Ex 10: Conic Section: Parabola with Horizontal Axis and Requires Completing the Square (Left)

Summary

Este video explica cómo graficar una parábola cuyo vértice no está en el origen y que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Se aborda el proceso de completar el cuadrado para obtener la forma estándar de la ecuación, identificando los componentes clave como el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría. Además, se explica cómo determinar la dirección de apertura de la parábola en función del valor de 'A', así como el cálculo de los puntos finales del latus rectum para una representación gráfica precisa. El video ofrece una forma clara y visual de entender estos conceptos geométricos.

Takeaways

• 😀 Para graficar una parábola que abre hacia la izquierda o derecha, la ecuación debe tener un término de 'y' al cuadrado y un término de 'x' al primer grado.
• 😀 La ecuación debe ser reescrita en una forma específica para encontrar los componentes clave de la parábola, incluyendo la factorización de un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo.
• 😀 Para completar el cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, tomamos la mitad del coeficiente de 'y', lo elevamos al cuadrado y agregamos el valor correspondiente en ambos lados de la ecuación.
• 😀 En el ejemplo, para completar el cuadrado, sumamos 16 en ambos lados de la ecuación y factorizamos el lado izquierdo en un trinomio cuadrado perfecto.
• 😀 Después de completar el cuadrado, la ecuación toma la forma (y + 4)² = -4(x - 0), lo que facilita encontrar el vértice y otros componentes clave de la parábola.
• 😀 El vértice de la parábola se puede obtener fácilmente observando la ecuación: el vértice tiene coordenadas (h, k), donde h es 0 y k es -4.
• 😀 Para determinar si la parábola abre hacia la izquierda o derecha, debemos calcular el valor de 'A'. Si 'A' es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda; si es positivo, se abre hacia la derecha.
• 😀 En este caso, 'A' es igual a -1, lo que indica que la parábola se abre hacia la izquierda.
• 😀 El foco de la parábola está siempre dentro de la curva y, si la parábola abre hacia la izquierda, el foco estará a la izquierda del vértice.
• 😀 La distancia desde el vértice hasta el foco es igual al valor absoluto de 'A'. Como 'A' es -1, la distancia es 1 unidad, lo que nos da las coordenadas del foco como (-1, -4).
• 😀 La ecuación de la directriz es una línea vertical que pasa 1 unidad a la derecha del vértice, y su ecuación es x = 1.
• 😀 El eje de simetría de la parábola es una línea horizontal que pasa por el vértice, y su ecuación es y = -4.
• 😀 El segmento conocido como el rectángulo focal o latus rectum es paralelo a la directriz y pasa por el foco. Su longitud es igual al valor absoluto de 4A, lo que nos da una longitud de 4 unidades.
• 😀 Los puntos finales del latus rectum están ubicados dos unidades por encima y por debajo del foco, resultando en los puntos (-1, -6) y (-1, -2).
• 😀 Finalmente, con estos puntos y el vértice, podemos realizar un gráfico más preciso de la parábola que abre hacia la izquierda.

Q & A

¿Por qué la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha en lugar de hacia arriba o hacia abajo?

Porque en la ecuación dada aparece el término y², pero la x solo está elevada a la primera potencia. Esto indica que la parábola se abre lateralmente, no verticalmente.

¿Qué forma general se usa para escribir la ecuación de una parábola que abre hacia la izquierda o la derecha?

Se usa la forma (y - k)² = 4a(x - h), donde (h, k) representa el vértice y el signo de 'a' determina la dirección de apertura.

¿Cómo se completa el cuadrado en la ecuación y² + 8y = -4x - 16?

Se toma la mitad del coeficiente de y (la mitad de 8 es 4) y se eleva al cuadrado (4² = 16). Luego se suma 16 a ambos lados de la ecuación para mantener la igualdad.

¿Cuál es la ecuación final en forma de vértice después de completar el cuadrado?

La ecuación se convierte en (y + 4)² = -4(x - 0).

¿Cuál es el vértice de la parábola según la ecuación obtenida?

El vértice está en el punto (0, -4).

¿Cómo se determina si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha?

Se observa el valor de 'a' en la ecuación. Si 'a' es positivo, abre hacia la derecha; si es negativo, abre hacia la izquierda. En este caso, a = -1, por lo tanto, la parábola abre hacia la izquierda.

¿Dónde se encuentra el foco de la parábola?

El foco está una unidad a la izquierda del vértice, en el punto (-1, -4).

¿Cuál es la ecuación de la directriz de la parábola?

La directriz es una línea vertical situada una unidad a la derecha del vértice, por lo que su ecuación es x = 1.

¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la parábola?

El eje de simetría es una línea horizontal que pasa por el vértice, por lo que su ecuación es y = -4.

¿Qué es el latus rectum o diámetro focal y cuál es su longitud en este caso?

El latus rectum es el segmento que pasa por el foco, es paralelo a la directriz y tiene una longitud igual al valor absoluto de 4a. Como 4a = -4, su longitud es 4 unidades.

¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del latus rectum?

Los extremos están en (-1, -6) y (-1, -2), dos unidades arriba y abajo del foco, respectivamente.

¿Qué pasos se siguen para graficar correctamente la parábola?

Primero se ubica el vértice, luego el foco y la directriz. A continuación, se trazan los extremos del latus rectum y finalmente se dibuja la parábola pasando por esos puntos, asegurando que se abra hacia la izquierda.