SIR-Modell Teil 1
Summary
TLDRDieses Video erklärt das SCR-Modell, ein mathematisches Werkzeug zur Simulation von Epidemien. Das Modell teilt die Bevölkerung in drei Gruppen: Anfällige, Infizierte und Genesene. Es basiert auf Differentialgleichungen, die die Veränderungen der Gruppengrößen über die Zeit beschreiben. Die Video-Autoren betonen, dass die Daten und Beispielrechnungen didaktisch sind und nicht für politische Entscheidungen verwendet werden sollten. Sie führen das Modell heran, zeigen, wie man die Gleichungen aus Daten ableitet und warnen vor der Vereinfachung der Realität.
Takeaways
- 🔬 Das SCR-Modell ist ein einfaches mathematisches Modell zur Berechnung von Epidemien.
- 📚 SCR steht für Suszeptible (anfällig), Infected (infiziert), Recovered (genesen oder rekonvaleszent).
- 👥 Die Bevölkerung wird in drei Gruppen aufgeteilt: Anfällige, Infizierte und Genesene.
- ⚠️ Die Annahmen des Modells sind stark vereinfacht, aber es soll den Mechanismus einer Epidemie veranschaulichen.
- 📉 Die Anzahl der Individuen in der gesamten Bevölkerung bleibt konstant.
- 🔄 Die Ansteckungsrate und Genesungsrate sind konstante Faktoren, unabhängig von der Größe der Gruppen.
- 📈 Die Änderungsraten der Gruppengrößen können durch Differentialgleichungen beschrieben werden.
- 🔢 Um das Modell zu lösen, werden Daten über die Gruppengrößen zu Beginn und die Infektions- und Genesungsraten benötigt.
- 📊 Die Daten können aus Quellen wie dem Robert Koch-Institut oder der Weltgesundheitsorganisation entnommen werden.
- 📚 Die Beispielrechnungen dienen didaktische Zwecke und sollten nicht für politische Entscheidungen verwendet werden.
- 📝 Das Video und die zugehörigen Python-Notebooks werden unter einer Creative-Commons-Lizenz veröffentlicht.
Q & A
Was ist das SIR-Modell und wofür steht die Abkürzung?
-Das SIR-Modell ist ein einfaches mathematisches Modell zur Berechnung einer Epidemie. SIR steht für die englischen Wörter 'Susceptible' (anfällig), 'Infectious' (ansteckend) und 'Recovered' (genesen).
Welche Gruppen werden im SIR-Modell betrachtet?
-Im SIR-Modell werden drei Gruppen betrachtet: die Anfälligen (Susceptible), die Infizierten (Infectious) und die Genesenen oder Verstorbenen (Recovered).
Welche Annahmen werden im SIR-Modell getroffen?
-Das SIR-Modell nimmt an, dass jede Person die Krankheit nur einmal bekommen kann und danach immun oder tot ist. Die Gesamtzahl der Individuen bleibt konstant, und die Ansteckungs- und Genesungsrate sind unabhängig von der Anzahl der jeweiligen Gruppen und konstant.
Wie wird die Änderung der Gruppenanzahl im SIR-Modell beschrieben?
-Die Änderung der Gruppenanzahl im SIR-Modell wird durch Differentialgleichungen beschrieben, die die Änderungsraten der Anzahlen der Anfälligen, Infizierten und Genesenen über die Zeit darstellen.
Welche Daten werden benötigt, um die Gleichungen des SIR-Modells zu lösen?
-Um die Gleichungen des SIR-Modells zu lösen, benötigt man die Anzahlen der Anfälligen und Infizierten zu Beginn des Beobachtungszeitraums sowie die Infektions- und Genesungsrate.
Wie wird die Infektionsrate im Modell bestimmt?
-Die Infektionsrate wird aus der Verdopplungszeit der Infizierten abgeleitet. Wenn sich die Zahl der Infizierten alle 4 bis 5 Tage verdoppelt, beträgt die Infektionsrate etwa 2 pro 4,5 Tage.
Wie wird die Genesungsrate im Modell bestimmt?
-Die Genesungsrate wird aus der durchschnittlichen Heilungszeit abgeleitet. Bei einer Heilungszeit von etwa 10 bis 14 Tagen wird eine Genesungsrate von 1/12 angenommen.
Welche Warnung geben die Autoren bezüglich der verwendeten Daten?
-Die Autoren warnen, dass die verwendeten Daten nicht offiziell sind und das Modell stark vereinfacht ist. Die Beispielrechnungen dienen nur dazu, die Mathematik der epidemiologischen Modellrechnung zu veranschaulichen und sind nicht repräsentativ für politische Entscheidungen.
Wie beeinflusst die Anzahl der Anfälligen die Infektionsrate im Modell?
-Die Anzahl der Anfälligen beeinflusst die Infektionsrate, da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Infizierter einen Anfälligen ansteckt, größer ist, je größer die Anzahl der Infizierten pro Bevölkerung ist.
Welche Rolle spielt die Gesamtzahl der Individuen im SIR-Modell?
-Die Gesamtzahl der Individuen im SIR-Modell bleibt konstant und ist die Summe aus den Anzahlen der Anfälligen, Infizierten und Genesenen. Dies stellt sicher, dass die Bevölkerung im Modell nicht wächst oder schrumpft.
Outlines
😷 Grundlagen des SEIR-Modells
Dieses Absatz beschäftigt sich mit dem SEIR-Modell, einem mathematischen Modell zur Simulation von Epidemien. Es teilt die Bevölkerung in vier Gruppen: Suszeptible (S), Exponierte (E), Infizierte (I), und Genesene oder Toter (R). Die Autoren betonen, dass die hier verwendeten Daten nicht offiziell sind und das Modell stark vereinfacht ist, um den Mechanismus der epidemiologischen Modellrechnungen zu veranschaulichen. Es wird auch darauf hingewiesen, dass die Ergebnisse nicht für politische Entscheidungen verwendet werden sollten.
📚 Anwendung des SEIR-Modells und Differentialgleichungen
In diesem Absatz wird erläutert, wie das SEIR-Modell angewendet wird, um die Veränderungen in den Gruppengrößen einer Bevölkerung während einer Epidemie zu berechnen. Es wird ein System von Differentialgleichungen eingeführt, die die Änderungsraten der verschiedenen Gruppen beschreiben. Die Gesamtzahl der Individuen bleibt konstant, was durch die Gleichung S + E + I + R = Konstante dargestellt wird. Es werden auch die notwendigen Daten für die Lösung dieser Gleichungen diskutiert, wie zum Beispiel die Anfangszahlen der Gruppen und die Infektions- und Genesungsraten, die aus offiziellen Quellen wie dem Robert Koch-Institut oder der Weltgesundheitsorganisation entnommen werden können.
Mindmap
Keywords
💡SIR-Modell
💡Differentialgleichungen
💡Infektionsrate
💡Genesungsrate
💡Anfällige (Susceptible)
💡Infizierte (Infected)
💡Genesene (Recovered)
💡Veränderungsraten
💡Proportionalität
💡Creative Commons Lizenz
Highlights
Das SCR-Modell wird zur Berechnung von Epidemien verwendet und teilt die Bevölkerung in drei Gruppen: Anfällige, Infizierte und Genesene.
Die Annahmen des Modells sind stark vereinfacht, um den Mechanismus einer Epidemie zu verstehen, ohne repräsentative Werte für politische Entscheidungen zu liefern.
Die Autoren übernehmen keine Haftung für die Verwendung der Modellrechnungen und betonen deren didaktische Zweckbestimmung.
Die Veränderungen der Gruppengrößen in der Bevölkerung werden durch Änderungsraten beschrieben, die proportional zur Anzahl der Infizierten sind.
Die Änderungsraten werden als Differentialquotienten dargestellt, um die Veränderungen der Gruppengrößen über die Zeit zu beschreiben.
Die Gesamtzahl der Individuen in der Bevölkerung bleibt konstant und ist die Summe von Anfälligen, Infizierten und Genesenen.
Die Differentialgleichungen des Modells beinhalten negative Faktoren, die die Veränderungen der Anfälligen und Infizierten beschreiben.
Zur Lösung der Differentialgleichungen sind Daten über die Gruppengrößen und die Infektions- und Genesungsraten notwendig.
Die Infektionsrate kann aus der Verdopplungszeit der Infizierten geschätzt werden, im Beispiel auf etwa zwei pro 4,5 Tage.
Die Genesungsrate wird aus der durchschnittlichen Heilungszeit der Krankheit geschätzt, im Beispiel auf etwa ein Zwölftel.
Das Modell nutzt Daten aus Quellen wie dem Robert Koch-Institut oder der Weltgesundheitsorganisation zur Schätzung der Parameter.
Die Anwendung des SCR-Modells hilft, den Ausbreitungsmechanismus einer Epidemie zu verstehen, indem es die Beziehung zwischen den Gruppengrößen visualisiert.
Die Modellgleichungen sind ein System von Differentialgleichungen, die die dynamische Entwicklung der Epidemie beschreiben.
Die Modellrechnungen sind ein wichtiger Bestandteil der Epidemiologie, um die Auswirkungen von Maßnahmen auf die Verbreitung einer Krankheit zu prognostizieren.
Die didaktische Verwendung des Modells fördert das Verständnis der Mathematik hinter epidemiologischen Simulationen.
Die Veröffentlichung des Videos und der zugehörigen Python-Notebooks unter einer Creative-Commons-Lizenz fördert den Austausch von Wissen und Methoden.
Die Interpretation der Grafiken, die aus der numerischen Lösung der Modellgleichungen resultieren, hilft, die Ergebnisse der Simulation zu verstehen.
Das Modell kann auch für die Analyse von Maßnahmen zur Verlangsamung der Infektionsausbreitung verwendet werden, indem es unterschiedliche Infektionsraten betrachtet.
Transcripts
uns alle beschäftigt im moment das thema
kroner
aber welche mathematik steckt eigentlich
hinter so einer epidemie wie können wir
errechnen wie viele infizierte ist zu
bestimmten zeitpunkten geben wird und
welche ausmaße eine verlangsamung der
infektions ausbreitung hat das alles
geht mit dem scr modell in diesem video
werden wir uns das ses modell als erstes
herleiten anschließend daten und der
korona epidemie einsetzen uns danach
numerisch lösen
die erhaltene grafik werden wir kurz
interpretieren und zum schluss ein
weiteres modell mit einer geringeren
infektionsrate lösen
an dieser stelle eine warnung die hier
verwendeten daten sind nicht offiziell
das modell sehr stark vereinfacht die
hier gezeigten beispielrechnung dienen
dazu die mathematik einer
epidemiologischen modellrechnungen zu
veranschaulichen
sie dienen dazu den mechanismus solcher
simulationen zu verstehen
die werte sind nicht repräsentativ und
können nicht für politische
entscheidungen meinungsbildung oder
entsprechende maßnahmen verwendet werden
die autoren übernehmen keinerlei haftung
für die verwendung dieser
modellrechnungen wir haben sie lediglich
zu didaktischen zwecken erzeugt dieses
video und die dazugehörige python
notebooks werden unter einer creative
commons lizenz veröffentlicht es geht
also ums scr modell was ist das
eigentlich genau das scr modell ist ein
einfaches mathematisches modell zur
berechnung einer epidemie se r steht für
die englischen wörter september anfällig
den fesches ansteckend recovered genesen
oder rekonvaleszent man teilt also eine
bevölkerung in drei gruppen die die noch
nicht infiziert sind aber anfällig die
die infiziert sind und daher ansteckend
und die die genesen sind oder auch
gestorben sind und daher nicht mehr
ansteckend sind
dann können wir dieses modell anwenden
es gibt einige voraussetzungen
jedes individuum zum beispiel kann die
krankheit nur einmal bekommen und ist
danach immun oder tod ein individuum
kann nicht ohne krank zu werden sterben
also kann
entweder immer gesund sein oder sich
infizieren um anschließend wieder zu
genesen
oder eben zu sterben die anzahl der
individuen insgesamt ist konstant das
heißt genesene und tote individuen
werden der gruppe zugezählt infizierte
personen sind sofort ansteckend sowohl
die ansteckungsrate als auch die
genesungs rate sind unabhängig von der
anzahl der jeweiligen gruppen und werden
als konstante faktoren angenommen
jede der gruppen agiert miteinander mit
derselben wahrscheinlichkeit dieser
annahmen sind starke vereinfachung der
möglichkeit trotzdem soll das modell gut
geeignet sein den mechanismus einer
solchen epidemie zu verstehen wie kommt
man denn zu so einem modell man
betrachtet die veränderungen der
jeweiligen gruppengröße diese
veränderungen also die rate mit der sich
eine gruppe verändert und mit der sich
die anzahl verändert ist eigentlich das
was wir in dem modell betrachten und wie
sehen diese änderungen aus in dem maße
in dem die anzahl der infizierten
zunimmt
ändert sich die anzahl der anfälligen
also die anzahl der anfälligen nimmt ab
wenn die anzahl der infizierten zunimmt
und die wahrscheinlichkeit dass ein
infizierter einen noch nicht infizierten
also einen anfälligen ansteckt ist
größer je größer die anzahl der
infizierten pro bevölkerung ist also die
änderungsraten es strich ist
proportional zur anzahl der möglichen
kontakte also es durch einmal der anzahl
der infizierten
so ähnlich verhält es sich mit der
änderungs rate der infizierten es gibt
mehr infizierte wenn es weniger
anfällige gibt also die die anfällig
waren und jetzt infiziert worden sind
sind plötzlich eben infiziert also die
strich die änderung der infizierten ist
proportional wieder zu dem was wir eben
besprochen haben gleichzeitig nimmt die
anzahl der infizierten aber auch ab weil
ja welche wieder genesen sie ist
proportional wieder zur anzahl
der infizierten selber denn je mehr
infizierte es gibt desto mehr genesen
auch schließlich ist die änderungsraten
der gruppe der genesene neben abhängig
von der anzahl der infizierten das haben
wir gerade besprochen dann genauso viele
wie jetzt gewesen also zur gruppe der
genesenen dazu gezählt werden so viele
fallen aus der gruppe der infizierten
heraus okay aber das sind ja noch keine
mathematischen gleichungen das stimmt
diese proportionalität lassen sich in
einem system von differentialgleichungen
schreiben wir fassen dazu die
gruppengröße über einen zeitpunkt als
funktion derzeit auf dann sind die
änderungsraten nichts anderes als
ableitung dieser funktion in der zeit
jetzt haben wir funktionen und
ableitungen als änderungen gesehen und
nun die proportionalität lassen sich als
änderungsraten in form von konstanten
positiven oder negativen faktoren
auffassen
insgesamt erhält man ein system von
differentialgleichungen dass die
ableitung von es in der zeit also der
anfälligen personen in der zeit also die
änderungsraten in der zeit als ein
negativer faktor der proportionalität
die wir vorhin gesprochen haben
dargestellt werden kann
ganz analog geht man auch für die
anderen beiden gleichungen vor und
setzen entsprechende faktoren für die
proportionalität nein
weiterhin gilt wie in den anderen
formuliert dass die gesamtzahl der
individuen sich nicht ändert also eng
ist konstant und ist gleich der summe
aus anfälligen infizierten und genesenen
personen also s + + r ist gleich die
gesamtzahl denn jetzt haben wir die
gleichung aber da stehen noch sehr viele
buchstaben also platzhalter wie löst man
denn nun diese gleichungen wir brauchen
noch daten um diese gleichungen lösen zu
können
müssen wir zum beispiel die zahlen in
mindestens zwei der gruppen zum beginn
des beobachtungszeitraumes haben also s0
zb die anzahl der anfälligen oder die
anzahl der bislang infizierten
auch müssen wir die beiden konstanten
die infektionsrate und w
die genesungsphase kennen oft kann man
davon ausgehen dass die anzahl der
gelesenen zu beginn eines zeitpunktes
gleich null ist kennt man dann die
anzahl der infizierten
so lässt sich die anzahl der anfälligen
aus der gesamtzahl und der beziehungen
gleich s + + r herbei und wichtig sind
doch bestimmt auch die beiden
änderungsraten c&w oder genau die
infektions und genesungs raten lassen
sich aus daten her life in unserem fall
können wir zum beispiel die daten des
robert koch institutes oder der
weltgesundheitsorganisation whu
hernehmen daraus ergibt sich dass sich
die zahl der infizierten etwa alle vier
bis fünf tage verdoppelt diese
änderungsraten der gruppe der
infizierten wäre also zwei nämlich
verdoppelung pro vier bis fünf tage das
ist unsere zeit einheit
wir setzen also c gleich zwei durch 4,5
also dem mittelwert aus vier und fünf
tagen die genesungs rate kann man aus
der zeit ableiten die im schnitt für die
heilung notwendig ist
etwa zehn bis 14 tagen ist die krankheit
in der regel entweder tödlich oder im
wesentlichen geheilt wir werden also w
gleich ein zwölftel annehmen ich fasste
zusammen wir haben jetzt drei
differentialgleichungen für die anzahl
der anfälligen der infizierten und der
genesenen außerdem brauchen wir die an
zahlen in diesen gruppen zu einer
anfangszeit sowie die infektions und die
genesenen rate wie geht es jetzt weiter
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