Funciones.Dominio, recorrido, cortes, continuidad, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos

Summary

Este análisis completo de una función aborda temas fundamentales como el dominio, recorrido, puntos de corte, continuidad y tasas de variación. Se explica cómo determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, identificando máximos y mínimos relativos y absolutos. Además, se profundiza en la importancia de los cortes con los ejes, así como en la simetría y la periodicidad de la función. A lo largo del análisis, se detallan ejemplos prácticos y cálculos para comprender cómo varía la función entre puntos específicos. Es un recurso educativo valioso para entender los conceptos clave en el estudio de funciones matemáticas.

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Q & A

¿Qué es el dominio de una función?

El dominio de una función son los valores que puede tomar la variable independiente (x). En el caso de esta función, el dominio es (-∞, 2) ∪ [3, ∞), lo que significa que la función está definida para todos los valores de x desde menos infinito hasta 2 (sin incluir el 2), y desde 3 hasta infinito.

¿Cómo se determina el recorrido de una función?

El recorrido (o rango) de una función se refiere a los valores que puede tomar la variable dependiente (y). En este caso, el recorrido es [-3, ∞), ya que la función alcanza su valor mínimo en -3 y continúa creciendo hacia infinito.

¿Qué significa que una función tenga discontinuidad de salto?

Una discontinuidad de salto ocurre cuando la función tiene un 'salto' finito en un punto, es decir, el valor de la función cambia abruptamente de un valor a otro sin tomar todos los valores intermedios. En este caso, la función tiene una discontinuidad de salto en x = 2.

¿Cuáles son los puntos de corte de la función con el eje x?

Los puntos de corte con el eje x son donde la función cruza el eje horizontal, es decir, donde y = 0. En este caso, los puntos de corte son (-3, 0), (-2.5, 0) y (-0.5, 0).

¿Cómo se determina el corte de una función con el eje y?

El corte con el eje y ocurre donde x = 0. En este caso, la función corta el eje y en el punto (0, -1).

¿Qué se entiende por crecimiento y decrecimiento de una función?

El crecimiento de una función se da cuando los valores de y aumentan a medida que x aumenta. El decrecimiento ocurre cuando los valores de y disminuyen a medida que x aumenta. En esta función, es creciente en los intervalos (-3, -2), (1, 2) y (3, ∞), y decreciente en los intervalos (-∞, -3) y (-2, 1).

¿Qué son los máximos y mínimos relativos y absolutos?

Un máximo relativo es un punto donde la función alcanza un valor mayor que los puntos cercanos, pero no necesariamente es el mayor valor global. Un mínimo absoluto es el valor más bajo de la función en todo su dominio. En este caso, el máximo relativo ocurre en (-2, 3), y el mínimo absoluto en (-3, -2).

¿Por qué no existe simetría en esta función?

No existe simetría en esta función porque, si se pliega sobre el eje y o sobre el origen, no se obtiene la misma figura. Tampoco es una función impar, ya que no se cumple la condición f(-x) = -f(x).

¿Qué significa que una función no tenga periodicidad?

Una función no tiene periodicidad cuando sus valores no se repiten en intervalos regulares. En este caso, la función no tiene periodicidad porque sus valores no siguen un patrón repetitivo a lo largo de su dominio.

¿Cómo se calcula la tasa de variación entre dos puntos en una función?

La tasa de variación entre dos puntos se calcula restando el valor de la función en el primer punto del valor de la función en el segundo punto. Si la tasa de variación es negativa, la función está decreciendo entre esos puntos; si es positiva, está creciendo. Por ejemplo, entre x = -5 y x = -3, la tasa de variación es -7, lo que indica que la función está decreciendo en ese intervalo.