Ejemplo del Método de Euler
Summary
TLDREn este script se presenta el método de Euler para resolver el problema de valor inicial de Jane de la ecuación diferencial 'dx/dt = 12x + 1' con la condición inicial 'x(0) = 4'. Se proporciona la solución analítica 'x = log(2x + 1)' y se verifica evaluando en 't=0'. Se muestra cómo calcular iterativamente usando el método de Euler, avanzando en pasos de 'h' y evaluando la función en cada paso. Se comparan los valores aproximados obtenidos para diferentes valores de 'h' con el valor exacto, destacando cómo disminuir 'h' reduce el error relativo. Se incluye una gráfica que contrasta la solución analítica con las aproximaciones numéricas para 'h = 0.5' y 'h = 0.25', mostrando que un paso más pequeño mejora la precisión del método.
Takeaways
- 📚 Se presenta un ejemplo de cómo resolver un problema de valor inicial utilizando el método de Euler (método de oler).
- 🔍 El problema específico trata de encontrar la solución de la ecuación diferencial \( \frac{dx}{dt} = 12x + 1 \) con la condición inicial \( x(0) = 4 \).
- 🧐 La solución analítica para este problema es \( x = \ln(2x) \), la cual se verifica evaluando en la condición inicial.
- 📉 La derivada de la solución analítica se obtiene y se utiliza para comparar con el método numérico.
- 📈 Se grafica la solución analítica en azul y se muestra cómo se aproxima con el método de Euler.
- 🔢 Se utiliza un valor inicial \( x_0 = 4 \) y se avanza en pasos de tamaño \( h \), evaluando la función en cada paso.
- 📊 Se muestran los pasos numéricos para calcular \( x_1, x_2, x_3 \) y se comparan con la solución analítica.
- 📉 Se crea una tabla comparando los valores exactos y los aproximados obtenidos con el método de Euler para diferentes tamaños de paso \( h \).
- 📉 Los errores relativos se calculan y se muestran para evaluar la precisión del método de Euler en función del tamaño de paso.
- 🔍 Se observa que al disminuir el tamaño de paso \( h \), la aproximación numérica mejora, aunque aumenta el número de pasos necesarios.
- 📈 Se incluye una gráfica que ilustra cómo las aproximaciones numéricas se acercan a la solución analítica a medida que se reducen los pasos.
Q & A
¿Qué método se utiliza para resolver el problema de valor inicial presentado en el guion?
-Se utiliza el método de Euler para resolver el problema de valor inicial.
¿Cuál es la ecuación diferencial del problema de valor inicial?
-La ecuación diferencial es y' = 12x + 1 con la condición inicial y(0) = 4.
¿Cuál es la solución analítica para el problema de valor inicial mencionado?
-La solución analítica es y = ln(2x) + 1.
¿Cómo se verifica la solución analítica para el problema de valor inicial?
-Se verifica evaluando la solución analítica en la condición inicial, donde y(0) debe ser igual a 4, y al derivar la solución para obtener y', debe coincidir con la ecuación diferencial dada.
¿Cuál es el valor inicial (x0) y su correspondiente valor de y (y0) en el método de Euler?
-El valor inicial es x_0 = 0 y el correspondiente valor de y es y_0 = 4.
¿Cómo se calcula el primer paso (x1) utilizando el método de Euler con un tamaño de paso h?
-Se calcula como x_1 = x_0 + h y y_1 = y_0 + h * f(x_0, y_0), donde f es la función dada en la ecuación diferencial.
¿Cuál es el tamaño del paso (h) utilizado en el primer ejemplo del método de Euler?
-El tamaño del paso utilizado en el primer ejemplo es h = 0.5.
¿Cómo se determina el valor aproximado de y en x1 utilizando el método de Euler?
-Se determina utilizando la fórmula y_1 = y_0 + h * f(x_0, y_0) y evaluando la función en los valores de x0 y y0.
¿Cuál es la diferencia entre los valores aproximados y los valores exactos para diferentes tamaños de paso (h)?
-Cuanto más pequeño sea el tamaño de paso (h), menor será el error relativo y más cercana estará la aproximación a la solución exacta.
¿Cómo se compara la solución numérica con la solución analítica en la gráfica?
-Se compara observando la cercanía de los puntos de la solución numérica (en forma de cuadros rojos) a la curva de la solución analítica (en azul).
¿Qué se concluye respecto al error relativo y el tamaño del paso en el método de Euler?
-Se concluye que un tamaño de paso más pequeño disminuye el error relativo, aunque aumenta el número de pasos necesarios para alcanzar un punto específico.
Outlines
📚 Resolución de problemas de valor inicial usando el método de Euler
El primer párrafo presenta un ejemplo de cómo resolver un problema de valor inicial utilizando el método de Euler. Se describe el problema de encontrar la función 'x(t)' dada la ecuación diferencial 'dx/dt = y(t)' y 'dy/dt = 12x + 1', con condiciones iniciales 'x(0) = 4' y 'y(0) = 0'. La solución analítica se muestra como 'x(t) = ln(2x(t) + 1)', la cual es verificada evaluando en 't=0'. Luego, se aplica el método de Euler para aproximar la solución numérica, utilizando un tamaño de paso 'h' y avanzando en pasos de 'h' para calcular 'x1', 'x2', y 'x3'. Se muestran los cálculos detallados y se compara la aproximación con la solución analítica.
📉 Comparación de la precisión del método de Euler con diferentes tamaños de paso
El segundo párrafo se enfoca en la comparación de la precisión del método de Euler para resolver el mismo problema, pero utilizando diferentes tamaños de paso 'h'. Se presentan los valores exactos y los valores aproximados para 'h' igual a 0.5 y 0.25, y se muestran los errores relativos porcentuales para cada caso. Se destaca cómo disminuir el tamaño de paso a 0.25 mejora la aproximación, reduciendo el error en comparación con 'h' igual a 0.5. Además, se incluye una gráfica que visualiza la solución analítica en azul y las aproximaciones numéricas en rojo y azul, respectivamente, para 'h' de 0.5 y 0.25, mostrando que la solución con 'h' más pequeño se acerca más a la solución analítica.
Mindmap
Keywords
💡Método de Euler
💡Problema de valor inicial
💡Condición inicial
💡Solución analítica
💡Derivada
💡Paso de integración (h)
💡Aproximación numérica
💡Error relativo
💡Gráfica
💡Función
Highlights
Ejemplo del método de Euler para resolver el problema de valor inicial de Jane.
Condición inicial: x(0) = 4 para la función 12x + 1.
Solución analítica: x = logaritmo natural de (2x^2).
Verificación de la solución analítica evaluando en x=0.
Derivada de la solución analítica: 2 * logaritmo natural de (4x).
Ecuación diferencial: 2y = 12x + 1.
Método de Euler para aproximar la solución numérica.
Valor inicial numérico: x0 = 0.5, y0 = 4.
Formula del método de Euler: y1 = y0 + h * f(x, y).
Evaluación de la función en x0 y y0: f(0, 4).
Resultado aproximado de y1: 5.03.
Avanzar en el tamaño de paso h: x1 = 0.5 + h.
Evaluación de la función en x1 y y1 para calcular y2.
Resultado aproximado de y2: 5.559.
Tabla de valores exactos y aproximados para diferentes valores de x.
Comparación de errores relativos al disminuir el tamaño de paso h.
Gráfica de la solución analítica y numérica para h = 0.5 y h = 0.25.
Mejora en la aproximación numérica al reducir h a 0.25.
Transcripts
hagamos un ejemplo del método de oler
vamos a resolver el problema de valor
inicial de jane de x igual a la raíz de
y entre 12 x + 1 con condición inicial
de 0 igual a 4
la solución analítica a este problema es
de x igual a el logaritmo natural de 2 x
1 entre 4 2 todo al cuadrado se puede
verificar rápidamente porque si
evaluamos en 0 y evaluada en 0 es igual
a logaritmo natural de 2 x 1 queda el
logaritmo natural de 1 que eso es es 0
entre 4 + 2
entonces esta parte se hace 0 aquí falta
al cuadrado 3 2 al cuadrado es 4
y si derivamos obtenemos que esto es
igual a 2 veces
el logaritmo natural vamos a ponerle
nada más así todo lo que está ahí
adentro por la derivada de lo de adentro
que es un el 4 aquí lo lo puedo dejar
aquí afuera
por abajo va a la función 12 x + 1 y
arriba la derivada de la función
quedaría 2 y la derivada de más 12 0
entonces este 2 con este 2 se cancelan
con este 4 y cancelamos
y esto es
y x pero sin el cuadrado sea la raíz de
y entonces esto es igual a raíz de jane
por 1 / 2 x + 1
entonces es el lado derecho de la
ecuación desde lado izquierdo llegamos
al lado derecho
aquí estamos mezclando mutaciones para
aclarar de x es lo mismo que prima de x
la gráfica de la solución es una curva
aquí mostrada en azul
entonces como solución numérica vamos a
usar aquí igual a 0.5 vamos a hacer x0
igual a cero ig-0 igual a 4
entonces el valor de x1 es igual a x0
más h
solamente avanza en h
y es igual a 0 0.5
igual a 0.5 es el valor de x1 es igual a
0.5
aquí recordemos que la fórmula del
método del dólar es de 1 igual a más
h por la función evaluada en x y xii
aquí
esta parte
es fx y coma
entonces el valor de 1 es igual a cero
más h por la función evaluada en x 0,10
0 y eso es igual a 4 más 0.5 por efe
evaluada en 0 4
si evaluamos efe en 04
la parte de abajo de fx y se hace uno y
la parte de arriba se hace dos entonces
queda 2
esto es igual a 5.03 de 1 es igual a 5.0
esto nos dice que el valor aproximado de
la
función evaluada en x1 es igual a
bueno recordemos que x1 es igual a 0.5
es aproximadamente igual a 5.0
x2 vuelve a avanzar con tamaño de paso h
ahora es 1.0
y que dos nos queda 5 que es el valor
anterior 0.5 aquí es h es el no cambio
pero ahora la función va a estar
evaluada en x 10.5 y uno que 5.0
sustituyendo los valores de xy en esta
función obtenemos que eso es igual a
1.118 haciendo esta operación obtenemos
5.55 lo que nos dice que ya evaluada
1.0 es aproximadamente 5.559
volvemos a avanzar en punto 5 x 3 ahora
es 1.5
y tres hacemos las sustituciones
pertinentes aquí y ahora la función está
valuada en 1 y el valor anterior de i o
sea los valores anteriores de x y
la función evaluada y nos queda 0.7 185
9 y haciendo las operaciones nos queda
5.95 o sea que ya evaluada en 1.5 es
aproximadamente
5.95
vamos a ver en resumen que es lo que
queda lo que hemos estado obteniendo en
una tabla entonces vamos a hacer para
dos casos para h igual a 0.5 y h igual a
0.25
los valores exactos o sea los valores de
la solución evaluados en las x de 0 0.25
0.5 etcétera son mostrados en esta
columna en particular en 2
el valor verdadero de las funciones
5.771
el valor aproximado de los que obtuvimos
ahorita pues solamente están marcados
cada 0.5 primero es 4 en 0.55 en uno es
5.559 en 1.5 5.952
y en 2 6.257 en la siguiente columna se
muestran los errores relativos
verdaderos porcentuales entonces
en el caso particular de x igual a 2
el error es menos 8.4 por ciento
si hacemos un tamaño de paso más pequeño
en el caso x igualados obtenemos que la
aproximación es 6 o sea el error es de
menos 4 %
entonces una h más pequeña
disminuye el error aunque aumenta el
número de pasos
vamos a ver la gráfica de la solución
numérica entonces en el caso de h igual
a 0.5 tenemos la solución analítica en
azul y las aproximaciones en cuadros
rojos entonces en el caso de 0.5 el
valor de 5 se aproxima al valor preciso
de la solución en el caso de 1 también
está próximos entonces esos puntos están
estar próximos unos con otros entonces
en el caso igual a 0.25
se mejora la solución numérica en el
caso particular de x igual a 2
aquí vemos como el triángulo azul que
corresponde a la solución con h igual a
0.25 está más cerca de la curva que el
cuadro en rojo
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