Curso de Integrales. Capítulo 1: ¿Qué es y para qué sirve la integral? Una propuesta didáctica.
Summary
TLDREl guión ofrece una introducción a la integral, una herramienta matemática fundamental para medir áreas, especialmente aquellas con límites curvos. Se explora la historia de cómo Arquímedes utilizó rectángulos para aproximar áreas bajo curvas y cómo, con el tiempo, Newton y Leibniz desarrollaron el cálculo integral y el teorema fundamental del cálculo, que conecta la integración y la derivación como operaciones inversas. El vídeo también explica cómo se calcula la integral de funciones potencias y la importancia de entender la aplicación práctica de las integrales en lugar de solo memorizar técnicas de cálculo. Finalmente, se destaca la utilidad de las máquinas y programas para realizar cálculos integrales complejos, subrayando que el verdadero valor radica en la comprensión del propósito de las integrales.
Takeaways
- 📏 La integral es una herramienta matemática utilizada para medir áreas bajo curvas en funciones matemáticas.
- 📐 La comprensión de la integral permite apreciar los conceptos de longitud, superficie y el uso de unidades de medida para comparar y medir.
- 📏 La historia de la integral está marcada por la contribución de grandes mentes como Arquímedes, Newton y Leibniz, quienes trabajaron en la aproximación y el cálculo de áreas.
- 🔍 Arquímedes usó rectángulos para aproximar áreas bajo curvas, aunque reconoció los límites de su método y el desafío de encontrar una fórmula exacta.
- 🧮 Newton y Leibniz, trabajando de forma independiente, desarrollaron el cálculo integral y el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la integración con la derivación.
- 📈 La integral de una función puede representarse gráficamente, lo que permite visualizar y calcular áreas bajo curvas de manera más intutiva.
- 🔢 La integral de funciones potencias (como x^n) se calcula sumando 1 al exponente y dividiendo por el nuevo exponente, proporcionando una fórmula general para tales integrales.
- 📉 El cálculo de áreas bajo curvas es esencial en muchas aplicaciones prácticas y teóricas en las matemáticas, la física y la ingeniería.
- 💡 La integración y la derivación son operaciones inversas, lo que significa que la integral de una función da como resultado la función original antes de su derivación.
- ⚙️ A pesar de la disponibilidad de programas y calculadoras para realizar integrales, es importante entender su propósito y cómo se aplican en contextos más amplios.
- 🎓 El conocimiento de integrales y su cálculo no solo es útil para resolver problemas académicos, sino también para fomentar el pensamiento crítico y la capacidad de resolución de problemas.
Q & A
¿Qué es la integral y qué propósito tiene en las matemáticas?
-La integral es una herramienta matemática que se utiliza para medir áreas bajo curvas en un plano. Su comprensión es crucial para calcular áreas de figuras con límites curvos, lo que es difícil de hacer de manera exacta con métodos tradicionales de medición.
¿Cómo se relaciona la integral con la derivada en el contexto del cálculo?
-La integral y la derivada son operaciones inversas en el cálculo. Mientras que la derivada nos da la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto, la integral nos permite calcular el área bajo la curva de la función. Esto se fundamenta en el Teorema Fundamental del Cálculo.
¿Quiénes fueron los dos matemáticos que desarrollaron el concepto de integral y cómo se llama su contribución conjunta?
-Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz fueron los dos matemáticos que desarrollaron el concepto de integral. Ambos trabajaron en el desarrollo del cálculo integral y su contribución conjunta se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.
¿Cómo se calcula el área bajo una función simple como f(x) = x utilizando la integral?
-Para calcular el área bajo la función f(x) = x, se utiliza la integral. La integral de x es x al cuadrado dividido entre 2 (x^2/2). Al sustituir el valor de x hasta el cual se quiere calcular el área, se obtiene el área bajo la curva de f(x) = x hasta ese punto.
¿Cómo se relaciona el concepto de unidad de medida con la medición de áreas en matemáticas?
-La unidad de medida es fundamental para la medición de áreas ya que permite comparar la superficie de un objeto con una medida estandarizada. En matemáticas, la unidad de medida para medir superficies es la unidad de área, que es un cuadrado de lado uno, y puede ser cualquier medida de longitud como el centímetro o el metro.
¿Por qué es importante la integral para la ciencia y la tecnología?
-La integral es crucial para la ciencia y la tecnología porque permite calcular áreas y volúmenes de formas con límites curvos, lo que es esencial en campos como la física, la ingeniería y la economía. Además, el cálculo de integrales es la base para el análisis de funciones y la comprensión de comportamientos cambiantes en el tiempo.
¿Cómo se relaciona el concepto de área con la integración en matemáticas?
-La integración es el proceso de encontrar una función cuya derivada es otra dada función, y su resultado es el área bajo la curva de esa función en un intervalo determinado. En otras palabras, la integral nos proporciona una fórmula para calcular áreas que no son rectangulares o rectangulares aproximadas.
¿Qué es el Teorema Fundamental del Cálculo y cómo se relaciona con la integral?
-El Teorema Fundamental del Cálculo establece una conexión entre la derivada y la integral, indicando que la integral de una función es la antiderivada de esa función. Esto proporciona un método para calcular áreas y volúmenes sin la necesidad de sumar infinitesimales, lo que es esencial para el análisis matemático.
¿Cómo se calcula la integral de una potencia x^n, siendo n un número real?
-Para calcular la integral de una potencia x^n, se utiliza la fórmula (x^(n+1))/(n+1), siempre que n ≠ -1. Esto significa que se suma 1 al exponente original y luego se divide por el nuevo exponente resultante.
¿Por qué es útil la integral para calcular áreas de figuras con límites curvos?
-La integral es útil para calcular áreas de figuras con límites curvos porque proporciona una manera de encontrar áreas exactas sin la necesidad de aproximaciones o división en formas geométricas más simples. Esto es particularmente útil en geometría analítica y en la resolución de problemas en física y ingeniería.
¿Cómo se puede demostrar que una función es la integral de otra función dada?
-Se puede demostrar que una función es la integral de otra función dada tomando la derivada de la función propuesta como integral y mostrando que es igual a la función original. Si la derivada coincide, entonces la función propuesta es en efecto la integral de la función original.
Outlines
😀 Concepto de Integral y su importancia
El primer párrafo introduce el concepto de integral como una herramienta matemática fundamental para medir áreas, tanto de figuras con límites rectos como curvos. Se menciona la importancia de la integral en la vida y cómo, históricamente, ha sido un desafío encontrar una fórmula para calcular áreas con límites curvos. La discusión se enfoca en la evolución del pensamiento matemático desde la aproximación de áreas con rectángulos hasta la invención de la integral como una fórmula 'mágica'.
🧐 Descubrimiento de la Integral por Newton y Leibniz
Este párrafo relata cómo Newton y Leibniz, independientemente y casi simultáneamente, descubrieron la forma de calcular áreas bajo curvas, lo que resultó en la creación de la integral. Se describe el proceso de análisis y el desarrollo de la fórmula que permitía calcular áreas de superficies con límites curvos sin la necesidad de aproximaciones previas. Además, se destaca la polémica sobre quién fue el primero en llegar a la fórmula y la gratitud hacia ambos matemáticos.
📐 Análisis de la Integral y su Relación con las Potencias
El tercer párrafo profundiza en el análisis de la integral y su relación con las potencias y los cuadrados perfectos. Se explora cómo, al observar las áreas bajo la función f(x) = x, se llega a una fórmula que relaciona el valor de x con el área correspondiente, lo que conduce a la creación de una función 'área'. Se destaca cómo la integral se relaciona con las potencias y cómo se puede generalizar para encontrar la integral de funciones más complejas.
🔄 Teorema Fundamental del Cálculo y sus Aplicaciones
Este párrafo aborda el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que integrar y derivar son operaciones inversas. Se describe cómo Newton y Leibniz llegaron a la comprensión de que la integral de una función es la función original de la cual se derivó. Se ilustra con ejemplos cómo encontrar la integral de funciones simples y se destaca la utilidad de la integral para calcular áreas.
📈 Integrales y sus Aplicaciones en la Geometría
El último párrafo se enfoca en las aplicaciones prácticas de las integrales en la geometría, especialmente para calcular áreas bajo curvas. Se discute cómo las integrales pueden ser utilizadas para encontrar áreas exactas sin la necesidad de aproximaciones. Además, se menciona la importancia de entender el propósito de las integrales más allá del cálculo, y se ofrece una visión general de las técnicas y reglas que se presentarán en capítulos posteriores para ayudar al lector a aprender a calcular integrales a mano.
Mindmap
Keywords
💡Integral
💡Unidad de medida
💡Área
💡Curvas
💡Arquímedes
💡Newton y Leibniz
💡Teorema Fundamental del Cálculo
💡Derivada
💡Función
💡Área bajo la curva
💡Cálculo de áreas
Highlights
La integral es una herramienta matemática utilizada para medir áreas, especialmente aquellas con límites curvos.
Arquímedes fue uno de los primeros en buscar una solución para medir áreas con límites curvos, aproximándolas con rectángulos.
Isaac Newton y Gottfried Leibniz, independientemente, desarrollaron el cálculo integral y diferencial, lo que revolucionó la forma en que se calculan áreas.
La integral de una función representa el área bajo la curva de esa función hasta un punto dado.
La fórmula mágica de Newton y Leibniz permite calcular áreas exactas sin la necesidad de sumar áreas de rectángulos.
El proceso de integración y derivación son operaciones inversas, lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo.
La función f(x) = x^n tiene una integral directa que se calcula elevando el exponente en uno y dividiendo por el nuevo exponente.
La integral de funciones potencias es una forma sencilla de calcular áreas bajo curvas utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
El cálculo de áreas con límites curvos se vuelve posible gracias a la introducción del concepto de integral.
La integral de fx = x es x^2/2, lo que permite calcular el área bajo una línea hasta un punto dado.
Las máquinas y programas modernos pueden calcular integrales complejas con un solo clic, pero es importante entender su propósito y no solo el proceso.
El cálculo de integrales a mano requiere de reglas y trucos que se pueden aprender y aplicar para integrar funciones más complejas.
El cálculo de áreas es solo uno de los muchos usos de las integrales en matemáticas y otras disciplinas.
La integral de x^2/2 es x^3/3, lo que demuestra cómo se calcula el área bajo una parábola hasta un punto específico.
El análisis de áreas y el desarrollo del cálculo integral fueron esfuerzos colectivos de muchos matemáticos a lo largo de la historia.
La integral es una herramienta fundamental para el avance de la tecnología y la ciencia, más allá de la mera curiosidad académica.
El entendimiento de las integrales y su aplicación en la vida real demuestran la belleza y el poder del pensamiento matemático.
Transcripts
voy a contar que es en la integral y
para qué sirve entender el concepto de
integral es uno de los placeres mágicos
que te ofrece la vida si la integral lo
que tanto miedo da la integral es una
herramienta matemática que sirve para
medir pero ojo que es medir medir es
comparar para medir la longitud de esta
figura tengo que comparar la longitud de
la figura con una unidad de medida si la
unidad de medida es ésta la figura es
dos veces la unidad la figura mide dos
unidades pero si la unidad de medida es
esta otra
la figura mide tres unidades y si la
unidad es el centímetro la figura mide
31 centímetros medir una longitud es
relativamente fácil pero como mide una
superficie la superficie es una cualidad
que tienen los cuerpos planos y para
medir una superficie también tengo que
tener una unidad de medida o una unidad
con la que comparar la superficie que
quiero medir la unidad de medida para
medir superficies es la unidad de área
la unidad de área es un cuadrado de lado
uno pero uno que da igual puede ser
centímetro kilómetro metro o cualquier
otra unidad de medida lo importante es
que sea un cuadrado este cuadrado de
lado uno es la unidad de área y para
saber el área total de una figura plana
tenemos que comparar la unidad de área
con la figura que queremos medir la
unidad cabe cuatro veces y la forma
matemática de decirlo es esta figura
mide cuatro unidades de área recordad
que la superficie es una cualidad y el
área es la medida unas veces se dice
calcula el área y otras veces se dice
calcula a la superficie da igual una
pregunta cuánto mide la superficie de
esta figura si la unidad de área
uno dos tres cuatro cinco y seis dos
filas de tres unidades tres de base por
dos de altura dos por tres seis unidades
de área y si la unidad es el centímetro
por aquí mide quince centímetros y por
aquí mide 10 centímetros la superficie
mide 15 centímetros por 10 centímetros
de área 10 por 15 son
150 y centímetro por centímetro es
centímetro al cuadrado 150 centímetros
cuadrados aquí caben 150 cuadrados de un
centímetro de lado las superficies que
hemos medido tienen límites rectos y sus
áreas son fáciles de calcular
pero qué pasa cuando la figura tiene
límites curvos ahora tengo esta figura y
esta unidad de área voy colocando
unidades de área en la figura
[Música]
pero quedan huecos que no podemos
rellenar con la unidad de área aquí hay
un problema y cada vez que hay un
problema a lo largo de la historia de
nuestra especie las mentes brillantes
empiezan a pensar hace 2000 años
arquímedes dio una solución bueno se
aproximó a la solución
[Música]
colocó rectángulos que llegaban hasta la
curva con el objetivo de cubrir toda la
superficie
calculaba el área de cada rectángulo
multiplicando la base por la altura y
después sumaba todas las áreas la suma
de las áreas de todos los rectángulos
era parecida al área de la superficie
que quería medir pero no idéntica
quedaban zonas pequeñas que no se podían
medir entonces se le ocurrió hacer
rectángulos más finos más estrechos
[Música]
ahora los huecos sin medir eran más
pequeños con lo que la superficie de los
rectángulos se parecía más a la
superficie de la figura entonces probó
con rectángulos más finos cada vez más
finos cada vez más estrechos
[Música]
y vio que la suma de las áreas de los
rectángulos era cada vez más parecida al
área de la figura que quería medir pero
por muy finos que hacía los rectángulos
siempre quedaban huecos sin medir
arquímedes se dio cuenta de que el
método de medir superficies mediante los
rectángulos no era muy exacto y se le
hizo bolas porque lo realmente
extraordinario sería encontrar una forma
de medir sin tener que hacer rectángulos
sin tener que sumar áreas una fórmula
mágica que permitiera calcular el área
exacta de una superficie aunque tuviera
los límites curvos esa fórmula se
convirtió en un reto en un desafío en un
problema que necesitaba solución en las
mentes brillantes dedicaban su tiempo su
esfuerzo su talento a encontrar una
forma de medir superficies con límites
curvos y la encontraron hace 400 años
dos personas dos mentes brillantes la
encontraron en newton y leibniz
cada uno por separado uno en inglaterra
y el otro en alemania
encontraron la forma de calcular el área
de cualquier superficie los dos llegaron
a la misma conclusión ya no tenían que
aproximar dibujando rectángulos pero ojo
los dos se basaron en los rectángulos
quién fue el primero newton y leibniz
quien descubrió la fórmula mágica no
está tan claro cada uno defendía que
había sido él lo que podemos hacer ahora
es dar las gracias a los dos porque el
invento cambió la historia de la
tecnología de la ciencia humanidad ahora
voy a ir dando los pasos que vieron
newton y leibniz
hasta llegar a esa idea feliz a esa
fórmula mágica que permitía calcular el
área de cualquier superficie dibujo la
figura en unos ejes de coordenadas
pegada al eje x y pegada al eje
así la tengo más controlada fíjate que
lo que buscaba era el área de esta
figura
aquí está la curva aquí está el eje x
aquí está el eje y aquí está el límite
de la figura esta es el área que
queremos y es aquí en este momento
cuando tuvieron la idea feliz o la feliz
idea se les ocurrió analizar el área que
va quedando bajo la curva a medida que
iba avanzando el eje x para x igual a 1
ver qué área queda para x igual a 2 ver
qué área queda y a partir de ahí ir
subiendo la equis y ver qué área iba
quedando por detrás de esta forma se
podía analizar si había alguna relación
entre la x que se tomaba y el área que
resultaba querían encontrar algo
esperable algo que les permitiera
encontrar el área exacta solo con elegir
una x determinada pero para calcular el
área que va quedando por detrás no
podemos partir de una figura con una
curva porque ese era precisamente el
problema así que vamos a cambiar la
figura curva por una recta para ir
probando como harían ellos luego si
encontramos una solución cambiamos la
figura por una más
una que tenga curvas así que empezamos
por una muy sencilla una cuya parte
superior sea recta una en la que se
pueda controlar gráficamente el área y
de esta forma ir monitorizando
comprobando que va pasando con el área
una como ésta
repito he cambiado la figura curva por
una más sencilla por una recta para ir
comprobando gráficamente el área que va
quedando concretamente esta parte la
parte que nos importa se corresponde con
una función muy conocida en matemáticas
la función fx igual a equis o
simplemente igual a equis
una función en la que en cada punto la x
es igual a la y es muy sencilla de
dibujar preparamos una tabla de valores
para x igual a 0 y vale 0 para x 1 y
vale uno para dos vale 2
[Música]
esta función está muy bien porque me
permite ir comprobando qué área va
quedando por debajo de la función a
medida que cambia la x con esta unidad
de área vamos a ir viendo gráficamente
qué resultados obtenemos a medida que
vamos aumentando la x
fíjate bien porque vamos a ir
comprobando el área que va quedando de
forma gráfica el área que queda bajo la
función y el eje de las x como si aquí
debajo se formara una superficie que va
a ir cambiando a medida que aumentamos
la x empezamos de izquierda a derecha
para x igual a 0 no hay área
para x igual a 1 el área que queda es la
mitad de una unidad de área
0.5
para x igual a 2
el área que va quedando es una una y
media 2
para x 3
1 2 3 4 y media
y para cuatro el área es 1 2 3 4 5 6 7 y
8
y para compararlas bien voy a ponerlas
con el mismo denominador 0.5 es un medio
2 es lo mismo que cuatro medios
4 con 5 es igual que 9 medios
si 9 entre 2 son 4 5 y 8 es igual que 16
entre 2
analicemos lo que ha salido debajo
siempre queda un 2 y en el numerador
queda 1 4 916 o suena algo conocido 1 4
916 exacto son los cuadrados perfectos
los cuadrados de 1 2 3 y 4 cuando la x
es 1 aquí queda el cuadrado de 1 que es
1 cuando aquí hay un 2 aquí queda el
cuadrado de 24 si aquí hay 3 aquí su
cuadrado 9 y si aquí hay 4 16 y para que
se vea todavía más claro ponemos los
cuadrados en forma de potencias uno es 1
al cuadrado 4 es igual que 2 al cuadrado
9 podemos ponerlo como 3 al cuadrado y
16 es lo mismo que 4 al cuadrado
analicemos de nuevo qué relación hay
entre la equis que vamos tomando y el
área que queda
vamos a relacionar en el numerador
siempre aparece el valor de la equis que
hemos tomado cuando aquí hay un 1 aquí
hay un 1 cuando hay un 2 aquí hay un 2
cuando hay un 3 aquí hay un 3 y si hay
un 4 aquí hay un 4
además siempre está elevada a 2 y en el
denominador siempre hay un 2 el área
tiene un patrón claro y como 1234 son
los valores de x puedo simplificar
sustituyendo los números por x
estoy generalizando estoy convirtiendo
lo que he obtenido en una función con
una variable la equis y es una variable
porque varía tenemos una nueva función y
si la nueva función ha salido de las
áreas puedo decir que esta es la función
área y que para calcular el área hasta
una equis concreta sólo tengo que
sustituir la x en la función área por
ejemplo hasta el valor 1
bastaría con sustituir la equis por 1 y
obtengo un medio que es el área que
queda hasta 1 y para 2 sustituyó por 2 y
me queda 2 al cuadrado 4 y 4 entre 2 son
2 que es el área que queda hasta 2 1 y 2
pero para para tengo que comprobar que
se cumple para cualquier valor voy a ver
si esta nueva función está función
mágica que inventaron estos señores se
cumple para un valor distinto voy a
meter el 5 y voy a ver qué queda a
continuación voy a dibujar el área hasta
5 y voy a ver cuánto queda en el dibujo
y voy a comprobar si coinciden sustituyó
x por 5 en la funcionaria para x igual a
5 que da 5 al cuadrado son 25 que
dividido entre dos son 12.5
ahora dibujo
voy a ver en el dibujo cuál es el área
que queda entre la función x y el eje x
pero hasta 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y medio que es lo que había salido con
la fórmula mágico verdad
no es magia es ciencia he partido de una
función la función f x x he ido
calculando el área que queda entre la
función y el eje x para los primeros
valores de x igual que hicieron ellos
con las áreas obtenidas he construido
otra función la nueva función es la
función área una función que permite dar
un valor cualquiera para la equis y nos
da el área que queda bajo la función de
la que partimos hasta ese valor de x
repito esta función me permite calcular
el área de esta otra entonces newton y
leibniz cada uno en su casa empezaron a
comparar las dos funciones tiempo tenían
no había tele no había internet y
después de mirar a las dos funciones
muchas veces para ver si había alguna
relación entre ellas se dan cuenta de
que una tiene grado uno y otra grado dos
eso se parecía mucho a una función y su
derivada cuando derivamos una función el
exponente baja a un grado recordad por
ejemplo que la derivada de x cuadrado es
2x
la función x cuadrado entre 2 a ver qué
puedo derivar la como un cociente o como
una potencia
como un cociente sería
derivada del numerador 2x por el
denominador sin derivar menos el
numerador sin derivar por la derivada
del denominador que es cero
2 por 2 son 4 y nos queda 4x y en el
denominador queda 4
este 4 que multiplica a todo el
numerador se anula con este 4 que divide
y me queda que la derivada de x cuadrado
entre 2 es x
también puedo derivar la como una
potencia porque x cuadrado entre 2 es lo
mismo que un medio de x cuadrado
multiplico el exponente 2 por el
coeficiente un medio y me queda uno y el
exponente el resto 1 y me vuelve a
quedar x
la derivada de la nueva función me da x
x es la función de la que parte quiere
decir que para calcular el área que
queda bajo una función solo tengo que
encontrar otra función cuya derivada sea
la función en la que quiero calcular el
área dicho de otra forma
tengo esta función si logro encontrar
otra que derivando la m de esta con ésta
puedo calcular el área de esta a
encontrar esta función cuya derivada es
esta se llama integrar
y a la nueva función se le llama
integral
esta es la integral de esta y esta es la
derivada de esta con la integral puedo
calcular el área de esta y fue aquí
justo aquí donde newton y leibniz
comprendieron que estaba la clave e
integrar y derivar son operaciones
inversas y a esto se le conoce como
teorema fundamental del cálculo dos
genios ahora no hay tiempo que perder
igual que ellos tenemos que poner a
prueba todo esto ver para qué sirve por
ejemplo tengo esta función f x igual a 1
o mejor para hacerla más clara y igual a
1 pintar esta función es muy sencillo no
puedo darle valores a la x porque le dé
el valor que le dé y siempre vale 1 si
la dibujo queda así
y siempre vale 1 ahora tengo que
encontrar una función que derivando la m
de 1 esa función es x porque la derivada
de x es 1 a calcular una integral se le
llama integrar y a calcular la derivada
derivar son operaciones inversas
y para distinguirlas voy a poner aquí
una rayita que significa que esta deriva
de esta y para qué sirve encontrar una
integral de esta función pues para
calcular el área entre esta función y el
eje x la integral es la fórmula mágica
teniéndola no hace falta dibujar sólo
tengo que sustituir x en la función
integral por el valor que quiera y tengo
el área justo hasta el número que haya
metido
si meto el 1 me da 1 que es el área que
queda por debajo de la función justo
hasta 1
y si meto el 2 en la integral me queda 2
que es el área que queda por debajo de
la función justo hasta 2 y ahora pruebo
con otra
la ya conocida y la equis
su integral también es conocida x
cuadrado partido por 2 pero ahora voy a
ver qué puedo hacer para no olvidar cómo
se hace esta integral la integral de x
la analizó y veo que es una función
potencial x una potencia una x elevada a
un exponente con un 1 adelante
anteriormente hemos deducido su integral
pero mirando las dos me doy cuenta de
que la integral tiene un grado más y su
derivada a un grado menos entonces si
quiero integrar una función potencial le
subo el grado pero también veo que en el
denominador queda el nuevo exponente en
este caso 2 así que para integrar una
función potencial cualquiera
x ^ n siendo n cualquier número
solo tengo que sumar 1 al exponente en
este caso n 1 y dividir por lo que nos
quede aquí n 1
y esta es la primera fórmula mágica es
la fórmula que sirve para integrar una
potencia
por ejemplo 4 x cubo
el 4 se queda igual es una constante
pongo la equis y sumó 1 al 3 3 1 son 4 y
en el denominador tengo que poner 4
este 4 se anula con este
y me queda x 4a
y si quiero comprobar que esta es la
integral de esta la deriva 4 por 1 son 4
y al exponente le restó 14 x cubo
integrar una función de este tipo con
esta fórmula es muy sencillo
a
vamos con la última una función cuya
gráfica sea una curva vamos a ver si
realmente el invento de newton y leibniz
funciona con curvas en la función y
igual a x cuadrado como encuentro una
integral de x cuadrado como es una
potencia aplicó la fórmula sumó 1 al
exponente dos más uno son tres y divido
por tres
y para comprobar que es una integral de
esta la deriva
la pongo de esta forma
multiplicó 3 por un tercio que es 1 y
resto 1 al exponente efectivamente nos
vuelve a salir x cuadrado
ahora con la nueva función la integral
puedo calcular el área que queda bajo
esta curva hasta el valor de x que
quieras vamos a dibujarla no hace falta
pero es que tengo verdadera pasión por
ver las matemáticas de forma gráfica
doy valores
y represento gráficamente la función
igual a equis cuadrado
[Música]
la unidad de área se ve claramente es
esta uno por uno me pica la curiosidad
de ver cuánto sale el área bajo esta
curva y el eje x pero hasta uno el área
hasta x igual a 1 debe ser menor que una
unidad de área incluso menor que media
unidad de área pero como se calcula de
forma exacta sin rectángulo sin
aproximaciones de forma exacta pues con
la fórmula mágica con la integral la
integral de x cuadrado es xq dividido
entre 3 y si hay meto el 1 me da 1 al
cubo que es 1 dividido entre 3 un tercio
de unidad de área pero no me digan que
no se merecen una estatua o una calle
o un cráter en la luna o en marte pero
los cráteres los pondría en hemisferios
opuestos para que no discutan así que
sabiendo esto lo demás es saber calcular
integrales pero no todas las funciones
son potencias hay funciones más
complejas funciones a las que le cuesta
más calcular le una integral como por
ejemplo estás
calcular la integral de estas funciones
no es tan directo pero tampoco tan
complicado hay programas que las hacen
con un solo clic las máquinas son más
efectivas haciendo integrales que
cualquier persona así que si tienes que
hacer una integral hacerla con una
calculadora con un programa con una
máquina lo importante no es saber hacer
integrales lo verdaderamente importante
es saber para qué sirven no tiene ningún
sentido saber calcular integrales si no
saben qué sirven por ejemplo para
calcular áreas pero si tienes interés o
te apasiona saber cómo se calculan
integrales a mano o si tienes un examen
en el que te piden que calcule es
integral es como una máquina existen
reglas trucos métodos que te facilitan
encontrar la integral de una función en
los siguientes capítulos voy a contar
cada truco cada regla cada método para
que de forma sencilla aprendas a
calcular integrales a mano para que
integrar sea un juego para que disfrutes
calculando integrales y calculando áreas
[Música]
ah
i
[Música]
ah
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