Trigonometría: ángulos
Summary
TLDREn este video de la Escuela de Matemáticas de la Universidad de Costa Rica, se explora el concepto de ángulos y sus propiedades fundamentales. Se define un ángulo como la intersección de dos rayos que forman un lado inicial y un lado final, con el vértice como punto de intersección. Se discute la posición estándar de un ángulo, la medición en grados y radianes y cómo convertir de un sistema a otro. Además, se introducen los ángulos coterminales, los ángulos cuadrantales y el cálculo del ángulo de referencia. El video termina con un ejemplo práctico para ilustrar cómo determinar el ángulo de referencia de un ángulo dado, brindando una visión clara y didáctica de los conceptos básicos de trigonometría.
Takeaways
- 📚 El video es una introducción a los conceptos básicos de ángulos antes de estudiar trigonometría.
- 📐 Un ángulo es formado por dos rayos que se intersectan en un punto llamado vértice.
- 🌐 Un ángulo puede ser entendido como una rotación del lado inicial sobre el lado final.
- 📍 Los ángulos en posición estándar tienen su vértice en el origen de coordenadas y su lado inicial en el semieje positivo x.
- ⏱️ Los ángulos pueden ser medidos en grados o radianes, donde los radianes son basados en la longitud del arco.
- 🔄 Los ángulos positivos rotan en sentido contrario a las manecillas del reloj y los ángulos negativos en sentido de las manecillas.
- 🔄 La conversión entre grados y radianes se hace multiplicando por π/180 o 180/π respectivamente.
- 🔄 Los ángulos coterminales comparten el mismo lado final y se pueden encontrar restando o sumando múltiplos de 360 grados o 2π.
- 📊 Los ángulos cuadrantales tienen su lado final alineado con un eje coordenado y son múltiplos de 90 grados o π/2.
- 🧭 El ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo agudo positivo formado por el lado terminal y el semieje x.
- 📘 Se proporciona un ejemplo práctico para entender cómo calcular el ángulo de referencia de un ángulo dado.
Q & A
¿Qué es un ángulo y cómo se forma?
-Un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos o segmentos que se intersectan en un punto común llamado vértice. Los rayos o segmentos se conocen como el lado inicial y el lado final del ángulo.
¿Qué es la posición estándar de un ángulo y cómo se define?
-La posición estándar de un ángulo es cuando el vértice del ángulo coincide con el origen de coordenadas en el plano cartesiano y su lado inicial coincide con el semieje positivo x.
¿Cómo se determinan los signos de los ángulos, y cuál es la diferencia entre un ángulo positivo y uno negativo?
-Un ángulo es positivo si su rotación es contraria a las manecillas del reloj y negativo si gira en el sentido de las manecillas. Esto se refiere a la dirección de la rotación del lado inicial sobre el lado final.
¿Cómo se miden los ángulos y cuál es la unidad de medida común?
-Los ángulos se miden comúnmente en grados. Sin embargo, también se pueden medir en radianes, que son una alternativa a los grados en matemáticas y física.
¿Cómo se relacionan los grados y los radianes para medir ángulos y cómo se convierten entre ellos?
-Para convertir de grados a radianes, se multiplica el número de grados por π/180. Para convertir de radianes a grados, se multiplica el número de radianes por 180/π.
¿Qué es un ángulo coterminal y cómo se identifican?
-Los ángulos coterminales son aquellos que comparten el mismo lado final. Se identifican restando o sumando a la medida de un ángulo un múltiplo de 360 grados o 2π radianes.
¿Qué son los ángulos cuadrantales y cómo se definen?
-Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyo lado final coincide con algún eje coordenado, como 0 grados, 90 grados, 180 grados, 270 grados y sus coterminales. Son múltiplos de 90 grados o π/2 radianes.
¿Cómo se divide el plano en cuadrantes y cuáles son sus nombres?
-El plano se divide en cuatro cuadrantes por los ejes coordenados: el primero, el segundo, el tercer y el cuarto cuadrante.
¿Qué es el ángulo de referencia de un ángulo y cómo se calcula?
-El ángulo de referencia, denotado como cosita r, es el ángulo agudo positivo formado por el lado terminal del ángulo y el semieje X. Depende de en qué cuadrante se encuentre el lado final del ángulo.
¿Cómo se determina el ángulo de referencia de un ángulo que tiene una medida de 13/4 pi o 585 grados?
-Si el ángulo tiene su lado final en el tercer cuadrante, como es el caso del ángulo de 13/4 pi o 585 grados, su ángulo de referencia es el ángulo que forma con el semieje X, que en este caso es 225 grados menos 180 grados, dando como resultado 45 grados.
Outlines
📚 Introducción a los Ángulos y Conceptos Básicos
El primer párrafo presenta una introducción a los conceptos fundamentales de los ángulos, como su definición, componentes y cómo se relacionan con la trigonometría. Se describe que un ángulo es formado por dos rayos que se intersectan en un punto llamado vértice y se explica que se puede entender como una rotación del lado inicial sobre el lado final. Además, se introduce la posición estándar de un ángulo en el plano cartesiano y se mencionan los signos de los ángulos, que son positivos si la rotación es contraria a las manecillas del reloj y negativos en caso contrario. Finalmente, se abordan las unidades de medición de los ángulos, grados y radianes, y se proporcionan fórmulas para convertir de un sistema a otro.
🔢 Ángulos Coterminales, Cuadrantales y Referencia
El segundo párrafo se enfoca en dos tipos específicos de ángulos: los coterminales y los cuadrantales. Los ángulos coterminales son aquellos que comparten el mismo lado final y se pueden encontrar restando o sumando múltiplos de 360 grados o 2π radianes a la medida de un ángulo. Se dan ejemplos de cómo calcular ángulos coterminales y se señala que hay infinitos ángulos coterminales para cada ángulo dado. Por otro lado, los ángulos cuadrantales son aquellos cuyo lado final está alineado con un eje coordenado, como 0°, 90°, 180° y 270°, y se pueden identificar dividiendo su medida entre 90 grados o π/2 y obteniendo un resultado entero. El párrafo también define el ángulo de referencia de un ángulo, que es el ángulo formado entre el lado terminal del ángulo y el semieje positivo X. Se ilustra con un ejemplo práctico cómo calcular el ángulo de referencia para un ángulo dado, en este caso, para un ángulo de 13/4.
Mindmap
Keywords
💡Ángulo
💡Vértice
💡Lado inicial y lado final
💡Posición estándar
💡Grados y radianes
💡Coterminales
💡Cuadrantes
💡Ángulo cuadrantal
💡Ángulo de referencia
💡Conversión de grados a radianes
💡Conversión de radianes a grados
Highlights
El video es una introducción a los conceptos básicos de ángulos antes de estudiar trigonometría.
Un ángulo es formado por dos rayos que se intersecan en un punto común llamado vértice.
Los rayos de un ángulo se llaman lado inicial y lado final.
Un ángulo puede ser entendido como una rotación del lado inicial sobre el lado final.
El ángulo está en posición estándar si su vértice coincide con el origen de coordenadas y el lado inicial con el semieje positivo x.
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes.
La medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco subtendido por el ángulo dividido por el radio de la circunferencia.
Para convertir de grados a radianes se multiplica los grados por pi/180.
Para convertir de radianes a grados se multiplica los radianes por 180/pi.
Un ángulo positivo gira de forma contraria a las manecillas del reloj y un ángulo negativo gira en el sentido de las manecillas.
Los ángulos coterminales comparten el mismo lado final.
Se pueden encontrar ángulos coterminales restando o sumando múltiplos de 360 grados o 2pi a la medida de un ángulo.
Los ángulos cuadrantales tienen su lado final alineado con un eje coordenado.
Los ángulos cuadrantales son múltiplos de 90 grados o pi/2.
El ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo agudo positivo formado por el lado terminal y el semieje X.
El ángulo de referencia varía según el cuadrante en el que se encuentre el lado terminal del ángulo.
Ejemplo práctico: Calcular el ángulo de referencia de un ángulo de 13/4, ubicado en el tercer cuadrante.
Transcripts
Hola estimados y estimadas estudiantes
reciban un cordial saludo de parte de la
escuela de matemática de la Universidad
de Costa Rica
en este vídeo hablaremos de ángulos
antes de adentrarnos al tema de
trigonometría debemos de tener muy claro
que es un ángulo y otros conceptos
referentes a él un ángulo ao B está
formado por los rayos o a y ov que se
intersecan en un punto común llamado
vértice
llamamos a los rayos o a y b como lado
inicial y lado final respectivamente
note que podemos entender un ángulo como
una rotación del lado inicial sobre el
lado final
decimos que un ángulo está en posición
estándar si su vértice coincide con el
origen de coordenadas en el plano
cartesiano y su lado inicial coincide
con el semieje positivo x
enfocaremos nuestro trabajo en esta
sección a ángulos en posición estándar
en pantalla estás mirando ángulos que no
están en posiciones estándar
hablemos ahora de los signos de los
ángulos diremos que un ángulo es
positivo si rota de forma contraria a
las manecillas del reloj y es Negativo
si gira en sentido de las manecillas del
reloj
ahora bien Cómo medimos a los ángulos
normalmente hemos utilizado los grados
para medir ángulos no obstante podemos
utilizar también a los radianes Pero
cómo entender a los radianes
consideremos una circunferencia de radio
r cuyo centro es el vértice de un ángulo
cita
decimos que la medida en radianes de
cita es ese sobre r donde s es la
longitud del Arco que subtiende a cita
en otras palabras la medida en radianes
de cita será la cantidad de veces que el
radio cabe en la longitud del Arco
subtendido por cita
para realizar las conversiones de grados
a radianes y viceversas se presentan las
siguientes relaciones Si queremos pasar
de grados a radianes multiplicamos los
grados por pi entre 180 grados Si
queremos pasar de radianes a grados
multiplicamos los radianes por 180
grados entre
pie por ejemplo pasemos 96 grados a
radianes para esto debemos multiplicar
96 grados por pi entre 180 grados
obteniendo 8 pies entre 15 radianes
ahora
pasemos 11 y tercios radianes a grados
para ello multiplicamos 11 y tercios por
180 grados entre pi obteniendo 660
grados
pronto entenderemos mejor Qué significa
que un ángulo sea mayor a 360 grados
ahora estudiaremos algunos casos
particulares de ángulos
[Música]
empezaremos por los ángulos coterminales
decimos que dos ángulos son coterminales
si comparten el mismo lado final
por ejemplo los ángulos con medida 30
grados y 390 grados son coterminales
[Música]
Asimismo los ángulos menos dos tercios y
10 y tercios son coterminales
[Música]
note que para hallar ángulos
coterminales de cita basta su madre o
restarle a la medida de cita un múltiplo
de 360 grados o dos pi según sea el caso
si trabajamos en grados o radianes con
base en esto podemos afirmar que dos
ángulos son coterminales si al restar
sus medidas se obtiene un múltiplo de
360 grados o dos pi según sea el caso
[Música]
realicemos algunos ejemplos
[Música]
encuentre cuatro ángulos coterminales
para cada ángulo para el ángulo 28
grados tenemos los siguientes ángulos
coterminales
mientras que para siete pi sobre 36
tenemos los siguientes cuatro terminales
en ambos casos cada ángulo tiene
infinitos ángulos coterminales otro tipo
de ángulos que son de nuestro interés
son los ángulos cuadrantales los cuales
son aquellos cuyo lado final coincide
con algún eje coordenado por ejemplo el
ángulo cero grados 90 grados
180 grados
270 grados y sus coterminales por
ejemplo
990 grados
[Música]
para identificar si un ángulo es
cuadrantal este debe ser múltiplo de 90
grados o pi medios según sea el caso es
decir que al dividirlo entre 90 grados o
pi medios debemos obtener un número
entero
nota que los ejes coordenados dividen al
plano en cuatro cuadrantes que
llamaremos primero segundo tercer y
cuarto cuadrante
[Música]
finalmente conoceremos que es el ángulo
de referencia de un ángulo sea cita un
ángulo decimos que su ángulo de
referencia denotado cositas r es el
ángulo agudo positivo formado por el
lado terminal de cita y el semieje X
de esta forma sicita tiene su lado final
en el primer cuadrante entonces su
ángulo de referencia es el mismo
si su lado final está en el segundo
cuadrante su ángulo de referencia es 180
grados menos cita
si su lado final está en el tercer
cuadrante su ángulo de referencia es
cita - 180 grados y si su lado final
está en el cuarto cuadrante su ángulo de
referencia es 360 grados menos 7
terminaremos este video con un ejemplo
de repaso
Cuál es el ángulo de referencia de un
ángulo zika con medida 13/4
primero nota que la medida del ángulo
cita es 13 pi cuartos o 585 grados
además
scot terminal con el ángulo de medida
225 grados ubicado en el tercer
cuadrante por lo que su ángulo de
referencia sería
225 grados menos 180 grados es decir 45
grados o en radianes y cuartos por ahora
eso sería todo te invitamos a seguir
practicando Muchas gracias
[Música]
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