Sistema de ecuaciones 3x3: Método de determinantes (Regla de Cramer)
Summary
TLDREn este video tutorial de 'Mate, fácil', se explica cómo resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes, también conocido como reglas de Kramer. Se calcula el determinante principal y luego los determinantes asociados a cada variable, para finalmente aplicar las fórmulas de Kramer y obtener las soluciones para las incógnitas x, y y zeta. El proceso se ilustra con pasos detallados, incluyendo el cálculo de las diagonales y la simplificación de fracciones, culminando con la solución verificada sustituyendo en las ecuaciones originales.
Takeaways
- 😀 El video ofrece una explicación detallada de cómo resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes o reglas de Cramer.
- 📚 Se menciona que las ecuaciones son de primer grado y es necesario calcular un determinante inicial con los coeficientes de x, y, z.
- 🔢 Se describe el proceso de calcular el determinante de una matriz 3x3, incluyendo la multiplicación de diagonales y el uso de signos negativos.
- 📝 Se ilustra cómo copiar los dos primeros renglones para facilitar el cálculo del determinante y se detallan los pasos para multiplicar las diagonales.
- 📉 El script muestra cómo calcular los determinantes menores para cada variable (x, y, z) reemplazando la columna correspondiente con los términos de la ecuación.
- 🔍 Se enfatiza la importancia de realizar operaciones matemáticas precisas al calcular los determinantes menores.
- 📌 Se calcula el determinante para cada variable y se presentan los resultados como números enteros o fracciones.
- 📑 Se utiliza la fórmula de la regla de Cramer para encontrar los valores de x, y, z dividiendo cada determinante menor por el determinante inicial.
- 🤔 Se invita a los espectadores a verificar la solución sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales.
- 👍 Se pide a los espectadores que apoyen el canal de video con un like, suscripción y compartiendo el contenido si les gustó el video.
- 💬 Se anima a los espectadores a dejar comentarios con preguntas o sugerencias si tienen alguna inquietud.
Q & A
¿Qué es el método de determinantes y cómo se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones 3x3?
-El método de determinantes, también conocido como reglas de Cramer, es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas. Se calcula un determinante principal y luego se calculan determinantes menores para cada variable, dividiendo cada determinante menor entre el principal para encontrar el valor de cada variable.
¿Cuántos coeficientes de 'x' se mencionan en el script y cuáles son?
-Se mencionan tres coeficientes de 'x': 2, 3 y 1.
¿Cómo se calcula un determinante 3x3 según el script?
-Para calcular un determinante 3x3, se copian los dos primeros renglones debajo del original, se multiplican las diagonales desde la esquina superior izquierda hacia abajo y se suman los productos de las diagonales con signo positivo, y se restan los productos de las diagonales con signo negativo.
¿Cuál es el resultado del determinante principal según el script?
-El resultado del determinante principal es -20.
¿Qué es un determinante de equis y cómo se calcula?
-Un determinante de equis es uno de los determinantes menores que se calcula al resolver un sistema de ecuaciones por el método de Cramer. Se calcula cambiando la columna correspondiente a la variable que se está buscando por los términos de la ecuación que se quiere resolver.
¿Cómo se calcula el determinante de 'x' mencionado en el script?
-Se calcula el determinante de 'x' cambiando la primera columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'x', es decir, por los números que están a la derecha de las ecuaciones.
¿Cuál es el resultado del determinante de 'x' según el script?
-El resultado del determinante de 'x' es -7.
¿Cómo se calcula el determinante de 'y' y cuál es su resultado según el script?
-Se calcula el determinante de 'y' cambiando la segunda columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'y'. El resultado es -12.
¿Cómo se calcula el determinante de 'z' y cuál es su resultado según el script?
-Se calcula el determinante de 'z' cambiando la tercera columna del determinante principal por los términos de la ecuación que involucran a 'z'. El resultado es -3.
¿Cómo se encuentran los valores de 'x', 'y' y 'z' utilizando la regla de Cramer según el script?
-Se divide cada determinante de equis por el determinante principal. Así, 'x' es -7 dividido por -20, dando como resultado 7/20. 'y' es -12 dividido por -20, dando como resultado 3/5. 'z' es -3 dividido por -20, dando como resultado 3/20.
¿Cómo se puede verificar si la solución es correcta según el script?
-Se puede verificar sustituyendo los valores encontrados de 'x', 'y' y 'z' en cada una de las tres ecuaciones del sistema y observar si se verifican las igualdades.
Outlines
📚 Introducción al Método de Determinantes
El primer párrafo presenta el tema del video, que es resolver un sistema de ecuaciones 3x3 utilizando el método de determinantes, también conocido como reglas de Kramer. Se describe el proceso de calcular el determinante principal, que involucra los coeficientes de las variables x, y, zeta, y se detalla el método para calcular un determinante 3x3, incluyendo la multiplicación de diagonales y el uso de signos negativos y positivos en las mismas.
🔍 Procedimiento para Resolver el Sistema de Ecuaciones
El segundo párrafo continúa explicando el proceso de resolución del sistema de ecuaciones. Se calculan los determinantes para cada variable (x, y, zeta), cambiando respectivamente la columna correspondiente por los términos de la derecha de las ecuaciones. Se describen los pasos para realizar las multiplicaciones y sumas necesarias para obtener cada determinante, y se presentan los resultados obtenidos. Finalmente, se utiliza la regla de Kramer para encontrar las soluciones de las variables, mostrando las fórmulas y los pasos para simplificar las fracciones resultantes.
Mindmap
Keywords
💡Sistema de ecuaciones 3x3
💡Método de determinantes
💡Reglas de Cramer
💡Determinante
💡Diagonal
💡Coeficientes
💡Matriz
💡Ecuaciones de primer grado
💡Fórmulas de la regla de Cramer
💡Solución del sistema
Highlights
El video presenta un método para resolver sistemas de ecuaciones 3x3 utilizando determinantes.
Se utiliza el método de determinantes, también conocido como reglas de Cramer.
Se describe cómo calcular el determinante de una matriz 3x3.
Se mencionan los coeficientes de x, y, z como 2, 3, 1 respectivamente.
Se explica el proceso de multiplicar las diagonales para calcular el determinante.
Se detallan los pasos para calcular el determinante, incluyendo las multiplicaciones y sumas necesarias.
Se enfatiza la importancia de los signos negativos en las diagonales alternas.
Se calcula el primer determinante, que resulta en -20.
Se describe el proceso para calcular el determinante de equis, cambiando la columna de los coeficientes de x.
Se calcula el determinante de equis, obteniendo un resultado de -7.
Se calcula el determinante de y, cambiando la columna correspondiente.
Se obtiene el determinante de y con un resultado de -12.
Se calcula el determinante de z, cambiando la columna de las zetas.
Se obtiene el determinante de z con un resultado de -3.
Se aplican las fórmulas de la regla de Cramer para encontrar los valores de x, y y z.
Se simplifican las fracciones obtenidas para x, y y z.
Se presentan los resultados finales del sistema de ecuaciones: x = 7/20, y = 3/5, z = 3/20.
Se invita a los espectadores a verificar la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.
Se pide a los espectadores que dejen sus preguntas o sugerencias en los comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a resolver un
sistema de ecuaciones 3 x 3 eso quiere
decir que son 3 ecuaciones con 3
incógnitas son ecuaciones de primer
grado todas ellas y vamos a hacerlo por
el método de determinantes o también
llamado reglas de kramer para aplicar
este método lo primero que hacemos es
calcular un determinante que es lo
siguiente ponemos de igual y ponemos dos
líneas verticales como estas de aquí y
aquí vamos a colocar los coeficientes de
x de jay y de zeta en ese orden fíjense
que los coeficientes de x son 2 3 y 1
entonces se pone 2 3 1 los leyes son 1 -
2 y 3 entonces se ponen en ese orden y
luego menos 21 y menos 1 se ponen en ese
orden y ahora lo que tenemos que hacer
es calcular este determinante para
calcular un determinante tres por tres
existen varios métodos uno de ellos
consiste en copiar los dos primeros
renglones aquí abajo
o sea ponemos el 21 menos 2 aquí y luego
el 3 menos
uno aquí únicamente se copian los dos
primeros renglones y ahora lo que vamos
a hacer es multiplicar diagonales
empezando por el primer término de la
esquina de aquí arriba multiplicamos la
diagonal 2 x menos 2 x menos 1 esta
diagonal se multiplican entonces los
números 2 x menos 2 nos queda menos 4
menos 4 x menos 1 que da 4 positivo
entonces escribimos igual a 4 ahora
multiplicamos la siguiente diagonal que
sería la que está formada por 33 menos
23 por 39 por menos 2 nos da menos 18 y
luego la siguiente diagonal que es uno
por uno por uno que nos queda más uno
bueno ahora nos falta multiplicar otras
tres diagonales que ahora vienen en este
otro sentido va a ser menos dos menos 2
1 1 3 2 y menos 1 1 3 pero esas
diagonales el producto todavía se tiene
que multiplicar por un signo menos
entonces lo que vamos a hacer aquí es
escribir un signo menos por aquí y vamos
a colocar unos paréntesis y adentro de
esos paréntesis vamos a colocar los
resultados
las multiplicaciones de estas diagonales
entonces empezamos con menos 221
entonces queda menos por menos más 2 por
24 por 14 entonces queda 4 positivo
luego multiplicamos esta otra diagonal
el 13 22 por 36 por 1 queda 6 entonces
ponemos más 6 y luego la otra diagonal
3 x 13 x menos 1 queda menos 3 y ahora
lo que vamos a hacer son las operaciones
que están aquí indicadas primero hacemos
la operación de los números de afuera 4
- 18 quedan menos 14 y más 1 queda menos
13 entonces ponemos aquí menos 13 luego
pasamos el menos y luego adentro de los
paréntesis hacemos las operaciones 4 6
10 menos 3 queda 7 entonces queda un 7
adentro del paréntesis y aquí lo que
hacemos ahora son las operaciones que
nos faltan menos 13 menos 7 eso nos da
menos 20 y este de aquí es el resultado
del determinante de bueno ahora tenemos
que calcular otros determinantes otro es
el que vamos a llamar de equis y que
ahora se forma colocando en la en lugar
de la columna de los coeficientes de x
que es la primera columna vamos a
colocar los números que están en el lado
derecho o sea aquí teníamos nosotros 2 3
y 1 en el determinante de pero en lugar
de esa columna vamos a cambiarla por la
de los coeficientes que están del lado
derecho que es 1 0 y 2 eso es cuando
calculamos de
luego cuando calculemos de iu se va a
cambiar la columna de las 10 por estar
acá y cuando calculemos de zeta
va a ser la columna de la zeta la que se
va a cambiar por esta década eso ya lo
veremos en un momento pero bueno las
otras dos columnas en este caso del de x
se ponen exactamente igual entonces es
el 102 que son los que están aquí
después del signo igual luego la columna
de las 10 queda sin cambio 1 - 2 y 3 y
luego la de la seta queda sin cambio
menos 21 y menos 1 y ahora calculamos el
determinante igual como lo hicimos hace
un momento copiamos los dos primeros
renglones aquí abajo y multiplicamos
diagonales entonces multiplicamos esta
diagonal primero uno por menos dos por
menos uno nos da dos positivos luego
esta otra diagonal zero por cualquier
cosa de acero entonces aquí nos va a
quedar más cero y luego esta otra
diagonal dos por uno por uno nos da dos
ahora ponemos un menos y abrimos unos
paréntesis y adentro de esos paréntesis
vamos a colocar los resultados de las
otras tres diagonales que son esta de
aquí 2 x menos 2 nos da menos 4 x menos
2 nos queda 8 positivo luego esta otra
diagonal de aquí 1 por 3 3 por 1
3 positivo y luego esta otra diagonal de
aquí 0 por cualquier cosa de acero
entonces ponemos más 0 ahora hacemos las
operaciones que están aquí afuera 2 +0
es dos más dos da cuatro y luego las que
están adentro del paréntesis 8 más 3 11
0 queda 11 entonces queda cuatro menos
11 que es menos 7
ahora vamos a calcular el determinante
de que que ahora se forma colocando en
la primera columna las x sin ningún
cambio 2 3 y 1 en la segunda columna que
sería la de la si ponemos la que está
del lado derecho que es 10 y 2 y luego
en la tercera columna que es la zeta esa
la dejamos sin cambio menos 21 y menos 1
ahora copiamos los dos primeros
renglones y hacemos las operaciones
igual como ya hemos estado viendo
multiplicamos esta diagonal eso nos da 0
luego esta otra diagonal nos queda menos
12 y esta otra diagonal nos queda 1
ahora ponemos un signo menos y abrimos
unos paréntesis y aquí colocamos los
resultados de las otras diagonales esta
de aquí que nos a 0 luego esta de aquí
que nos da 4 y esta de aquí que nos da
menos 3
hacemos ahora las operaciones 0 - 12 es
menos 12 1 queda menos 11 431 así que
queda adentro de los paréntesis 11 y
menos 11 menos 1 nos da menos 12
ahora vamos a calcular el determinante z
en el cual la columna de las x queda sin
cambio 231 la columna de las 10 queda
sin cambio
1 - 23 y la columna de las setas se
cambia por lo que está del lado derecho
que es 102 copiamos los dos primeros
renglones aquí abajo y otra vez
multiplicamos diagonales entonces
multiplicamos está eso nos da menos 8
luego esta otra diagonal nos queda más 9
y esta otra diagonal nos queda 0 ponemos
ahora un signo menos y abrimos unos
paréntesis y aquí colocamos los
resultados de las otras tres diagonales
esta diagonal que nos da menos 2 esta
otra diagonal que nos da 0 y esta otra
diagonal que nos da más 6 ahora hacemos
las operaciones menos 8 más 90 es 1 y
menos 20 más 6 nos da 4 y finalmente uno
menos 4 nos da menos 3
ya que tenemos calculados todos estos
determinantes el determinante de de x de
jay-z lo que vamos a hacer es usar las
fórmulas de la regla de kramer que son
estas de aquí x es igual a dividir el
determinante de x entre de que esté
entre de iceta es de zeta entre de
entonces simplemente sustituimos y nos
queda que x es igual a de x que nos
quedó menos 7 entre de que nos quedó
menos 20 y ahora hay que simplificar la
fracción aquí nada más podemos hacer
leyes de signos menos entre menos da más
así que queda 7 sobre 20 positivo esta
fracción ya no se puede simplificar más
así que ese es el resultado de la equis
ahora para y dividimos de que que es
menos 12 entre de que es menos 20 y
simplificamos la fracción menos entre
menos da más luego sacamos mitad y mitad
nos queda 6 y 10 sacamos otra vez mitad
y mitad y queda 3 y 5 ese es el valor de
y y ahora para z hacemos lo mismo
bz que es menos 3 entre de que es menos
20 menos entre menos da más
iceta entonces queda como 3 sobre 20 que
no se puede decir
y este de aquí es finalmente el
resultado de este sistema esta es la
solución ya de aquí pueden ustedes
comprobar que esta solución está bien
sustituyendo en x 6 eta en cada una de
las tres ecuaciones y viendo que se
verifica la igualdad eso ya no lo haré
en este vídeo ya eso ustedes si quieren
lo pueden hacer aparte bueno si les
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cualquier pregunta o sugerencia pueden
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