Fourier series WITH GRAPHIC, VERY EASY

Summary

En este video, el instructor explica cómo calcular la serie de Fourier de la función f(x) = x en el intervalo de -π a π. Se abordan los pasos necesarios para calcular los coeficientes de la serie (a₀, aₙ y bₙ) utilizando integrales, mostrando cómo se simplifican los términos. Además, se ilustra gráficamente cómo la serie de Fourier se aproxima a la función original mediante la suma de varios términos de la serie. Finalmente, se plantea un ejercicio para calcular la serie de Fourier de una función definida a trozos, incentivando a los espectadores a practicar el procedimiento por su cuenta.

Takeaways

• 😀 En este video se calcula la serie de Fourier de la función f(x) = x en el intervalo de -π a π.
• 😀 La serie de Fourier se construye a partir de los coeficientes a₀, aₙ y bₙ, que se calculan mediante integrales definidas.
• 😀 El primer paso en el cálculo es determinar el coeficiente a₀, que resulta ser 0 en este caso.
• 😀 El coeficiente aₙ se calcula utilizando integración por partes, y en este caso, el resultado también es 0.
• 😀 La integral para calcular aₙ involucra una función coseno, la cual se integra por partes, pero da como resultado 0.
• 😀 Para calcular el coeficiente bₙ, se aplica integración por partes nuevamente, pero ahora con una función seno en lugar de coseno.
• 😀 El coeficiente bₙ da como resultado 2/n * (-1)^(n+1), lo que es importante para la construcción de la serie de Fourier.
• 😀 La serie de Fourier obtenida para la función f(x) = x en el intervalo de -π a π está compuesta solo de términos con seno, ya que la función es impar.
• 😀 Las funciones impares (como f(x) = x) resultan en una serie de Fourier que solo contiene términos de seno.
• 😀 Se muestra gráficamente cómo la serie de Fourier se aproxima a la función f(x) = x, observando que a medida que se incluyen más términos, la aproximación mejora.
• 😀 En el siguiente ejercicio, se invita a los estudiantes a calcular la serie de Fourier de una función definida a trozos, utilizando integrales divididas según los intervalos correspondientes.

Q & A

¿Qué es la serie de Fourier y qué objetivo tiene en este video?

La serie de Fourier es una herramienta matemática que permite representar funciones periódicas como una suma infinita de senos y cosenos. En este video, el objetivo es calcular la serie de Fourier para la función f(x) = x en el intervalo de -π a π y mostrar cómo la serie se aproxima geométricamente a la función.

¿Qué significa que la función f(x) = x es impar?

Una función se dice impar si cumple la propiedad f(-x) = -f(x). En este caso, como f(x) = x, al reemplazar x por -x obtenemos f(-x) = -x, lo que confirma que la función es impar.

¿Por qué se calcula el coeficiente a0 y qué resultado se obtiene en este caso?

El coeficiente a0 se calcula mediante una integral definida de la función f(x) multiplicada por 1, y se obtiene la media de la función en el intervalo. En este caso, el resultado es cero, es decir, a0 = 0, lo que indica que la función f(x) = x no tiene un término constante en su serie de Fourier.

¿Cómo se calcula el coeficiente an y qué resultado se obtiene?

El coeficiente an se calcula mediante una integral definida que involucra la función f(x) multiplicada por un coseno. En este caso, al realizar la integral, se obtiene que an = 0, lo que indica que no hay términos de coseno en la serie de Fourier de esta función impar.

¿Por qué se usa la integración por partes para calcular los coeficientes an y bn?

La integración por partes es una técnica que permite simplificar integrales complejas. En este caso, se usa para calcular los coeficientes an y bn, ya que las integrales involucradas tienen productos de funciones que requieren esta técnica para resolverlas de manera efectiva.

¿Qué diferencia hay entre los coeficientes an y bn?

Los coeficientes an corresponden a las componentes de coseno de la serie de Fourier, mientras que los coeficientes bn corresponden a las componentes de seno. En este video, los coeficientes an son cero, mientras que los bn no lo son.

¿Cómo se calcula el coeficiente bn y qué resultado se obtiene?

El coeficiente bn se calcula mediante una integral definida que involucra la función f(x) multiplicada por un seno. Al realizar la integral, se obtiene que bn = 2/n * (-1)^(n+1), lo que da lugar a una serie de senos en la serie de Fourier.

¿Qué propiedades trigonométricas se utilizan para simplificar las integrales en este proceso?

Se utilizan propiedades como que el seno de múltiplos de π es cero y que el coseno es una función par (es decir, coseno(-x) = coseno(x)). Estas propiedades ayudan a simplificar las evaluaciones de las integrales y a obtener los coeficientes correctamente.

¿Por qué la serie de Fourier de una función impar solo contiene senos?

La serie de Fourier de una función impar solo contiene senos porque las funciones seno son también impares. Cuando se calcula la serie de Fourier de una función impar, los términos de coseno (que corresponden a componentes pares) desaparecen, dejando solo los términos de seno.

¿Qué ocurre si se calculan más términos en la serie de Fourier para la función f(x) = x?

Al calcular más términos en la serie de Fourier, la aproximación de la función f(x) = x se vuelve más precisa. Esto se puede ver gráficamente: con un número pequeño de términos, la aproximación es rudimentaria, pero a medida que aumentan los términos, la gráfica se acerca cada vez más al segmento de recta de la función f(x) = x.