Función Racional - Ejercicios Nivel 1 - Introducción

Summary

El video ofrece una explicación detallada de las funciones racionales, destacando que son funciones de la forma f(x) = p(x)/q(x), donde p y q son polinomios, y q(x) ≠ 0. Jorge de Mate Móvil, el presentador, desmiente la idea de que estas funciones sean complicadas y proporciona ejemplos claros para ilustrar sus conceptos. Aborda temas como los valores no definidos, las gráficas de funciones racionales y cómo estas varían en comparación con las de polinomios. Además, explica cómo identificar intersecciones con los ejes x e y, y cómo encontrar el dominio y rango de una función. Finalmente, utiliza una gráfica para demostrar el comportamiento de la función a medida que x se acerca a valores específicos. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan entender mejor las funciones racionales y sus aplicaciones.

Takeaways

• 📚 Una función racional es una que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio denominador no sea el polinomio nulo.
• 📈 Los ejemplos dados muestran que funciones racionales pueden ser de diferentes grados y aún así ser racionales, siempre que el denominador no sea cero.
• 🚫 Se aclara que los valores no definidos en una función racional ocurren cuando el denominador es cero, lo cual es una restricción que debe evitarse al graficar o calcular el dominio de la función.
• 📊 Al discutir las gráficas de funciones racionales, se señala que son muy diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.
• ∞ La función racional `y = 1/x` se acerca a la asintota y no tiene definido en x = 0, lo que se representa con una línea punteada en la gráfica.
• 🔍 El dominio de una función racional está compuesto por todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.
• 🤔 Se exploran problemas específicos de funciones racionales, incluyendo encontrar intersecciones con los ejes坐标轴, dominio y rango, y el comportamiento de la función cerca de puntos singulares.
• 📐 Se proporciona una guía para resolver problemas de funciones racionales, incluyendo el cálculo de intersecciones, dominio, rango y comportamiento asintótico.
• 📉 Al analizar el comportamiento de funciones racionales cerca de puntos donde el denominador es cero, se utiliza la tabla de valores para ver cómo cambia la función al acercarse a dichos puntos.
• 📈 Se destaca que, a medida que x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, pero desde el lado correcto, el valor de la función tiende a infinito positivo o negativo, dependiendo del lado desde el cual se acerca.
• 📘 Se recomienda la guía de ejercicios para practicar y profundizar en el entendimiento de las funciones racionales, y se motiva a los estudiantes a continuar con los niveles subsiguientes del curso.

Q & A

¿Qué es una función racional?

Una función racional es una función que tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el polinomio en el denominador no sea el polinomio nulo.

¿Por qué no se puede dividir por cero en una función racional?

No se puede dividir por cero en una función racional porque hacerlo resultaría en un valor no definido, lo que no es deseable ya que no se podría representar en una gráfica.

¿Cómo se calcula el dominio de una función racional?

El dominio de una función racional se calcula determinando todos los valores reales de x excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero, ya que estos valores resultarían en una división por cero.

¿Qué ocurre con la gráfica de una función racional cuando el denominador se acerca a cero?

Cuando el denominador de una función racional se acerca a cero, la gráfica de la función se acerca indefinidamente a la asintota correspondiente, es decir, la curva se acerca más y más a la línea en x = a, donde 'a' es el valor que hace cero el denominador.

¿Cómo se encuentra el punto de intersección de una función racional con el eje y?

Para encontrar el punto de intersección de una función racional con el eje y, se establece la condición de que x sea igual a cero y se resuelve la ecuación resultante para encontrar el valor de y.

¿Cómo se determina el rango de una función racional?

El rango de una función racional se determina despejando y (la variable dependiente) en términos de x (la variable independiente) y viendo los posibles valores que puede tomar y, teniendo en cuenta las restricciones impuestas por el dominio.

¿Qué son las asintotas y cómo se relacionan con las funciones racionales?

Las asintotas son líneas que la gráfica de una función racional se acerca indefinidamente, pero nunca toca. En las funciones racionales, las asintotas generalmente ocurren en los puntos donde el denominador es cero.

¿Por qué una función racional no puede tener un polinomio con exponentes fraccionarios en el numerador o denominador?

Una función racional debe tener un polinomio en el numerador y otro en el denominador, donde los polinomios son funciones formadas por sumas o productos de términos que contienen a x con exponentes enteros no negativos. Los exponentes fraccionarios no se consideran parte de los polinomios y, por lo tanto, no cumplen con la definición de una función racional.

¿Cómo se identifican las intersecciones de la gráfica de una función racional con los ejes x e y?

Las intersecciones con el eje x ocurren donde el valor de y es cero, mientras que las intersecciones con el eje y ocurren donde el valor de x es cero. Estas se calculan estableciendo las condiciones respectivas y resolviendo la ecuación.

¿Cómo se comporta el valor de una función racional cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero?

Cuando x se acerca a un valor que hace que el denominador sea cero, el valor de la función racional tiende a un infinito positivo o negativo, dependiendo del lado por el que se acerque a dicho valor.

¿Cómo se representa gráficamente una asintota vertical en una función racional?

Una asintota vertical en una función racional se representa gráficamente con una línea punteada que indica el valor de x que hace que el denominador sea cero, y que la curva de la función se acerca a esta línea pero nunca la toca.

Outlines

00:00

😀 Introducción a las funciones racionales

Se presenta el tema de las funciones racionales, explicando que son funciones que toman la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el denominador (polinomio q de x) no sea el polinomio nulo. Se mencionan restricciones y se ofrecen ejemplos sencillos para ilustrar la definición.

05:03

📈 Gráficas de funciones racionales y sus características

Se discute cómo las gráficas de funciones racionales difieren de las de funciones polinomiales, señalando que pueden ser más complejas debido a las posibles 'cintas' y 'puntos vacíos'. Se proporciona un ejemplo clásico de una función racional y se destaca la importancia de evitar valores no definidos al asegurar que el denominador es distinto de cero.

10:05

🚫 Evita valores no definidos en las funciones racionales

Se enfatiza la necesidad de evitar valores no definidos en las funciones racionales, estableciendo que el denominador debe ser distinto de cero. Se explora el dominio de una función racional, explicando cómo se calcula y cómo se representa gráficamente a través de líneas punteadas en puntos donde el denominador es cero.

15:06

🌐 Ejemplos y casos de funciones racionales

Se presentan varios ejemplos de funciones racionales, incluyendo aquellos que son en realidad polinomios y cómo se pueden manipular algebraicamente para cumplir con la definición de una función racional. También se discute cuando una función no es racional debido a la presencia de exponentes fraccionarios.

20:09

🔍 Hallazgo de intersecciones, dominio y rango de funciones

Se aborda cómo encontrar intersecciones con los ejes x e y, dominio y rango de una función racional dada. Se utiliza un ejemplo para ilustrar el proceso de resolución de ecuaciones y cómo determinar los puntos donde la función intersecta los ejes y cumple con las restricciones impuestas por el dominio.

25:12

📊 Comportamiento de las funciones racionales接近无穷

Se examina el comportamiento de las funciones racionales cuando el valor de x se acerca a ciertos límites. Se utiliza un ejemplo para demostrar cómo los valores de la función se acercan a infinito positivo o negativo dependiendo del lado desde el que se abordara el límite.

30:13

🏞 Análisis de gráficas y problemas de funciones racionales

Se realiza un análisis detallado de una gráfica de función racional, identificando intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y horizontales, y el dominio y rango de la función. Se proporcionan valores específicos para puntos sobre las asíntotas y se describe cómo la curva se comporta en relación con estas.

35:14

🎯 Resumen final y próximos pasos

Se resume lo aprendido sobre funciones racionales, incluyendo intersecciones, asíntotas, dominio y rango. Se anima a los espectadores a suscribirse al canal y a visitar el sitio web para obtener más información y ejercicios relacionados con funciones racionales y sus aplicaciones.

Keywords

💡Función racional

Una función racional es una expresión matemática que se compone de dos polinomios, donde el primero está dividido entre el segundo. En el vídeo, se define como 'una función que siempre tiene la forma de f(x) = p(x) / q(x)', donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x) ≠ 0, esencial para evitar valores no definidos.

💡Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica que consiste en una suma de términos, cada uno de los cuales es un producto de un número y una potencia de una variable. En el contexto del vídeo, los polinomios son los numeradores y denominadores en las funciones racionales, como en 'f(x) = p(x) / q(x)'.

💡Gráfica de una función racional

La gráfica de una función racional es el conjunto de puntos en el plano correspondientes a cada par de valores de entrada y salida de la función. En el vídeo, se discute cómo las gráficas de funciones racionales pueden ser diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.

💡Puntos vacíos

Un punto vacío en la gráfica de una función racional ocurre cuando el denominador de la función es cero, lo que hace que el resultado sea indefinido. En el vídeo, se menciona que 'las funciones racionales pueden aparecer valores no definidos cuando el denominador se hace cero'.

💡Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente, sin causar que la función sea indefinida. En el vídeo, se aclara que el dominio está compuesto por 'todo el conjunto de los números reales excepto aquellos valores que hacen que el denominador se haga 0'.

💡Rango de una función

El rango de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. En el vídeo, se indica cómo el rango puede ser determinado restando los valores no permitidos del conjunto de números reales.

💡Intersecciones con los ejes

Las intersecciones con los ejes son puntos específicos en la gráfica de una función donde la función cruza el eje x o el eje y. En el vídeo, se busca encontrar estas intersecciones para comprender mejor la gráfica de la función racional dada.

💡Cintas

Las cintas en la gráfica de una función racional son líneas punteadas que representan valores que la función no puede alcanzar debido a restricciones en el dominio, como cuando el denominador es cero. En el vídeo, se usan para 'representar con líneas punteadas' donde el denominador es cero.

💡Comportamiento a medida que se acerca a un valor

Este concepto describe cómo cambia la función a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico. En el vídeo, se examina el comportamiento de la función cuando 'x se aproxima a -2', notando si los valores de la función tienden al infinito positivo o negativo.

💡Asignación de variables

La asignación de variables es un proceso fundamental en las matemáticas donde se le otorgan valores específicos a una o más variables para analizar la función. En el vídeo, se utiliza esta técnica al establecer 'x = 0' o 'x = -2' para encontrar intersecciones o valores específicos de la función.

Highlights

Una función racional es una que siempre tiene la forma de un polinomio dividido por otro polinomio, siempre y cuando el denominador no sea el polinomio nulo.

El numerador y el denominador de una función racional son polinomios, y el denominador nunca es cero.

Algunos ejemplos de funciones racionales incluyen f(x) = x + 1 / x - 2 y r(x) = x^3 - 8 / x + 1.

Las gráficas de funciones racionales son muy diferentes a las de funciones polinomiales y pueden incluir cintas y puntos vacíos.

Los valores no definidos en una función racional ocurren cuando el denominador es cero.

El dominio de una función racional está compuesto por todos los valores reales de x excepto los que hacen que el denominador sea cero.

La función racional 1/x es un ejemplo clásico que muestra un valor no definido cuando x es cero.

El comportamiento de una función racional a medida que x se acerca a un valor específico puede ser de aproximación a infinito o a cero.

Las intersecciones de una función racional con los ejes x e y se pueden encontrar estableciendo la condición de igualdad a cero y reemplazando en la función.

El denominador de una función racional no puede ser cero, de lo contrario, la función no estaría definida en ese punto.

La gráfica de una función racional muestra un comportamiento específico cuando se acerca a cintas verticales, que representan valores no incluidos en el dominio.

El rango de una función racional son todos los valores que puede tomar la función, y generalmente se encuentra restricciónando el valor de y a una cinta horizontal.

La gráfica de la función 1/(x + 2) muestra un comportamiento donde el valor de y se acerca a cero cuando x se aleja hacia -∞ y a -∞ cuando x se acerca a -2 por la izquierda.

El dominio y el rango de una función racional son fundamentales para entender las restricciones y el comportamiento de la función.

Las cintas en la gráfica de una función racional indican puntos vacíos donde la función no está definida.

El análisis de las intersecciones y el comportamiento a medida que se acerca a puntos específicos proporciona una visión completa del comportamiento de la función racional.

La guía de ejercicios proporcionada en el material ofrece una práctica adicional para comprender las funciones racionales y sus gráficas.

Transcripts

ah

hola chicos yo soy jorge de mate móvil y

el día de hoy vamos a revisar el

capítulo de función racional de un tema

muy bonito que puede parecer complicado

pero no te preocupes hemos preparado

muchos vídeos para que nadie se quede

con ninguna duda lo primero que te voy a

contar es que una función racional es

una función que siempre siempre va a

tener la forma de equis o ye igual a px

entre equis pero que eso puede xxx

polinomio nada más así de sencillo si

aquí arriba en el numerador vamos a

tener a peu de x y quiénes pdx1

polinomio y aquí abajo en el denominador

vamos a tener acude x y quieres q de x

otro polinomio que no lo olvides la

función racional siempre tiene la forma

fx igual a un polinomio dividido entre

otro polinomio una pequeña restricción y

es que el polinomio q de x es diferente

del polinomio nulo es como se trata de

un polinomio decimos que q de x es

diferente del polinomio no lo que te

parece si vemos algunos ejemplos para

que veas que esto no es tan complicado

ya sé fx va a ser igual a aquí arriba

colocó un polinomio como x 1 y aquí

abajo otro polinomio como x menos sur

ahí está una función racional que te

parece si hacemos a otro ejemplo en

lugar de fx puede colocar 10 también se

vale y sigue siendo una función racional

que va a ser igual a x al cubo menos

ocho dividido entre x + 1

es una función racional si tenemos un

polígono de arriba en el numerador y

abajo otro polinomio ya está así de

sencillo otro ejemplo algunos profesores

y algunos libros a las funciones

racionales no les colocan fx sino que

les colocan rd x n de x así que vamos a

colocar por aquí r b x igual a que te

parece si colocamos ahora un polinomio

más grande de grado 2 como x cuadrado

más x más 1 dividido entre x menos 1

perfecto ahí tenemos otro ejemplo de

función racional ya hemos hablado acerca

de algunos ejemplos ahora vamos a usar

una pequeña introducción a las gráficas

de la función racional y es que si viene

una función racional se basa en dos

polinomios en la división o consciente

de dos polinomios la gráfica de una

función racional es muy diferente a la

gráfica de una función polinomio no

tienen nada que ver si son realistas

totalmente diferentes y pueden ser un

poquito complicadas por el tema de las

cintas y los puntos vacíos pero no te

preocupes tenemos también un vídeo sobre

gráficas u otro vídeo sobre asiento

estás así que nadie se va a quedar con

ninguna duda por aquí yo tengo una

gráfica de la función ye igual a uno

dividido entre x voy a colocar por aquí

este es el clásico ejemplo de función

racional en el que aparecen todos los

libros e iguala 1 entre xy aquí tenemos

graficar esta función

efe de equis o ye igual a 1 entre x

atención en la función racional pueden

aparecer valores no definidos cuando el

denominador se hace cero sí sí sí sí

mira qué te parece si coloco aquí uno

dividido entre el valor de x pero qué

pasa cuando x toma el valor de cero

cuando x toma el valor de 0 me va a

quedar 1 entre 0 y 1 entre 0 es un valor

no definido a mí no me gustan los

valores no definidos porque no lo puedo

representar en la gráfica yo lo que

quiero es un valor definido para poder

tabular para poder graficar lo los

valores no definir no nos gustan para

nada y tenemos que evitarlos como sea

vamos a colocar una pequeña regla y es

que tenemos que colocar aquí que el

denominador tiene que ser diferente de

cero porque un denominador igual a cero

como 130 me va a quedar un valor no

definido para ello vamos a especificar

siempre que el denominador tiene que

estar diferente de cero y de esa manera

se hace mucho más sencillo calcular el

dominio de una función si por ejemplo en

este caso si me piden calcular el

dominio tengo que colocar que el

denominador es diferente de cero el

denominador aquí es x y x tiene que ser

diferente de 0 x no puede tomar el valor

de 0 así que esto lo vamos a ver en

nuestra gráfica como una cintita siempre

o aparece un punto vacío o una asín

totta cuando colocamos denominador

diferente de cero y las así todas las

vamos a representar con líneas punteadas

como estamos viendo ahí en este caso

atención un dato muy importante para

reconocer la 5ta es que nuestra función

se va a acercar indefinidamente

la acin total la curva se acerca se

acerca se acerca se acerca y se acerca a

la asín total que está aquí en x igual a

0 en esta recta x igual a 0 muy bien y

si quiero calcular el dominio voy a

especificar lo simplemente voy a colocar

que el dominio es el siguiente en el

dominio es el siguiente vamos a

colocarlo es x que pertenece al conjunto

de los números reales

sin embargo x es diferente de 0

en una función racional el dominio va a

estar compuesto por todos los valores

reales de x excepto aquellos que hacen

que el denominador se haga 0 si no no

olvides el dominio está compuesto por

todo el conjunto de los números reales

excepto aquellos valores que hacen que

el denominador se haga 0

por eso colocamos aquí denominador tiene

que ser diferente de 0 y ahora sí vamos

con algunos ejemplos me pidieron en los

comentarios que deje algunos ejemplos

así que vamos a hacerlo porque este tema

a veces se enreda

primer ejemplo llegó a la 1 / x 1 aquí

arriba hay un número pero ese número es

un polinomio un polinomio de grado 0 así

que aquí arriba tenemos un polinomio de

grado cero y aquí abajo un polinomio de

grado 1 polinomio entre polinomio nos da

una función racional

okey segundo ejemplo uno entre x al

cuadrado más x más 1 ya sabemos de este

uno es un polinomio de grado cero y aquí

abajo tenemos un polinomio de grado 2

ahí están polinomio entre polinomio nos

da una función racional sin ningún

problema

otro ejemplo más rd x igual a x al

cuadrado más x más 1 dividido entre x

más 1 por x menos se trata de una

función racional aquí arriba tenemos un

polinomio de grado 2 y aquí abajo en el

denominado también tenemos un polinomio

solo que está expresado de forma

factorizar pero sigue siendo un

polinomio nada más ver para menos

productos notables y entonces polinomio

entre polinomio nos da una función

racional puede estar factor izado no hay

un problema vamos ahora con los

siguientes dos ejemplos mucho más

interesantes y x1 gayone a x va solo eso

es una función lineal también puede ser

una función polinomiales de grado 1 pero

se trata de una función racional vamos a

hacer un pequeño artilugio mira qué te

parece si la colocamos de esta manera la

voy a colocar como x + 1

dividido entre 1 x 1 dividido entre 1 se

trata entonces de una función racional

aquí arriba tenemos un polinomio de

grado 1 y aquí abajo un número que es un

polinomio de grano ser polinomio entre

polinomio muy parecido a lo que habíamos

visto es un ratito por y nombre entre

polinomio nos da una función racional no

hay ningún problema

otro ejemplo fx igual a x al cuadrado

más x basura se trata de una función

racional al igual que el ejercicio

anterior puedo colocar este x al

cuadrado más x + 1 de la siguiente

manera mira simplemente vamos a colocar

aquí una división y lo colocamos como

ahí está x al cuadrado más x + 1

dividido entre 1 aquí tenemos un

polinomio de grado 2 en el numerador y

aquí abajo en el denominador un

polinomio de grado 0 o un solo número sí

así que también es una función racional

polinomio entre polinomio de manera

general podemos decir que las funciones

polinomiales como estas dos son

funciones racionales porque se pueden

expresar de esta manera como una

división de polinomios dos ejemplos más

a ver e igual a 1 entre raíz de x + 1

mira qué te parece si lo colocamos de

esta manera aquí tenemos seguro que ya

sabemos que es un polinomio de grado 0

no hay ningún problema y aquí raíz de x

aquí el índice es el 2 que está ahí

escondidito y aquí el x está elevado a

la 1 por la ley del exponente

fraccionario yo no puedo colocar como x

elevado a la un medio más uno y este uno

pasa aquí dividido entre el irish es el

2x a la mediana zul se trata de una

función racional aquí arriba tenemos un

polinomio de grado 0 muy bien y aquí

abajo x a la un medio

[Música]

x al lado medio uno no es un polinomio

porque en el polinomio de los exponentes

sólo pueden ser enteros desde el 0 hacia

adelante 0 1 2 3 4 5 10 mil pero no

pueden ser una fracción solamente

enteros no negativos podemos tener aquí

valores 0 1 2 3 4 5 pero no una fracción

por lo tanto esto no es un polinomio

polinomio / no polinomio no me da una

función racional tiene que ser polinomio

entre polígonos por lo tanto esta no es

una función racional tiene que ser

poniéndome entre polinomio y x a los

medios más uno no es un polinomio porque

aquí en la variable solamente podemos

tener enteros no negativos desde el 0 en

adelante ok siguiente ejemplo fx igual x

a la 3 medios más x a la media más 1

dividido entre x azul aquí abajo a

imponer un polinomio de grado 1 sin

ninguna duda pero aquí arriba tenemos

nuevamente exponentes fraccionarios

y eso no es un polinomio un polinomio

sólo tiene enteros no negativo usted

deseo hacia adelante por lo tanto esta

tampoco es una función racional

ahora sí vamos con los problemas abajo

en la información del vídeo hay una

parte donde dice descarga la guía de

ejercicios ahí vas a encontrar una guía

con muchos problemas de funciones vamos

a ir a la parte de función racional

problema número uno

ayer intersecciones dominio y rango de

la función igual a uno dividido entre x

más 2 que igual a uno dividido entre x

más 2 un problema clásico si alguien no

se acuerda no hay ningún inconveniente

aquí tenemos una pequeña ayuda como

íbamos a hacer para encontrar las

intersecciones lo único que tengo que

hacer es si quiero encontrar esta

sección con el eje x igual a cero por

otro lado si quiere encontrar la

intersección con el eje y igual x hacer

así de sencillo vamos a partir por aquí

entonces voy a colocar por aquí la

intersección con el eje

te parece si como íbamos a hacer para

encontrarle traducción con el eje x lo

único que tengo que hacer es establecer

la condición de igual a cero vamos a

igualar a cero y esto lo vamos a colocar

por aquí ok

mi función es igual a 1 dividido entre x

más 2 así que ahora lo que vamos a hacer

es bien sencillo este y cuanto lo vamos

a igualar a ese hielo vamos a igualar a

cero esa va a ser mi condición para

poder encontrar la intersección con el

eje x cero es igual a uno dividido entre

x más 2 a partir de aquí tenemos que

calcular el valor de x así que vamos a

seguir por aquí y mira qué es lo que

vamos a hacer ese 0 que está en el

primer miembro no voy a multiplicar por

el denominador del segundo miembro este

x más 2 que está dividiendo pasa al

primer miembro como pasa multiplicando

así que me quedaría 0 x x + 2 igual a 1

esta flechita y ahora si 0 por x2

igual hay 10 por x + 2 cuanto es eso es

0 verdad y me queda 0 igual a 1

qué es esto estamos ante una

inconsistencia si tenemos que ser igual

a 1 y los valores de x se anulan

certifica que aquí no hay ninguna

solución aquí no hay nada que podamos

hacer así que por lo tanto no vamos a

tener intersección con el eje x mucha

atención que hemos obtenido luego de

reemplazar por cero y tratar de

encontrar los valores de x nos ha

quedado una inconsistencia 0 igual a 1

por lo tanto eso nos indica que no hay

intersección con el eje x vamos a ver si

es que hay transición con el eje y no lo

sabemos

ok vamos a calcular por aquí ahora la

intersección con el eje gay y cómo vamos

a calcular la intersección con el eje y

bien sencillito ahora lo que vamos a

hacer es igualar x a 0 y coloco por aquí

x igual a 0 coloco mi flechita y ahora

vamos a reemplazar en nuestra función

original mucha atención el yo lo dejo

igualito trabajamos con esta función de

aquí arriba la original

e igual a 11 lo colocó allí y ahora el x

lo reemplazó por 0 mucha atención en el

valor de y no lo cambio lo dejo tal cual

simplemente vamos a reemplazar el x por

0 1

dividido entre 0 +2 voy a colocar por

aquí lo que sigue vamos a tener entonces

lo siguiente que va a ser igual a cuánto

que va a ser igual a 1 dividido entre

cuanto 1 dividido entre 0 + 2 cuantos

eso sobre las 2 el 2 ya igual a un medio

así que ya tenemos el valor de que vamos

a colocar la intersección por aquí mira

un par ordenado siempre colocamos

primero el valor de x punto y coma el

valor de y cuánto vale x en la

intersección con él y el valor de x está

por aquí mi condición inicial x vale 0 y

cuánto vale el valor de y un medio un

medio positivo es si quieres le pongo

ahí el más ahí está no hay ningún

problema el estatut ya tenemos las

intersecciones no hay

con el eje x pero la intersección con el

eje y se encuentra en el punto cero

punto y coma un medio excelente ya

tenemos la primera parte así que le voy

a poner por aquí un check vamos ahora

con el dominio y rango

como vamos a encontrar el dominio y el

rango vamos a con encontrar primero el

dominio lo vamos a hacer por aquí y si

alguien no se acuerda el dominio eran

los posibles valores de x como íbamos a

hacer para encontrar el dominio

simplemente despejamos y vemos que

restricciones tenemos por lo general ya

está despejado como es este caso aquí

tenemos a nuestra función ye igual a 1

entre x + 2

vamos a despejar y ella está despejado

yo quiero encontrar los valores de x y

para ello tengo que centrarme en las

restricciones que restricciones tenemos

para x en este caso

tenemos alguna restricción para xy como

siempre ya sabemos que en una división

el denominador el denominador tiene que

ser diferente de cero así que lo voy a

colocar por aquí denominador tienes que

ser diferente de cero si no me vas a

meter en problemas porque si me queda 1

entre 0 no definido y yo quiero

solamente números reales no quiero

números no definidos así que el

denominador tiene que ser diferente de

cero por lo tanto el x + 2 tiene que ser

diferente de cero este diferente lo

trabajábamos como si fuera el signo

igual él no tiene nada de raro así que

ahora vamos a colocar que x es diferente

de 0 y este 2 que está con signo

positivo en el primer miembro pasa al

segundo resto

con signo negativo x va a ser entonces

diferente de menos 2 y allí tenemos la

restricción mucho para encontrar el

dominio despejamos que ya estaba

despejado y vemos las restricciones que

tenemos para x porque en el dominio

vamos a calcular los posibles valores de

x ahora que podemos decir entonces x

tiene una sola restricción y es que x

tiene que ser diferente siempre de menos

2 así que vamos a colocar por aquí ya

como respuesta el dominio de la función

dominio de la función va a ser el

siguiente mira vamos a decir entonces

que x pertenece al conjunto de los

números reales y puede tomar cualquier

valor de los reales

excepto excepto el menos 2 ok allí esta

x pertenece al conjunto de los números

reales pero no puede tomar el valor de

menos 2

ya tenemos el dominio de nuestra función

lo marcamos como respuesta y por aquí le

vamos a dar a check que nos falta a los

faltas solamente el rango el rango no

vamos a colocar por aquí de ok vamos a

ver el rango son los posibles valores

para nuestra variable y que como vamos a

encontrar el rango muy sencillo

despejamos xy vemos las restricciones

que tenemos así que vamos a partir como

siempre de nuestra función original e

igual a cuanto a ver si me ayudas uno

dividido entre x más 2

ahora tenemos que despejar x como lo

vamos a hacer bien sencillo mira este x

más 2 que está dividiendo lo pasó al

primer miembro como paso multiplica así

que colocamos lo siguiente llegue x x

más 2 va a ser igual a cuánto va a ser

igual a 1

x x más 2 ahora aplicamos la

distributiva primero y por equis y luego

elche por el más 210 por equis

y por x x porque más que por 2 lo

colocamos como 2 y esto va a ser igual a

1 lo que queremos es despejar x así que

qué te parece si los términos que tienen

x los dejo en el primer miembro y los

que no tienen x los pasó al segundo

miembro por aquí me va a quedar el que

por x este es el único término que tiene

x y en el segundo me queda 1 y éste más

2 ya lo pasó con signo negativo está

sumando lo paso restando ahora

despejamos x x va a ser igual a cuanto a

mira más e igual a uno menos dos pero

ahora tenemos que decir que se esté que

estaba allí multiplicando al x pasa al

segundo miembro realizando la operación

contraria es decir dividiendo y ahora me

pregunto tengo alguna restricción si

tengo una restricción y es que

nuevamente el denominador no puede ser

cero siempre que tenemos una fracción

nos vamos a centrar en el denominado ya

hemos despejado

y ahora solamente nos faltan ver las

restricciones entonces vamos a colocarlo

esto por aquí porque ya no nos queda

mucho espacio y como ya tenemos una

división tenemos que centrarnos en el

denominador y ver que este denominador

ver que ese denominador no sea igual a

cero así que ya sabemos cómo va esto

hacemos los mismos pasos en el

denominador tiene que ser diferente de

cero en este caso cuál es mi denominador

mismo denominador simplemente el yen y

que tiene que ser diferente de ser con

eso me alcanza para poder establecer el

rango de mi función y lo vamos a colocar

por aquí en el rango de la función va a

ser el siguiente vamos a decir que quien

pertenece al conjunto de los números

reales y que puede tomar cualquier valor

dentro del campo de los reales efecto

cual excepto el 0 muy bien le ponemos

aquí

- abrimos llaves y colocamos el cero

esa sería la respuesta a la última parte

ya tenemos intersecciones tenemos

dominio tenemos rango ahora si ahora

seguir con el siguiente problema vamos

ahora con el problema número 2 de

nuestra guía de ejercicios continuación

el problema anterior me piden determinar

el comportamiento de la función ya igual

a 1 entre x vasos la misma función

cuando x se aproxima a menos o justa

luego que ayer ahora el comportamiento

de mi función que es lo que pasa con la

función que es lo que pasa con fx que es

lo que pasa con ye cuando cuando x se

aproxima menos 2 vamos a ver qué es lo

que pasa con la función cuando x se

aproxima se aproxima a menos 2 vamos a

recordar que hace unos minutos hemos

hallado el dominio de la función que es

x que pertenece a los reales excepto del

menos 2 x toma cualquier valor dentro

del conjunto de los reales excepto en

menos 2 este excepto al menos 2 como lo

vamos a ver en nuestra gráfica por aquí

tenemos al eje x eje de las artistas eje

y eje de las ordenadas y x puede tomar

cualquier valor

dos más uno más 10.000 menos uno menos

tres también pero al menos dos no x no

puede tomar al menos dos y eso siempre

me va a representar una cito tras una

cinta está vertical así que mucha

atención con eso vamos a dibujar aquí

está sin tota vertical que significa que

x no puede tomar el valor de menos 2 así

que mucho cuidado con eso ahí está ya

nuestra cinta de color verde x no puede

tomar el valor de menos 2

eso significa que mi curva va a tener

dos porciones una porción aquí al lado

izquierdo del -2 y otra porción al lado

derecho del -2 la curva va a estar

partida gracias a esa así total que

tenemos ahí en el menos dos así que

cuando nos aproximamos al menos 2 lo

podemos hacer por la izquierda de al

menos 2 pero también podemos acercarnos

al menos 2 por la derecha del -2 y por

el lado izquierdo como por el lado

derecho

lo vamos a colocar por aquí vamos a

decir que nos vamos a aproximar entonces

al menos dos por el lado izquierdo del

lado izquierdo los representamos con

este menos aquí arriba en el exponente o

también que nos podemos acercar al menos

dos por el lado derecho y el lado

derecho lo representamos allí con el

signo más vamos a armar una pequeña

tablita de tabulación para ir viendo

cómo se comporta fx cuando nos vamos

acercando al menos dos vamos a colocar

por aquí valores de x y por aquí valores

de g

que ya sabemos que es lo mismo que f de

x

vamos a trabajar entonces con valores

que estén a la izquierda del -2 y nos

vamos acercando cada vez más al menos

siempre por la izquierda a la izquierda

de los ojos pueden usar valores que

estén entre el -2 y el menos 3 como el

menos 2,5 de los 2.3 menos 2.1 pero 2,1

está más cerquita así que vamos a

colocar primer valor el menos 2,1 y

vamos a hallar no el valor de ley cuando

x vale menos 2,2 y eso cómo lo hacemos

gracias a la función que la tenemos por

aquí y es igual a uno dividido entre x

más 2 x 4 vale x vale menos 21 vasos ahí

está por lo tanto a cuando va a ser

igual de fx va a ser igual a 1 dividido

entre menos 212 eso menos nos da menos

0,11 entre menos 0.1 me da cuanto más

entre menos menos uno entre 0.1 eso me

da 10 ya tenemos el primer valor vamos a

acercarnos ahora un poquito más al menos

o siempre por el lado izquierdo nos

vamos acercando acercando resaltando así

que un valor más cercano al menos 2 por

el lado izquierdo puede ser el menos

2,01 éste está más cerquita

cuánto vale fx oye que es igual a 1

dividido entre x que es menos 2,01 más 2

por lo tanto va a ser igual a 1 dividido

entre cuantos dividido entre menos 0

01 más / menos eso me da menos 1 entre

0.1 me va a dar si menos 100 un valor

más el último para ver cuál es el

comportamiento de la función cuando nos

acercamos al menos 2 por la izquierda un

balón que esté muy muy cerquita de menos

2 vuelva a ser un poquito más cerquita

menos 2,001 te parece cuánto vale y en

ese punto y es igual a 1 / / x menos

2,001 vasos esto va a ser igual a cuánto

va a ser igual a 1 dividido entre el

menos 0,001 más entre menos menos y

cuánto vale jay lleva a ser igual a

menos 1000 menos mil que es lo que

estamos viendo cuando x vale menos 21 y

vale menos 10 nos acercarnos un poquito

más al menos 2 con el valor menos 201 y

allí vale menos cielo si nos acercamos

un poquito más al menos 2 por el lado

izquierdo - 2001

vale menos 1000 y en la gráfica vamos a

ver el comportamiento muy clarito de

esta manera mira a medida que nos vamos

acercando al menos 2 por el lado

izquierdo los valores de ella van

cayendo cayendo cayendo se hacen cada

vez más negativos y ahí está ahí podemos

ver el comportamiento de mi función a

medida que me acerco al -2 qué es lo que

sucede con los valores de los valores de

llevan bajando bajando bajando bajando

yéndose hacia donde yéndose hacia abajo

hacia el extremo inferior hacia el

infinito negativo y ese va a ser el

comportamiento cuando nos acercamos al

-2 por el lado izquierdo en los valores

de la función van a irse hacia el

infinito negativo cuando nos acercamos

al menos 2 por la izquierda sí que va a

ser la primera parte de mi respuesta

mucha atención con eso y lo

representamos con la siguiente anotación

que no hemos usado antes en los vídeos

miran

fx vamos a decir que entiendes se

aproxima al infinito negativo cuando a

eso va a suceder cuando 2

fx oye se acerca al infinito negativo se

aproxima tiende al infinito negativo en

qué momento cuando x tiende se acerca se

aproxima al menos 2 por el lado

izquierdo ahí tenemos ya la primera

parte de mi respuesta ok

aquí lo vamos a colocar muy importante

la función f equis o ye tiende al

infinito organismo cuando x se aproxima

al menos 2 por la izquierda ese va a ser

la primera parte de mi respuesta ok la

primera parte del comportamiento vamos

ahora con la segunda parte del

comportamiento y es que habíamos dicho

que mi gráfica tiene dos porciones una

porción a la izquierda del -2 y una

porción a la derecha de los dos y que es

lo que pasa entonces cuando me acerco a

menos dos por el lado derecho

vamos a tomar valores que estén a la

derecha del -2 entre el -2 y el menos

uno a la derecha del -2 un valor ahora

muy fácil mira vamos con el menos 1,9 te

parece ya sabemos cómo va la población y

es igual a uno dividido entre x menos 19

más 2 esto a cuánto va a ser igual va a

ser igual a 1 dividido entre 0,11 entre

0.1 eso me da el valor de más 10 y es

positivo un valor que esté más cerca más

cerca del minuto siempre por el lado

derecho más cerca que el menos 1,9 ya se

mira que te parece el menos 1,99 es

estar más cerquita llega cuánto va a ser

igual ayúdame con la tabulación va a ser

igual a 1 dividido entre menos 1,99 más

2 esta parte lo hacemos ya más rápido ok

va a ser entonces igual a 12 dividido

entre 0,01 y eso es igual a más entre

más eso me da más y aquí 13 0,01 me da

más 100 muy bien

otro valor que esté más cerca más cerca

del menudo siempre por el lado derecho

más cerca que al menos 1991 que está muy

cerquita es el menos 1,999 ahí está y es

igual a 1 dividido entre menos 1999 más

2 y esto va a ser igual a lo siguiente 1

dividido entre 0,001 130.00 eso me va a

dar más 1 y 3 ceros 12 y 13 mil perfecto

entonces mira es lo que sucedió cuando x

tomaba el valor de menos 1,9 el valor de

gdf x serán más 10 si nos acercamos un

poquito más al menú dos por la derecha

al menos sólo coma 999 el valor de y se

hacía más grande ahora vale más 100 y si

nos acercamos mucho más al menos 2

siempre por el lado derecho a menos 1999

el valor del vídeo de fx es más 1000

mucho más grande entonces lo que estamos

viendo es que a medida que nos

aproximamos al menos dos por la derecha

los valores de iu van aumentando

creciendo creciendo y aumentando hasta

donde bueno hasta aquí en el infinito

positivo y esa va a ser la otra parte

del comportamiento de mi función a

medida que nos acercamos al menos dos

por el lado derecho los valores del df

de x se acerca al infinito positivo cuál

sería el comportamiento vamos a decir

que el comportamiento es el siguiente

fx oye tiende se aproxima se acerca al

infinito positivo cuando pasa eso va a

suceder cuando x lo voy a colocar por

aquí cuando x se aproxima al menos 2

pero ahora por el lado derecho y esta

sería la segunda parte de mi respuesta

ahí está

entonces nos preguntan cuál va a ser el

comportamiento lo ponemos en dos líneas

es mi función se aproxima a tiende al

infinito negativo cuando x se aproxima

al menos 2 por el lado izquierdo lo

vemos ahí en la gráfica en segunda parte

de mi respuesta

fx se aproxima tiende al infinito

negativo cuando x se acerca en menos 2

por la derecha que te parece si ahora

hacemos la comprobación del problema 1 y

el problema 2 para hacer la comprobación

del problema 1 y el problema 2 vamos a

recurrir a un gráfica dor a des moss en

el problema 1 me pedían hallar

intersecciones dominio y rango de la

función 1 / x bajos y podemos ver allí

claramente que no hay intersección con

el eje x la curva no se cruzó con el eje

x pero sí con el eje y en el punto cero

punto y coma un medio cero punto y coma

0,5 es lo mismo que un medio o 0,5

además en el dominio podemos ver que x

toma cualquier valor excepto al menos 2

y en el rango podemos ver que ya toma

cualquier valor excepto el 0 respecto al

comportamiento de mi función cuando x se

aproxima al menos 2 podemos ver que por

el lado izquierdo

efe de x tiende al infinito negativo y

por el lado derecho cuando nos acercamos

al menos 2 por el lado derecho fd x hoy

tiende al infinito positivo ahora sí

vamos con un último problema vamos ahora

con el problema número 5 de nuestra guía

de ejercicios en el último y nos vamos

no sin antes recordar que ya casi

terminamos el nivel 1 luego viene el

vídeo de así notas este está muy bueno

luego el nivel 2 con algunos problemas

de gráficas solamente gráficas y nivel 3

problemas de aplicaciones de la función

racional a casos prácticos a la vida

real ok problema número 5 a partir de la

gráfica que usan aquí le piden ayer las

intersecciones con los ejes las así en

todas el dominio y también el run mucha

atención me tienen intersecciones con

los 6 x

así en todas dominio y rango tenemos por

aquí a nuestra gráfica vamos a partir

tenemos por aquí al eje x eje de las

antillas eje y eje de las ordenadas muy

bien y tenemos a la curva de color azul

es dos porciones

aquí una línea verde punteada al lado

izquierdo tenemos una primera porción de

mi función y al lado derecho de esta

línea punteada una segunda porción hay

una línea punteada en vertical y un en

horizontal así que qué te parece vamos

primero con las intersecciones voy a

marcarlo por a ok muy bien vamos a

tenemos allí dos porciones de mi curva

así que vamos primero con la

intersección con el eje x le parece si

ahí está

vamos entonces primero con la

intersección con el eje x en la

intersección con el eje x no nos

olvidemos el valor de y es igual a cero

esto siempre nos sirve para comprobar

mira aquí tenemos a nuestro eje x y la

curva de color azul en qué punto corta

al eje x

vamos a analizar esta porción de aquí de

la derecha que es donde están cortando

al eje x mira la curva viene por aquí y

sube sube sube sube y aquí en este

puntito

y la curva corta el eje x cuál es la

coordenada de ese punto en x cuánto es

el valor en x el valor es 3 y en el

valor es cero y esto eso sería el punto

de intersección con el eje x lo voy a

colocar por aquí valor en x 3 y valores

primero el valor de x punto y coma el

valor de jett comprobamos entonces que

el valor de s

ya tenemos la intersección con el eje x

vamos con la segunda parte qué te parece

si ahora encontramos la intersección con

el eje y no siempre hay intersecciones

vamos a ver si es que éste es el caso

habrá o no habrá intersección bueno no

nos olvidemos que la intersección con el

eje y el valor de x es igual a cero

vamos a ir a nuestra curva y vamos a

trabajar ahora con la otra porción la

porción que está a la izquierda de esta

línea punteada de color verde y mira

dónde corta la curva al eje

la curva viene por aquí avanza avanza

avanza avanza hasta este punto

y allí corta intersecta hay que usar

pintarlo por aquí aquí en este puntito y

cuál es la coordenada de ese puntito y

ahí el valor de x cuánto es el valor de

x es 0 mientras que el valor de jake

cuánto es aquí lo tenemos estrés

positivo y vamos a colocar aquí el punto

la coordenada x es ser tiene estrés

mucha atención comprobamos que x igual a

0 perfecto ya tenemos las intersecciones

vamos ahora con las así no estás te

parece si vamos con las cosas y las voy

a colocar por aquí como un cheque verde

como representamos las cintas y como las

vamos a ver en nuestra gráfica siempre

las vamos a ver con una línea punteada

así las vamos a dibujar y así las vamos

a ver representadas ok

aquí están claramente definidas las asín

totales con estas líneas punteadas de

color verde vamos primero con la cinta

horizontal de precios y la 5ta

horizontal ok así en total horizontal

muy bien cuando hacer la 5ta horizontal

necesitamos definir su ecuación y aquí

tenemos a la 5ta horizontal de color

verde ahí está ahí está mi asiento

tradicional así que vamos a tomar

algunos puntos de su asiento está

horizontal para hallar su ecuación mira

qué te parece si decimos aquí a ver en

este punto está sobre el asiento está

horizontal ahí está cuál es la

coordenada en ese punto en x el valor es

0 y en el 2 a otro punto otro punto de

esta cita puede ser este punto ahí está

en x el valor es 2 y en el valor es 2

ahí está otro punto a ver lo voy a

ayudar ahora con mi regla que te parece

este punto de aquí mira este puntito de

aquí cuál es la coordenada de este punto

que está aquí en x igual a 7 allí el

valor de x es 7 y el valor de cuánto es

2

entonces todos estos puntos que están

sobre la cinta tienen una característica

en común y la característica en común es

que el valor de iu es siempre igual a 2

y por lo tanto por lo tanto en la

ecuación la ecuación de ésta sin total

es igual a 12 a lo largo de la cinta

todos los puntos tienen como valor de 2

que hay buenas dos esa va a ser la

ecuación de la cim total si tú ya tienes

más experiencia con esto simplemente

cuentas de igual a 12 y allí tenemos a

la curva

ahí está muy una función constante una

constante entonces la ecuación del

asiento está horizontal es igual a 2

perfecto qué te parece si vamos ahora

con la quinta vertical

muy bien vamos a colocar por ecd así en

total vertical cuál será esa ecuación

vamos a buscarla en nuestra curva

teniendo en cuenta que las a sin total

siempre las vamos a ver representadas

mediante una línea

entonces aquí tenemos a una línea

punteada de color azul a la cual la

curva nunca intersecta se acerca se

acerca pero de manera indefinida si muy

bien se acerca se acerca se acerca pero

no la llega a tocar así que qué te

parece si vamos colocando aquí algunos

valores que se encuentren sobre ese

asunto atrás mira a ver un valor a ver a

ver a ver qué te parece este puntito de

aquí este puntito de aquí cuál es su

coordenada en x toma el valor de 2 y en

que tome el valor de cero

ahí está ese puntito está sobre la cim

total otro valor

otro valor por aquí te parece si por

aquí mira en este puntito cuál es el par

ha ordenado en x toma el valor de 2 y en

menos 2 aquí lo tenemos uno el tiempo

puntito por aquí te parece a ver que

están más o menos a la altura del 6 cuál

es ese puntito en x vale 2

y el vale 6 como puedes ver todos estos

puntos tienen algo en común y es que en

todos ellos el valor de x cuánto es el

valor de x es 2 y esa va a ser la

ecuación de esa así total vertical va a

ser simplemente x igual a 2 a lo largo

de esta línea de esta recta todos los

puntos de x tienen el valor de 2 y esa

va a ser la ecuación si tú tienes más

experiencia simplemente cuentas 1 y 2 x

igual a 2 y lo vamos a colocar por

equidad y total vertical x igualados

porque ya tenemos las intersecciones ya

tenemos las así en total que nos falta

vamos ahora con el dominio y el rato

vamos a marcarlo por el dominio y ramón

nada del otro mundo nada que no hayamos

hecho antes entonces vamos a colocar

dominio de la función cuales todos los

posibles valores que toma x mira x viene

desde el infinito negativo se va

acercando avanzando pasa por el menos 4

menos dos por el cero corta y pasa por

el más uno y se queda antes de llegar al

más dos en el dos se va a saltar se va a

saltar el valor de x x nunca llega a

tocar el más dos por eso allí tenemos

una sin total saltamos y continuamos

luego del +2 hasta el infinito positivo

así que vamos a decir que x toma todos

los valores dentro del conjunto de los

reales excepto que número excepto el más

2 lo colocamos de esta manera x

pertenece al conjunto de dos reales y

toma todos los valores excepto el más 2

y listo ya tenemos el dominio x puede

tomar cualquier valor excepto este más 2

que lo vemos ahí como una cinta verde

muy bien vamos ahora con el rango y aquí

si no hay nada del otro mundo mira el

rango cómo va a ser cuál es el

comportamiento de iu que viene por aquí

desde el infinito negativo sube sube

pasa por el velo 2 por el 0 corta el eje

x pasa por el más 1 y aquí no llega al 2

aquí va a saltar y después del 2 va a

continuar por este lado izquierdo

continúa continuada sube sube sube sube

y se va hasta el infinito positivo por

lo tanto vamos a decir que el rango es

el siguiente ya que pertenece al

conjunto de los reales quién puede tomar

cualquier valor es el conjunto de los

reales

excepto también el más 2 y en esto ya

tenemos dominio rango dancing total

vertical horizontal intersecciones con

los ejes así que ya terminamos con este

problema ya está aquí vamos a llegar con

el nivel 1 pero se viene estos vídeos de

assín todas gráficas y aplicaciones que

son muy interesantes y no te puedes

perder así que no olvides suscribirte al

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voy a dejar en los enlaces de los otros

vídeos abajito a la información y te van

a aparecer por aquí a la izquierda como

vídeos recomendados así que no olvides

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