciones iniciales.

Las soluciones a la ecuación diferencial tienen una forma exponencial y se derivan para encontrar la aceleración y el desplazamiento.

La ecuación característica se utiliza para encontrar las raíces que determinan la frecuencia natural de vibración.

La frecuencia natural de vibración depende de la rigidez y la masa del sistema, lo que es crucial para el diseño estructural.

Las relaciones de Euler permiten reescribir la solución en términos de funciones trigonométricas, facilitando la interpretación física.

Las constantes en la solución general se determinan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad.

La solución final de la ecuación diferencial describe el movimiento oscilatorio del sistema y su dinámica a lo largo del tiempo.

El gráfico de la solución muestra un ciclo completo de movimiento, ilustrando la dinámica del sistema de un grado de libertad.

El periodo natural de vibración es el tiempo que le toma a un sistema completar un ciclo de desplazamiento.

La relación entre el periodo natural y la frecuencia natural de vibración se establece como inversa, lo que afecta el diseño estructural.

Ejemplo práctico: el Golden Gate Bridge tiene un periodo natural de vibración de 3.81 segundos en su dirección longitudinal.

La comprensión de la vibración libre es fundamental antes de analizar la excitación forzada y sus efectos en estructuras.

Transcripts

hola que tal bienvenidos sean todos a

nuestro canal estructura tech 21 un

canal dedicado al aprendizaje de la

ingeniería estructural el día de hoy

estoy muy muy contento de estar

compartiendo el segundo vídeo de nuestra

sección dinámica estructural en el que

vamos a platicar acerca de la vibración

libre y va a ser precisamente el

pretexto para definir algunas de las

propiedades dinámicas más importantes de

los sistemas estructurales como son la

frecuencia natural de vibrar el periodo

fundamental de vibración de un sistema

así que vamos a comenzar precisamente

con el análisis de la ecuación de

movimiento inherente precisamente a uno

de los primeros fenómenos con los que

estudiamos la dinámica estructural que

es precisamente la vibración libre

pues muy bien espero les guste este

contenido ya lo saben apoyen con un like

y apoyen por supuesto suscribiéndose al

canal para poder llegar a más y más

personas interesadas en esta maravillosa

área pues muy bien comencemos pues

entonces a analizar la vibración libre

en un sistema de un grado de libertad

recordando que por definición lo

platicábamos en el vídeo inicial de esta

sección

la vibración libre se da precisamente

cuando el sistema estructural es

perturbado de una posición de equilibrio

estática y se deja vibrar pues sin

ninguna exitación externa ya sea una

fuerza de cualquier tipo alguna

excitación en la en la base

prácticamente nosotros aplicamos un

desplazamiento inicial ahí lo ven en el

gráfico como uh en el tiempo cero y

soltamos el sistema lo que va a ocurrir

y lo habíamos analizado en el vídeo

previo si no existe un amortiguamiento

en el sistema desde el punto de vista

teórico pues este sistema de un grado de

libertad va a vibrar como lo tienen como

lo ven precisamente en la imagen en el

tiempo de manera indefinida y el

decaimiento en teoría de este

desplazamiento pues será nulo continuará

vibrando y esto es justamente lo que

conocemos como vibración libre ya lo

habíamos adelantado y lo habíamos

platicado en el vídeo introductorio y

ahora lo que vamos a hacer es platicar

acerca de cómo obtener las soluciones

precisamente a la ecuación de movimiento

con una particularidad por supuesto aquí

ven la ecuación de movimiento a la que

llegamos en el primer vídeo a partir de

el análisis con la segunda ley de newton

llegamos a esta expresión y habíamos

comentado en el vídeo previo que esta

ecuación de movimiento tiene

precisamente involucrados elementos que

tienen que ver con la masa con el

coeficiente de amortiguamiento y con la

rigidez acá vemos en el lado derecho de

la ecuación de movimiento que dijimos en

el vídeo previo la fuerza externa en el

caso de la vibración libre hay una

particularidad que es que precisamente

lo decíamos hace un momento esa fuerza o

esa excitación externa pues es nula y

entonces lo que estamos haciendo a lo

que estamos llegando a partir de la

ecuación de movimiento es a anular la

excitación externa de ahí qué pdte

en la función sea igual a cero esta

ecuación que observan acá es

precisamente la ecuación diferencial

para el sistema cuando hablamos de

vibración libre viscosa mente

amortiguada justamente queda activo el

término intermedio que asocia la

velocidad con el coeficiente de

amortiguamiento equivalente que pasa si

nosotros anulamos el término de el

amortiguamiento llegamos precisamente a

la definición que vamos a trabajar el

día de hoy en este vídeo que es la

vibración libre no amortiguado si se dan

cuenta

la ecuación diferencial cuando se hace

nula la excitación externa se convierte

si nosotros anulamos o decimos que no

existe amortiguamiento un coeficiente de

amortiguamiento y llegamos precisamente

una expresión que sólo tiene dos

términos la masa por la aceleración más

la rigidez por el desplazamiento y esto

es igual a cero ésta es justamente la

ecuación diferencial que vamos a

analizar el día de hoy en este material

y aprender y conocer precisamente la

solución de este sistema que por cierto

es el más simple esta ecuación y de ahí

vamos a aprovechar como una excusa la

solución para explicar los términos de

frecuencia y periodo natural de vibrar

de un sistema estructural acompáñenme

pues a la solución de esta ecuación

diferencial de vibración libre no

amortiguado por supuesto en los

siguientes vídeos analizaremos la

vibración libre viscosa mente

amortiguada y luego solucionaremos la

ecuación de movimiento general con

algunos tipos de excitación es fuerzas

externas por lo pronto abramos paso pues

a la vibración libre no amortiguado lo

habíamos dicho hace un momento

la vibración libre comienza precisamente

cuando nosotros alteramos el sistema

estructural o rompemos la condición de

equilibrio estático impartiendo por

supuesto un desplazamiento y una

velocidad inicial en el tiempo cero

estas variables precisamente de

desplazamiento inicial

y velocidad inicial están representadas

acá a manera de condición inicial

justamente en el tiempo cero en el que

nosotros perturbamos esa condición de

equilibrio y comenzamos precisamente la

dinámica del sistema si nosotros

solucionamos o comenzamos a solucionar

la ecuación diferencial que ven acá que

es justamente la de la vibración libre

no amortiguada llegaremos precisamente a

una ecuación solución o una función

solución que nos describirá precisamente

la dinámica o el movimiento que sigue

este sistema de un grado de libertad con

o a partir de estas condiciones

iniciales recordando sus cursos de

ecuaciones diferenciales podrán hacer

memoria de que cuando tenemos una

ecuación diferencial lineal homogénea y

con coeficientes constantes como la que

planteamos en vibración libre no

amortiguada la función solución siempre

tiene una forma de una función

exponencial como la que vemos acá en

este caso

la función solución y va a ser igual a

el elevado a la lambda por t a partir de

esta forma de la función solución

podemos comenzar con nuestro análisis el

siguiente paso una vez que tenemos

nuestra función solución al menos en

forma calculamos la primera y la segunda

derivada de la función solución si

nosotros derivamos recuerden que si

nosotros derivamos esta función o al ser

un exponencial pues la derivada nos va a

dar lambda por el elevado a la lambda t

si nosotros calculamos de nueva cuenta

la derivada de esta función nueva vamos

a obtener precisamente el término lambda

al cuadrado por el elevado a lambda t

una vez que nosotros tenemos las dos

derivadas de la función solución que

estamos planteando vamos precisamente a

sustituir en la ecuación diferencial

precisamente la segunda derivada que ya

lo saben es la aceleración y vamos a

sustituir

el término de el desplazamiento en la

forma de la función solución en la

ecuación diferencial

justamente llegaremos al término que

observan ahí si nosotros agrupamos

precisamente llegamos o podemos llegar a

esta simplificación de la función o de

la ecuación diferencial muy bien está

este término precisamente es lo que se

conoce como ecuación característica y

nosotros sabemos estamos igualando el

término de la izquierda entre paréntesis

multiplica al término exponencial y eso

es igual a cero nosotros sabemos que una

función exponencial pues nunca puede ser

cero

y de ahí es que entonces precisamente el

término de la izquierda que se encuentra

entre paréntesis debe entonces de ser

igual a 0 esta ecuación se conoce como

ecuación característica si nosotros

obtenemos las raíces de esta ecuación

pues podemos despejar el valor de lambda

elevado al cuadrado y nos vamos a dar

cuenta que vamos a obtener un término de

menos k sobre m si nosotros quisiéramos

obtener precisamente los valores de

lambda

nos encontraríamos con que si nosotros

despejamos vamos a tener que las raíces

o los valores de lambda 1 y lambda 2

pues van a ser iguales a el término

digamos positivo y el término negativo

para la raíz de menos que sobre m esto

lo podemos también expresar como un

número imaginario recuerden que si

nosotros sacamos el término a raíz de

menos 1 y lo multiplicamos precisamente

por la raíz de que sobre m entonces

podemos la raíz sobre la raíz de menos 1

recuerden es el número y la solución de

estos de estas raíces van a ser iguales

a + menos y por la raíz de que sobre m

es interesante mencionar que de aquí

nace una de las primeras definiciones

importantísimas que se analizan

frecuentemente en vibración libre que es

precisamente el concepto de frecuencia d

frecuencia natural de vibrar justamente

el término raíz de que sobre m es lo que

conocemos como frecuencia natural de

vibrar y que suele representarse con

esta variable que observan acá es

importantísimo hacer notar desde acá

vamos a retomarlo en la parte final de

nuestro vídeo que justamente la

frecuencia natural de vibrar de un

sistema de un grado de libertad depende

de dos variables acá por un lado que

como lo habíamos analizado en la

ecuación de movimiento es la rigidez

lateral del sistema y la variable m que

si recuerdan es la masa del sistema así

pues la frecuencia natural de vibrar

depende de los parámetros de rigidez

lateral y de masa tomen nota acerca de

esta definición porque la vamos a

retomar una vez que encontremos la

solución de esta ecuación diferencial

para explicar los conceptos de

frecuencia

por lo pronto hemos encontrado

precisamente las raíces de la ecuación

que son las lambda 1 y lambda 2 y

entonces podríamos regresar nosotros a

la ecuación oa la función solución de la

ecuación que planteamos diciendo que esa

función si nosotros sustituimos los

valores de lambda y llegaríamos

precisamente a esta función que ven acá

como analizamos en el paso anterior

lambda 1 pues va a ser el valor positivo

de i por la frecuencia natural y lambda

2 va a ser igual a menos y el valor de

la frecuencia natural

si nosotros sustituimos en la solución

general de esa ecuación diferencial pues

podemos cambiar el término de lambda 1 y

lambda 2 y sustituirlos por los valores

que obtuvimos en el paso previo de ahí

precisamente que lleguemos a la solución

de esa ecuación diferencial que vamos a

seguir trabajando por la simple y

sencilla razón de que aún

tenemos dos constantes que son a1 y a2

que van acompañando a los dos términos

de esta solución no hay que perder de

vista que son dos constantes que vamos a

determinar a partir de las condiciones

iniciales

pues muy bien también es importante que

ustedes recuerden las famosas relaciones

de oyler donde se asocia precisamente

una función exponencial como la que ven

ahí es elevada la equis

lo podemos asociarte según las

relaciones de wyler con la suma de una

función coseno esposa de x + y por el

seno de x y lo mismo la otra relación

nos dice que el exponencial

^ ^ la menos y por x es igual al coseno

de x menos en este caso y por el seno de

x estas relaciones de oilers son muy

importantes para dar forma a la solución

conocida de esta ecuación diferencial de

vibración y libre no amortiguada si se

dan cuenta estas relaciones van a ser

fundamentales para cambiar los términos

exponenciales a las funciones

trigonométricas de coseno y c no

justamente vamos a reescribir la función

o la solución general que traíamos que

es esta que están observando acá vamos a

hacer una sustitución o un cambio de

esas funciones exponenciales por las

funciones trigonométricas usando las

relaciones de boiler

a partir precisamente de este cambio

podemos observar como reescribimos la

función solución ahora con las funciones

trigonométricas a partir de estas

relaciones

si nosotros simplificamos o agrupamos

esos términos podríamos llegar a

reordenar la expresión anterior y

plasmarla en términos de los cosenos y

se nos estarán de acuerdo conmigo en que

esta es esta última expresión la puedo

también reescribir como dt iguala a por

el coseno de la frecuencia por el tiempo

más b por el seno de esa frecuencia

natural por el tiempo de nueva cuenta a

y b son constantes que vamos a

determinar a partir de las condiciones

iniciales lo que hemos hecho pues es

entonces hacer una reescritura de la

solución general que traíamos con los

términos exponenciales cambiándolas por

las funciones trigonométricas a partir

de las relaciones de origen

una vez que tenemos esta función no nos

queda otra más que obtener los valores

de las constantes a ive a partir de las

condiciones iniciales pero antes de ello

recordarán que las condiciones iniciales

eran el desplazamiento en el tiempo cero

y la velocidad en el tiempo cero si

nuestra función solución es su dt que

nos describe el desplazamiento

nosotros podemos derivar esta función y

obtener precisamente la velocidad en

función del tiempo

si nosotros derivamos esta función de t

llegamos mención de esta velocidad

vemos que la al derivar a cada uno de

los términos llegamos

precisamente a esta suma nos quedamos

con esta expresión de la velocidad sino

si nosotros evaluamos de las funciones

que acabamos de obtener para el

desplazamiento y la velocidad en el

tiempo cero si nosotros hacemos cero

las variables o los términos del tiempo

pues lo que vamos a obtener en el primer

caso de la función del desplazamiento es

justamente el valor de la constante a

porque bueno pues porque deben recordar

que el seno de 0 pues es cero y el

coseno de cero pues es uno de ahí que

podamos llegar a la conclusión de que la

constante a va a ser igual a de cero

de la misma forma nosotros sustituimos

el tiempo igual a 0 en la ecuación de la

velocidad y vemos que perdemos el

término del seno en el primer elemento

de la ecuación y el coseno de cero pues

será 1

y justamente de este de este término que

nos queda aquí en la función

nosotros podemos despejar el valor de b

donde b va a ser precisamente la

velocidad en el tiempo cero entre la

frecuencia natural de vibrar hemos

encontrado pues en este último paso

las constantes a ive de la solución

general o la función solución de nuestra

ecuación diferencial

una vez que hemos hecho lo anterior me

traigo de nuevo la función solución y lo

único que hago es sustituir los valores

de a&b que hemos obtenido en el paso

previo de ahí pues que lleguemos a la

solución de la ecuación diferencial de

vibración libre no amortiguada que es

justamente la que observan acá lo único

que hemos hecho es sustituir el valor de

a por el desplazamiento el tiempo cero y

el valor o la magnitud de la constante b

en la ecuación importante recordar que

en los pasos previos establecimos que la

frecuencia natural de vibrar es igual a

la raíz de la rigidez lateral del

sistema entre la masa

si nosotros graficar amos precisamente

la solución de esa ecuación diferencial

que hemos obtenido en este último paso

nosotros podríamos descubrir cosas

bastante bastante interesantes que me

gustaría compartir con todos ustedes

este gráfico presenta ya lo

adelantábamos en un principio la

dinámica o los desplazamientos que

experimenta su sistema de un grado de

libertad que está representado acá como

un marco ya lo habíamos comentado en el

vídeo introductorio que concentra una

masa precisamente en el nivel superior y

que depende de la rigidez acá

lateral del marco justamente si ustedes

grafican para un desplazamiento

determinado y una velocidad inicial en

el tiempo cero grafican estas ecuaciones

esta ecuación solución nos ustedes

verían esta curva que están observando

acá

representa finalmente la dinámica de

este sistema ya lo decía y en el gráfico

hay cosas muy muy interesantes que vale

la pena de retomar la primera de ellas

es que justamente en el gráfico estoy

curando para que observen un ciclo

completo de movimiento de este sistema

podrán observar que en el punto donde

tienen un desplazamiento cero el marco

se encuentra precisamente en su posición

de equilibrio

después lo que experimenta precisamente

en la cresta de la gráfica si de

recordando que la gráfica representa

nuestra función solución veríamos que

alcanza su máximo desplazamiento que

justamente es el desplazamiento inicial

que le hemos impreso a nuestro sistema

por lo que si ustedes quieren ver

representado físicamente este movimiento

ustedes verían su sistema de un grado de

libertad que es el marco de formándose

un desplazamiento positivo dado el

gráfico en la zona positiva

normalmente el desplazamiento positivo

pues es hacia la derecha como está

representando se después de eso la

dinámica de acuerdo a la función que

hemos encontrado a la función solución

de la ecuación diferencial nos dice que

baja la magnitud del desplazamiento

hasta que de nueva cuenta su

desplazamiento es cero es decir este

marco que inicialmente llegó a su

condición inicial o a su condición de

reposo relativo se desplaza hacia un

lado luego regresa a su condición

precisamente de reposo y luego alcanza o

llega al valle de la función del

desplazamiento y lo que representa

precisamente la máxima el máximo

desplazamiento negro

en este caso es precisamente la dinámica

del marco va a deformarse ahora con una

magnitud de desplazamiento negativa de

ahí que la dinámica nos diga qué pasa

del reposo a desplazarse de manera

positiva o de cero luego regresa en el

cruce la condición inicial vamos a

decirlo así y luego se deforma

precisamente hacia la izquierda con un

desplazamiento experimentando de un

desplazamiento de cero pero ahora con

una magnitud negativa lo que nos está

indicando es que de acuerdo a la

dinámica que pueden ustedes imaginarse

ahora regresa y se deforma en la otra

dirección y luego en este punto llega a

la posición inicial y así se va

deformando de un lado hacia otro de

manera indefinida recordando que el

sistema que hemos resuelto en mi vídeo

es de vibración libre

amortiguada quiere decir en teoría que

este marco estará oscilando siguiendo la

lógica que acabo de describir de manera

indefinida dado que no existe un término

de amortiguamiento que lo haga

precisamente parar su dinámica y llegar

a su condición de reposo total

importantísimo notar de ahí que resalte

el área curada que es un ciclo completo

si se dan cuenta pasamos de la condición

inicial a la deformación hacia un lado

regresamos a la condición inicial se

deforma en la otra dirección si se va

hacia la izquierda el marco y luego

vuelve a regresar a su posición inicial

y empezamos de nuevo otro ciclo

justamente el concepto precisamente del

tiempo que le toma completar un ciclo

como el que acabo de describir es lo que

conocemos como periodo natural de vibrar

justamente es el tiempo repito que le

lleva a cumplir un ciclo sí de

desplazamiento completo de un lado

reposo hacia el otro

reposo eso es lo que conocemos

precisamente como período y es el

período natural de vibrar de un sistema

estructural

justamente el período natural

en relación con la frecuencia natural de

vibrar que ya habíamos analizado y que

depende de la rigidez lateral del

sistema y de su masa cómo se relaciona

pues justamente con cómo lo ven ahí el

periodo es igual a 2 pi sobre la

frecuencia natural de vibrar en resumen

podríamos decir o hemos llegado a la

conclusión de que el periodo natural

debe vibrar de un sistema depende

precisamente de la frecuencia natural de

vibrar o existe una relación entre el

periodo y su frecuencia y como lo

decíamos el periodo es el tiempo que le

lleva a completar un ciclo completo de

desplazamientos

y nuestro sistema de un grado de

libertad así pues dado que el periodo se

define como el tiempo que le lleva a

hacer esto el periodo es una variable o

es una propiedad dinámica del sistema

estructural que precisamente tiene como

unidades

los segundos así nosotros podemos decir

que un sistema estructural tiene un

período natural de vibrar de un segundo

o de dos segundos o de cuatro segundos

entendiendo que es precisamente el

tiempo

repito que le toma completar este ciclo

entero de desplazamientos

interesantísimo resaltar que el periodo

está relacionado con la frecuencia y que

la frecuencia a su vez depende de la

rigidez lateral que ustedes le den como

diseñadores a su edificio oa su sistema

y por supuesto de su masa

por otro lado la frecuencia se relaciona

con el periodo de la siguiente manera

decimos que la frecuencia cíclica

natural de vibrar es el valor inverso

del periodo natural de vibrar del

sistema así existe una relación directa

entre la frecuencia cíclica natural de

vibrar y la frecuencia circular o la

frecuencia natural de vibrar en realidad

en el largo tanto la frecuencia cíclica

natural como la frecuencia circular

natural de vibrar son conocidas como

frecuencias naturales de vibrar del

sistema y aquí justamente ven en resumen

cómo se relacionan estas variables es

interesantísimo resaltar que si ustedes

tuvieran precisamente un sistema

imagínense que tienen un edificio

y un edificio ve con las mismas masas

justamente es interesante observar cómo

estas relaciones entre la frecuencia

natural de vibrar y el periodo como

están asociadas con la rigidez y la masa

si nosotros tuviéramos dos sistemas los

edificios con la misma masa el edificio

que tuviera la mayor rigidez lateral es

el que tendría en realidad una mayor

frecuencia y dado que existe una

relación inversa entre la frecuencia y

el periodo aquel edificio que tenga una

rigidez lateral más grande y por ende

una frecuencia natural de vibrar más

grande tendría el periodo más pequeño de

los dos un dato interesante acerca de

quizá uno de los proyectos uno de los

puentes emblemáticos en la historia de

la humanidad como puede ser el golden

gate es conocer qué período tenía

qué periodo natural de vibrar creen que

tenga el puente golden gate les doy el

dato en el sentido longitudinal del

puente si ustedes ven el tablero del

puente colgante es el golden gate se

registra según la literatura un periodo

de 3.81 segundos mientras que en la

dirección transversal este periodo

alcanza precisamente 18 segundos poco

más de 18 segundos interesante no muy

bien pues muchísimas muchísimas gracias

por su atención

espero les haya gustado y sobre todo que

hayan comprendido cómo solucionamos esta

ecuación diferencial espero que hayan

desempolvado sus conocimientos en el

área y sobre todo que hayan comprendido

uno de los escenarios más simples que

vamos a analizar qué es la vibración

libre para migrar a

la excitación forzada y podamos hablar

ya de los efectos que puede tener un

sismo un viento o cualquier tipo de

excitación en nuestro sistema

estructural muchísimas muchísimas

gracias por su atención si les gustó el

vídeo por supuesto denle like si les dio

si les es de utilidad conocer

precisamente estas soluciones y estos

conceptos apoyen me suscribiéndose al

canal compartiendo el material para

poder llegar a más y más interesados en

esta maravillosa área muchísimas gracias

pásenla bien y por supuesto sigan se

cuidando mucho en esta contingencia un

caluroso y afectuoso abrazo para todos

ustedes nos vemos en el próximo vídeo

hasta pronto