Los Universos Paralelos Ocultos Vienen de Hace Muchos Años...

Summary

El texto describe la evolución de la matemática a través de la historia, particularmente el trabajo de Euclides y su impacto en la comprensión del universo. Se discute la controversia sobre el quinto postulado de Euclides y cómo el descubrimiento de las geometrías no euclidianas, como la hiperbólica y esférica, cambió nuestra percepción del espacio y el tiempo. Finalmente, se conecta la teoría de la relatividad de Einstein con estas geometrías, mostrando cómo la geometría del universo puede ser determinada y lo que esto significa para nuestra comprensión del cosmos.

Takeaways

• 📚 El libro 'Elementos' de Euclides ha sido publicado en más ediciones que cualquier otro libro, excepto la Biblia, y fue el texto de referencia en matemáticas durante más de 2000 años.
• 🤔 A lo largo del tiempo, los matemáticos han tenido dudas sobre una sola frase en el libro de Euclides, la cual parecía un error pero resultó ser fundamental para comprender el universo.
• 🌟 El quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, ha sido el objeto de controversia y ha llevado a la exploración de universos matemáticos nuevos y extraños.
• 👦 János Bolyai, un estudiante de 17 años, y Carl Friedrich Gauss independientemente trabajaron en la resolución del misterio del quinto postulado y desarrollaron la geometría no euclidiana.
• 🔍 La geometría hiperbólica fue descubierta por Bolyai y Gauss, y muestra un universo donde, por un punto fuera de una línea recta, se pueden trazar más de una línea paralela.
• 🌐 La geometría esférica, en la que las líneas rectas son arcos de círculos en una esfera, es otra forma de geometría no euclidiana que Gauss ya había explorado, pero no publicó por temor a ser ridiculizado.
• 😔 Bolyai se sintió devastado al recibir una respuesta de Gauss que parecía minimizar sus contribuciones y esto llevó a que Bolyai no publicara más sobre su trabajo en geometría no euclidiana.
• 🌌 La teoría de la relatividad de Einstein, publicada en 1905, cambió nuestra comprensión del espacio y el tiempo, y generó una nueva perspectiva en la geometría del universo.
• 🔮 La geometría curva es fundamental para entender cómo las líneas rectas se comportan en el espacio-tiempo curvo, y ha sido confirmada por observaciones como la lente gravitacional de supernovas.
• 📈 La medición de la curvatura del universo a través de la observación del CMB (Fondo de Microondas Cósmico) ha llevado a la conclusión de que el universo es plano dentro del margen de error.
• 🤔 La densidad de masa-energía del universo es crítica para su forma geométrica; un poco más o menos podría haber resultado en un universo esférico o hiperbólico.

Q & A

¿Qué era la frase clave en uno de los libros de matemáticas más antiguos?

La frase clave era un postulado en los Elementos de Euclides, que posteriormente se convirtió en el eje central de la teoría de las geometrías no euclideas.

¿Por qué Euclides decidió redactar sus 13 libros llamados Elementos?

Euclides asumió el proyecto de resumir todas las matemáticas conocidas en ese entonces, con el objetivo de crear un solo libro que contuviera todo lo que se sabía sobre las matemáticas.

¿Qué problemas surgieron con el quinto postulado de Euclides?

Los matemáticos se dieron cuenta de que el quinto postulado parecía un error a lo largo del tiempo, lo que llevó a intentos de demostración y reformulación por parte de destacados matemáticos.

¿Qué es la geometría hiperbólica y cómo se relaciona con el quinto postulado de Euclides?

La geometría hiperbólica es una rama de las geometrías no euclideas que se desarrolla bajo la premisa de que se pueden trazar más de una línea paralela a una dada línea recta por un punto fuera de ella, lo que va en contra del quinto postulado de Euclides.

¿Quién descubrió la geometría no euclidiana y cómo cambió esto la matemáticas?

János Bolyai y Carl Friedrich Gauss independientemente descubrieron la geometría no euclidiana. Esto marcó el inicio de un nuevo enfoque en las matemáticas, expandiendo la comprensión del espacio y el concepto de geometría más allá del modelo euclidiano.

¿Qué es el modelo del disco de Poincaré y cómo representa la geometría hiperbólica?

El modelo del disco de Poincaré es una representación visual de la geometría hiperbólica en la que el plano hiperbólico se parece a un disco lleno de triángulos que se dilatan progresivamente alejándose del centro, mostrando cómo las líneas rectas en esta geometría parecen curvas.

¿Cómo se relaciona la geometría esférica con el quinto postulado de Euclides?

La geometría esférica se desarrolla en una esfera donde las líneas rectas son arcos de círculos máximos, lo que significa que no hay líneas paralelas en el sentido euclidiano, ya que todas las great circles se intersectan en dos puntos opuestos de la esfera.

¿Qué es la teoría de la relatividad y cómo se relaciona con las geometrías curvas?

La teoría de la relatividad, propuesta por Albert Einstein, establece que el espacio y el tiempo son relativos y que los objetos masivos curvan el espacio-tiempo. Esto se relaciona con las geometrías curvas ya que las trayectorias de los objetos en un espacio-tiempo curvo, como el universo, siguen path叫做geodésicas, que son las líneas rectas en la geometría curvada.

¿Cómo se puede determinar la forma del universo usando las geometrías curvas?

La forma del universo se puede determinar midiendo los ángulos de un triángulo formado por objetos distantes, como galaxias. En una geometría plana, los ángulos suman 180 grados, en una esfera suman más y en una geometría hiperbólica suman menos de 180 grados.

¿Cuál es la mejor estimación actual de la curvatura del universo?

La mejor estimación actual de la curvatura del universo es de punto C 007 má menos, lo que indica que el universo es predominantemente plano dentro del margen de error.

¿Por qué es significativo que el universo aparentemente tenga una densidad de masa-energía que resulta en un espacio plano?

Es significativo porque la densidad de masa-energía del universo está muy cerca de un valor crítico que determinaría su geometría. Si hubiera sido ligeramente diferente, el universo tendría una forma curva, lo que afectaría fundamentalmente nuestra comprensión del cosmos y su evolución.

Outlines

00:00

📚 El misterioso quinto postulado de Euclides

Este párrafo explora la importancia de una sola frase en uno de los libros de matemáticas más antiguos y su impacto en la comprensión del universo. Se menciona a Euclides y su obra 'Elementos', que ha sido referencia fundamental en la matemática durante más de 2000 años. La discusión se centra en el quinto postulado de Euclides, que ha sido objeto de dudas y debate por parte de matemáticos a lo largo de los siglos. La historia muestra cómo pequeños cambios en esta frase han abierto camino a nuevos y extraños universos, siendo clave para entender nuestro propio universo. Además, se describe el proceso de Euclides al crear su obra y su enfoque en la lógica y los postulados para construir la matemática.

05:01

🔍 La búsqueda de una contradicción en el quinto postulado

Este segmento detalla el intento de matemáticos a lo largo de 2000 años para encontrar una contradicción en el quinto postulado de Euclides. Se menciona a Hanos Bolay, un estudiante de 17 años que se aventuró a resolver el misterio. A pesar de los esfuerzos de varios matemáticos, incluyendo a Proclo y Tolomeo, ninguno pudo demostrar el postulado. Se describen las diferentes tácticas empleadas, como la prueba por contradicción, y cómo estas también fallaron. Finalmente, se introduce la idea de que el quinto postulado podría ser completamente independiente de los otros cuatro, lo que llevó a la creación de nuevas geometrías.

10:02

🌐 La geometría hiperbólica y su impacto en el entendimiento del universo

Este párrafo introduce la geometría hiperbólica como un campo donde más de una línea puede ser paralela a una línea dada a través de un punto fuera de la línea. Se describe cómo Bolay imaginó un mundo en el que esto era posible y cómo la geometría hiperbólica se diferencia de la euclidiana. Se menciona el trabajo de Gauss en geometría esférica y cómo este tipo de geometría es consistente y diferente a la euclidiana. Además, se discuten las implicaciones de estas nuevas geometrías para la comprensión del universo, y cómo el modelo del disco de Poincaré muestra cómo las líneas rectas en una superficie curva pueden no parecer rectas.

15:04

🏹 La vida y el legado de Janos Bolyai

Este segmento narra la vida de Janos Bolyai, quien, a pesar de sus logros en las matemáticas, también tuvo un talento notable en el violin y la esgrima. Sin embargo, su arrogancia y dificultad para aceptar la autoridad llevaron a un conflicto con sus superiores. A pesar de sus habilidades en el duelo, Bolyai se sintió devastado por la respuesta de Gauss a sus hallazgos, lo que lo llevó a no publicar más sobre su trabajo en geometría no euclidiana. Posteriormente, se enteró de que Nikolai Lobachevski había descubierto la geometría no euclidiana antes que él. Bolyai dejó una gran cantidad de manuscritos sin publicar, y aunque no estaba al tanto de que Gauss también había descubierto la geometría no euclidiana, su trabajo fue reconocido como genio después de su muerte.

20:06

🌌 Las geometrías no euclidianas y la teoría de la relatividad

Este párrafo explica cómo las geometrías no euclidianas han influido en la teoría de la relatividad de Einstein. Se mencionan las geometrías hiperbólica y esférica, y cómo su consistencia fue demostrada por Eugenio Beltrami. La teoría de la relatividad especial de Einstein se basa en dos postulados fundamentales y cambia la percepción de la gravedad de Newton. Se describe cómo Einstein reconcilió la relatividad y la gravedad, y cómo la geometría curvada del espacio-tiempo es fundamental para entender la teoría de la relatividad. Además, se mencionan eventos recientes como la observación de una supernova y la detecció de ondas gravitacionales que apoyan las predicciones de la teoría de la relatividad.

25:06

🛰️ La curvatura del universo y la geometría cósmica

Este párrafo discute la importancia de medir la curvatura del universo para comprender su forma y la geometría subyacente. Se menciona el trabajo de Gauss en la geometría esférica y cómo esto ha llevado a la creación de geometrías no euclidianas. Se describe el experimento de Gauss y cómo los triángulos formados entre montañas pueden ser utilizados para medir la curvatura del espacio. Además, se introduce el concepto del CMB (fondo cósmico de microondas) y cómo su análisis puede revelar la geometría del universo. Finalmente, se menciona que, según los datos de la misión Planck, el universo parece ser plano dentro del margen de error.

Keywords

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Highlights

La frase clave de un libro antiguo de matemáticas podría entender el universo.

Euclides publicó 'Elementos', un texto de referencia en matemáticas durante más de 2000 años, con excepción de la Biblia.

Durante siglos, matemáticos dudaron de una sola frase en los 'Elementos' que parecía un error.

Los mejores matemáticos finalmente comprendieron que Euclides no se había equivocado, sino que su frase era la clave.

Los pequeños cambios en la frase en cuestión abrieron el camino a nuevos y extraños universos.

Euclides asumió el desafío de resumir todas las matemáticas conocidas en su tiempo en un solo libro.

El quinto postulado de Euclides, sobre las paralelas, fue la fuente de incesante debate y investigación.

Los matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado de Euclides durante más de 2000 años, pero todos fallaron.

János Bolyai, un estudiante de 17 años, comenzó a trabajar incansablemente en el misterio de las paralelas.

Bolyai imaginó un universo en el que podían existir más de una línea paralela a una dada línea y punto fuera de ella.

La geometría hiperbólica fue descubierta por Bolyai, presentando un nuevo enfoque para entender el espacio.

Carl Friedrich Gauss, un matemático contemporáneo de Bolyai, también trabajó en geometrías alternativas a Euclides.

Gauss y Bolyai independientemente descubrieron la geometría no euclidiana, consistente y alternativa a la geometría tradicional.

La geometría esférica, en la que las líneas rectas son arcos de círculos, fue familiar para Gauss, quien trabajó en geodesia.

Gauss, debido a su trabajo en geodesia, tuvo que medir el reino de Hanover ayudando a crear un mapa.

La geometría hiperbólica fue finalmente reconocida por su consistencia y ser una extensión lógica de las matemáticas euclidinas.

La teoría de la relatividad de Einstein, publicada más tarde, se basa en conceptos de geometría no euclidiana, cambiando nuestra comprensión del espacio y el tiempo.

La geometría del universo puede ser determinada mediendo los ángulos de un triángulo, una tarea que Gauss comenzó hace 200 años.

El Fondo Cósmico de Microondas (CMB) proporciona una ventana al universo en su infancy, permitiendo el estudio de sus propiedades geométricas.

La curvatura del universo puede ser medida analizando el CMB, lo que indica si es plano, esférico o hiperbólico.

La relatividad general de Einstein ha sido exitosa en su predicción de fenómenos cósmicos, incluyendo la detecció de ondas gravitacionales.

La geometría plana, esférica y hiperbólica son conceptos fundamentales en la comprensión del universo que nos rodea.

Transcripts

una sola frase en uno de los libros de

matemáticas más antiguos tenía la clave

para comprender el universo elementos de

euclides se ha publicado en más

ediciones que ningún otro libro Con

excepción de la Biblia fue el texto de

referencia por más de 2000 años pero

durante ese tiempo los matemáticos

tenían dudas de una sola frase que

parecía un

error a la larga algunos de los mejores

matemáticos se dieron cuenta de que

después de todo euclides no se equivocó

Pero había más en la historia pequeños

cambios en esta frase abrieron universos

nuevos y extraños de la

nada sorprendentemente 80 años después

descubrimos que esos extraños universos

son clave para entender nuestro propio

[Música]

universo alrededor del 300 antes de

Cristo el matemático griego euclides

asumió un proyecto enorme resumir todas

las matemáticas conocidas en ese

entonces para básicamente crear un solo

libro que contuviera todo lo que se

sabía de las

Matemáticas pero no era una tarea fácil

antes de euclides había un pequeño

problema con las matemáticas se

demostraban las cosas pero lo hacían

dándole vueltas porque un triángulo

tiene 180 gr Porque si tomas dos líneas

par sí Pero puede haber paralelas Ah

puedes hacer un cuadrado Pero por qué

existe el cuadrado había esta

recursividad infinita de la razón

fundamental por la que algo es verdadero

es como en el diccionario cada palabra

se define en función de otras palabras

Cómo se llega a la verdad fundamental

euclides usó la solución que

introdujeron los griegos aceptemos que

unas cuantas de las cosas más simples y

básicas son

verdaderas Estos son nuestros postulados

con base en los postulados podemos

probar teoremas de uno en uno para

construir la matemática usando la lógica

mientras estas primeras afirmaciones

sean verdaderas todo lo que siga a

partir de ellas debe debe ser

definitivamente verdadero perfeccionó la

regla de oro de las pruebas matemáticas

rigurosas en la que se basa toda la

matemática moderna euclides usó este

método cuando publicó su serie de 13

libros llamada elementos en la que

demostró

465 teoremas cubriendo casi todas las

matemáticas conocidas por entonces

incluso geometría y teoría de números y

todos estos teoremas se basaban en

algunas definiciones unas cuantas

nociones comunes y

postulados vamos directo al libro uno y

este libro empieza en definiciones por

ahí hay que empezar las definiciones son

un punto es lo que no tiene partes una

línea es una longitud sin anchura y los

extremos de una línea Son puntos por

línea se refería a una curva y esta

tiene

extremos una línea recta es aquella que

yace igualmente respecto a sus puntos

etcétera etcétera hizo 23 definiciones y

luego están los cinco postulados

los primeros cuatro son sencillos uno si

tienes dos puntos puedes trazar una

línea recta entre ellos dos toda línea

recta se puede prolongar

indefinidamente tres dado un centro y un

radio se puede trazar un círculo y

cuatro todos los ángulos rectos son

iguales entre sí el postulado cinco se

pone más serio Qué es que si una línea

recta al incidir sobre dos líneas rectas

hace los ángulos interiores del mismo

lado menores que dos ángulos rectos

las dos líneas rectas prolongadas

indefinidamente se encontrarán en el

mismo lado de los ángulos menores a dos

ángulos

rectos de qué Rayos está hablando es un

postulado los demás son como de media

oración y son más que obvios y llega el

cinco de repente y es todo un párrafo

Qué está

haciendo esto hizo sospechar a los

matemáticos parecía que euclides se

había equivocado el filósofo griego

proclo pensó que el postulado C de debía

incluso ser eliminado de los postulados

porque es un teorema pero si es un

teorema deberíamos poder demostrarlo a

partir de los primeros cuatro postulados

y esto fue lo que muchos intentaron

algunos Incluyendo a tolomeo y proclo

creyeron que lo habían logrado pero no

era así de hecho todo lo que pudieron

hacer fue reformular el postulado cinco

con otras

palabras este es uno de esos enunciados

si tienes una recta y un punto que no

está en esa recta entonces hay un una

única recta que será paralela a la

primera recta Esta es la razón de que el

quinto postulado a veces se le llame el

postulado de las paralelas cuando falló

el método de la demostración directa

otros matemáticos como alhen y Omar

kayam intentaron un enfoque distinto la

prueba por contradicción La idea es

simple mantienes los primeros cuatro

postulados iguales pero asumes que el

quinto es falso entonces usas esos

nuevos postulados para demostrar

teoremas Y si llegas a una contradicción

por ejemplo verdadero es igual a falso

entonces significa que tu nuevo quinto

postulado debe estar equivocado y por

tanto la única opción restante es que la

versión de euclides del quinto postulado

es correcta y habrás demostrado El

quinto postulado y Qué pasaría si el

quinto postulado fuera falso Según

euclides por un punto que no está en una

recta puede pasar solo una recta que sea

paralela a la primera una alternativa es

que no se pudieran trazar rectas

paralelas que pasen por ese punto Ay

Quiénes lo entar y vieron que entonces

la longitud de las líneas tenía que ser

finita y eso no puede ser esa opción se

descartó contradecía el segundo

postulado que dice que las rectas se

pueden prolongar

indefinidamente la otra alternativa es

que se puede trazar más de una línea

paralela por un punto que no esté en la

primera recta Así que eso es lo que

hicieron asumieron que el quinto

postulado fallaba y pensaban esto tiene

que estar mal Dónde está la no podían

encontrar la contradicción entonces la

prueba por contradicción también falló

en total los matemáticos pararon más de

2000 años tratando de probar El quinto

postulado pero todos los que trataron

[Música]

fallaron y así cerca de 1820 hanos bolay

un estudiante de 17 años comenzó a pasar

sus días y noches trabajando en este

misterio su papá se preocupó y le

escribió a su hijo no Deberías intentar

este acercamiento a las paralelas

conozco ese camino hasta el final ya

atravesé esa noche sin fondo que

extinguió toda la luz y alegría de mi

vida te lo ruego deja la ciencia de las

paralelas por la paz aprende de mi

ejemplo pero el joven bolay no le hizo

caso a su padre no podía dejar la

ciencia de las paralelas por la paz

después de años de trabajo se dio cuenta

de que tal vez el quinto postulado no

podía probarse con los otros cuatro

podía ser totalmente

independiente de acuerdo con euclides

solo puede pasar una línea paralela por

un punto pero volay imaginó un mundo en

el que pudieran pasar más de una línea

paralela por ese punto Pero cómo bueno

Quién dijo que se necesitaba tener una

superficie plana en una superficie curva

como esta se pueden trazar más de una

línea que sea paralela a la recta

original pero esperen un momento esas

líneas no se ven

rectas Bueno lo que hace especial a las

líneas rectas es que son el camino más

corto entre dos puntos en esta

superficie esos caminos más cortos se

ven curvados porque las superficie es

curva aquí hay un ejemplo más familiar

los aviones intentan Volar por el camino

más corto entre dos ciudades básicamente

vuelan en línea recta pero esa línea no

se ve recta en un mapa porque la

superficie es curva estos caminos más

cortos en superficies curvas se llaman

geodésicas entonces todas estas líneas

son rectas pero no se ven rectas porque

el mundo que imaginó B era curvo ahora

conocemos esto como geometría

hiperbólica

cuando solía pensar en un plano

hiperbólico me lo imaginaba como una

enorme silla de montar pero en realidad

no es así el plano hiperbólico se parece

mucho más a esta pieza de crochet

empieza muy plano y uniforme en el

centro Pero conforme se mueve hacia

fuera se crea cada vez más y más tela Y

eso aleja a las líneas

paralelas y entre más afuera vayamos la

cantidad de tela va a crecer

exponencialmente y termina provocando

estos pliegues Así que si quieres pensar

en el plano hiperbólico creo que debes

pensar en sillas de montar en sillas de

montar en sillas de montar como un caos

de pliegues infinitos pero esa pequeña

pieza de crochet no es todo el plano

hiperbólico para mostrarlo tenemos que

hacer un mapa uno en donde quepa todo el

plano en un

disco para Mostrar cómo funciona vamos a

llenar todo el plano con estos

triángulos empezando en el centro como

en el crochet todo se ve muy normal Pero

conforme nos alejamos del centro tenemos

todo este espacio extra y podemos meter

más y más triángulos Parece que son más

chicos Pero en realidad son del mismo

tamaño ahora como el plano hiperbólico

es infinito se pueden agregar triángulos

por siempre y todos tienen que caber en

el disco a medida que nos acercamos a la

orilla los triángulos van a parecer cada

vez más

pequeños infinitamente más pequeños

interminables y nunca lograremos

alcanzar la orilla

esto se conoce como el modelo del disco

de poincare aquí las líneas rectas son

arcos de círculos que intersecan el

disco a 90 gr Y al igual que en la forma

original una línea recta en el centro se

ve recta mientras que las líneas rectas

cercanas a ella Parecen

curvarse lo extraordinario es que bji

aún no tenía un modelo de geometría

hiperbólica solo estaba trazando

triángulos euclidianos asumiendo que el

quinto postulado de euclides no se

sostenía Y aunque bji descubrió que el

comp atamiento en la geometría

hiperbólica es muy distinto al de la

euclidiana matemáticamente parecía igual

de

consistente en 1823 hanos con 20 años le

escribió a su papá descubrí cosas tan

maravillosas que me

fascinaron de la nada creé un nuevo y

extraño

universo pero Bay había estado haciendo

más que solo abordar antiguos misterios

matemáticos en sus 20 se unió al

ejército donde siguió desarrollando

otras dos de sus pasiones tocar el

violín y batirse en Duelo dominaba a

ambas pero Especialmente con la espada

no tenía rival quizá por sus muchos

talentos bolay se volvió arrogante y le

era difícil aceptar la autoridad de sus

superiores eso hacía que fuera difícil

llevarse bien con él esto llegó a un

punto álgido cuando durante uno de sus

despliegues 13 oficiales de caballería

de su guarnición lo retaron a un duelo

Bay aceptó el reto con la condición de

que después de cada dos duelos pudiera

tocar su violín un momento bji peleó con

cada uno sucesivamente y ganó los 13

duelos dejando a sus adversarios en la

[Música]

plaza Aunque a bolj le encantaban los

duelos su primer amor seguía siendo las

matemáticas en 1832 9 años después de

haber descubierto su extraño y nuevo

universo publicó sus hallazgos como un

apéndice de 24 páginas en el libro de

texto de su padre farcas bolji

extremadamente orgulloso y emocionado

por el trabajo de su hijo se lo envió a

quien Quizá es el mejor matemático de

todos los tiempos Carl thed gaus después

de estudiarlo detenidamente gaus

respondió meses después elogiarlo

equivaldría a elogiarme a mí mismo ya

que todo el contenido de la obra

coincide casi exactamente con mis

propias meditaciones que han ocupado mi

mente los últimos 30 o 35

años años antes gaus había recorrido un

un camino similar en 1824 Le escribió

una carta privada a uno de sus amigos en

la que describía haber descubierto una

geometría curiosa con teoremas

paradójicos y para los no iniciados

absurdos por ejemplo escribía gaus los

tres ángulos del triángulo pueden ser

tan pequeños como se desee si solo se

toman los lados lo suficientemente

grandes sin embargo el área del

triángulo nunca puede exceder un límite

definido En otras palabras se puede

tener un triángulo infinitamente largo

pero el área es

finita se puede ver por qué con el

modelo del disco de poincare un

triángulo pequeño se ve bastante normal

Pero conforme se hace más grande los

ángulos se vuelven cada vez más pequeños

finalmente todos esos ángulos llegan a

cero porque estas rectas intersecan el

disco a 90 gr estas rectas son

infinitamente largas pero debido a la

geometría el área es

finita en la misma carta privada gaus

escribía todos mis esfuerzos por

descubrir una contradicción o

inconsistencia en esta geometría no

euclidiana han sido

infructuosos al igual que bolji gaus

descubrió que esta geometría era

absolutamente consistente la nombró

geometría No euclidiana un nombre que se

quedó describe geometrías en las que se

cumplen los primeros cuatro postulados

pero no el quinto pero gaus decidió no

publicar sus hallazgos por temor a

quedar en ridículo esta aversión a un

tipo distinto de geometría Debería ser

al menos un poco sorprendente Porque

existe otra geometría con la que

deberíamos estar muy familiarizados la

geometría esférica ya que todos vivimos

en una esfera en una esfera las líneas

rectas son parte de círculos máximos que

son los círculos con la mayor

circunferencia posible en la tierra el

Ecuador y los meridianos son ejemplos de

círculos

máximos y podemos usar esto para ver

cómo se comportan las líneas rectas

estas líneas parecen ir en la misma

dirección Pero conforme se prolongan se

puede ver que se intersecan una vez y

otra vez al otro lado de la tierra y

esto siempre ocurre para dos círculos

máximos porque cada uno debe tener la

mayor circunferencia posible por eso en

una esfera no hay líneas

paralelas gaus llevaba mucho tiempo

fascinado por la geometría esférica

además era un geodesta y a menudo tomaba

medidas de la tierra en la década de

1820 le dieron la tarea de medir el

reino de Hanover para ayudar a hacer un

mapa como parte de su medición escaló

las montañas cercanas a gotinga con la

ayuda de gente situada en otros puntos

de referencia pudo medir cuidadosamente

los ángulos de varios triángulos que

luego serían usados para determinar la

posición de un lugar con respecto a otro

como referencia para la medición y para

ayudar a determinar la redondez de la

tierra midieron con precisión los

ángulos de un gran triángulo formado por

tres

montañas pero a pesar de sus ideas

románticas de tomar mediciones en la

cima de las montañas gaus No era el

correspondiente más amable cuando volay

Recibió la respuesta de su héroe se

sintió devastado porque creyó que gaus

estaba intentando socavar lo y robarle

sus ideas quedó tan resentido por la

respuesta de gaus que nunca volvió a

publicar en 1848 volay tuvo que soportar

otra pena cuando se enteró de que el

matemático ruso nikolai lobachevski

había descubierto por su cuenta la No

euclidiana mucho antes que Bay publicara

su apéndice de 24

páginas cuando Bay murió en 1860 dejó

20.000 páginas de manuscritos

matemáticos sin publicar él no supo que

gaus había descubierto la geometría no

euclidiana por su cuenta ni que después

de recibir el apéndice gaus Le escribió

a un amigo Considero que Este joven

geometra bolay es un genio de primer

nivel

[Música]

mientras Bay se amargaba la geometría no

euclidiana siguió desarrollándose hasta

1854 la geometría esférica no se

consideraba geometría no

euclidiana debido a que en una esfera

las líneas no se pueden prolongar

indefinidamente esto es con lo que se

toparon los matemáticos anteriores Y por

lo que descartaron esta geometría ya que

el segundo postulado de euclides no se

sostenía pero en 1854 ran modificó el

segundo postulado de una prolongación

infinita algo que es entre comillas

ilimitado y así el segundo postulado se

sostiene en una

esfera con este cambio la geometría

esférica se convirtió en otra geometría

nu euclidiana válida utilizando los

cuatro postulados generalizados y

tomando el quinto como que no hay líneas

paralelas ahora se puede derivar la

geometría esférica o

elíptica consideras que el quinto

postulado fue un error hubiera sido

mejor que no lo hubiera escrito nunca si

no lo hubiera escrito habría arriesgado

su geometría porque no hubiera podido

demostrar mucho de lo que él decía es

muy hermoso que lo haya escrito es

hermoso que la gente pasara 2000 años

tratando de refutarlo solo para

descubrir que de hecho tenía razón

cuando él escribió esto pero aunque

euclides se acertó al escribir El quinto

postulado cometió un error distinto Este

es el problema con lo que estaba

haciendo euclides definición uno un

punto es lo que no tiene partes Qué es

tener una parte Qué es una parte Qué es

no tener partes una línea es una

longitud sin anchura Qué es tener

anchura ya se Igualmente respecto a sus

puntos de qué Rayos está hablando lo

leímos hace dos minutos y todos dijimos

sí tiene sentido lo que dice no tiene

sentido no me des una definición que va

a tener una recursividad infinita si

defines algo en función de otras cosas

entonces Define esas cosas Si me dices

que es eso Entonces dime que es es lo

anterior a eso definir es una mala idea

no deberías tener definiciones sino

términos indefinidos no voy a decirte

que es un punto no voy a decirte que es

una recta no voy a decirte que es un

plano solo voy a decirte cuáles son los

postulados que se supone que satisfacen

Lo importante es la relación entre los

objetos no la definición de los objetos

en sí y cuando abres tu mente a esa

posibilidad de repente te das cuenta de

que hay un mundo geométrico

perfectamente válido en el cual línea

significa Círculo máximo y plano

significa esfera y punto es un punto en

una esfera Y entonces se satisfacen

cuatro de esos axiomas pero no el quinto

y de manera similar hay otro modelo

llamado modelo del disco para el espacio

hiperbólico en el cual el disco es el

plano y cuando digo líneas rectas me

refiero a arcos de círculos que son

ortogonales al disco y los puntos Son

puntos dentro del disco y el disco es el

plano se puede pensar en la geometría

como un juego los primeros cuatro

postulados son las reglas básicas

necesarias para jugar el juego y el

quinto postulado selecciona el mundo en

el que vas a jugar si eliges que no haya

líneas paralelas vas a jugar en

geometría esférica si eliges una línea

paralela vas a jugar en geometría plana

y si eliges más de una línea paralela

vas a jugar en geometría

hiperbólica pero ran decidió llevarlo un

paso más allá en lugar de elegir jugar

en un solo mundo por qué no combinarlos

todos en

uno durante su discurso inaugural en

1854 sentó las bases para una geometría

en la que la curvatura podría variar de

un lugar a otro una parte podría ser

plana otra un poco curva e incluso otra

parte con una curvatura

profunda a tres o más

dimensiones en 168 se produjo otro gran

avance cuando Eugenio beltrami demostró

inequívocamente que las geometrías

hiperbólica y esférica eran tan

consistentes como la geometría plana de

euclides es decir si hubiera alguna

inconsistencia en la geometría

hiperbólica o en la esférica tendría que

estar presente también en la geometría

plana las perspectivas de estas nuevas

geometrías eran magníficas y resulta que

esto era solo el

principio en 1905 Einstein propuso la

teoría de la relatividad especial que se

basa en Solo dos postulados uno las

leyes de la física son las mismas en

todos los sistemas de referencia

inercial y dos la velocidad de la luz en

el vacío es la misma para todos los

observadores inerciales En consecuencia

el espacio y el tiempo deben ser

relativos Pero eso generaba un problema

para la gravedad newtoniana porque según

Newton la fuerza de la gravedad es

inversamente proporcional al cuadrado de

la distancia entre los dos objetos pero

en la relatividad especial de Einstein

esa distancia ya no está bien definida

En qué sistema de referencia estamos

midiendo Einstein tenía que encontrar

una manera de conciliar la relatividad y

la gravedad dos años después en 1907

Einstein tuvo el pensamiento más feliz

de su vida se imaginó a un hombre

cayendo del tejado de una casa y lo que

alegró tanto a Einstein es que se dio

cuenta de que mientras el hombre

estuviera cayendo Se sentiría

absolutamente ingrávido Y si soltara un

objeto este permanecería en un

movimiento uniforme con relación a él

sería como estar en el espacio lejos de

cualquier masa flotando en una nave

espacial a una velocidad constante y ese

es un observador inercial y el gran

descubrimiento es que Einstein se dio

cuenta de que no son similares son

idénticos porque no hay experimento que

pueda hacerse para determinar si estás

en caída libre en un campo gravitatorio

uniforme o si estás en el espacio

profundo lejos de cualquier cuerpo

masivo por tanto el hombre en caída

libre también debe ser un observador

inercial es decir no está acelerando ni

experimentando ninguna fuerza de

gravedad pero si la gravedad no es una

fuerza cómo se explican cosas como que

la estación espacial orbite la tierra no

debería salir volando en línea recta los

astronautas de la estación espacial

también se sienten ingrávidos y Esa es

la clave es como si viajaran a velocidad

constante en línea

recta se siente así porque eso es

precisamente lo que están haciendo viaj

en línea recta Entonces cómo podría esa

línea recta parecer curva a un

observador distante La respuesta es

porque el espaciotiempo en el que se

encuentra esa línea recta es

curvo verán los cuerpos masivos curvan

el espacio-tiempo y los objetos que se

mueven por el espaciotiempo curvo

seguirán el camino más corto a través de

esa geometría curvada la geodésica y

mientras los astronautas de la estación

espacial sigue en una línea recta esta

parecerá curva a un observador distante

porque la tierra curva el espaciotiempo

o a su

alrededor el comportamiento de las

líneas rectas en geometrías curvas es

fundamental para comprender el universo

en que vivimos y en los más de 100 años

que van desde su publicación la teoría

general de la relatividad ha tenido un

éxito

notable en 2014 los astrónomos

observaron brevemente una supernova la

muerte violenta y sumamente brillante de

una estrella de hecho vieron exactamente

la misma supernova en cuatro lugares

diferentes Cómo Pues en entre la

supernova y la Tierra había una galaxia

masiva que curva el espacio-tiempo la

luz de la supernova que se propagaba en

todas direcciones seguía varios caminos

distintos para llegar a la Tierra y

cuatro de ellos llegaron aproximadamente

al mismo tiempo la galaxia sirvió como

una lente gravitatoria inmensa los

astrónomos se dieron cuenta de que otras

galaxias del cúmulo también podrían

captar la luz de esa supernova pero con

longitudes de trayectoria y potenciales

gravitatorios diferentes por lo que la

luz llegaría a la Tierra en momentos

distintos tras una cuidadosa

modelización predijeron que deberían ver

una repetición de esa supernova justo un

año después y el 11 de diciembre de 2015

tal como Se predijo volvieron a ver la

misma

supernova además de poder observar los

efectos de la curvatura del

espaciotiempo ahora incluso podemos

medir Las ondas del propio espacio

tiempo ondas gravitatorias formadas por

sucesos cósmicos muy muy lejanos como la

fusión de agujeros negros y según un

estudio reciente de nanog grab El tejido

espacio temporal parece estar repleto de

restos de grandes sucesos cósmicos en

los 100 años transcurridos desde la

publicación de la relatividad general

innumerables descubrimientos han

corroborado sus predicciones y en su

núcleo se encuentran las geometrías

curvas de bolji y riman pero hasta ahora

todos los efectos que hemos visto son

distorsiones locales del

espaciotiempo Cuál es la forma de todo

el el

universo usando las diferencias entre

las geometrías también podemos

averiguarlo en la geometría plana

Esperamos que todos los ángulos de un

triángulo sumen 180 gr sin falta Pero en

geometría esférica los ángulos no suman

180 gr sino más del mismo modo en

geometría hiperbólica los ángulos suman

menos de 180 gr para determinar la forma

del universo basta con medir los ángulos

de un

triángulo y medir un triángulo es

precisamente lo que hacía gaus hace 200

años de hecho esto llevó a algunos a

especular con que en realidad estaba

intentando medir la curvatura del

espacio mismo el ángulo que encontró 180

gr dentro del error de

observación Pero eso no Debería ser muy

sorprendente tomemos como ejemplo este

globo que se aproxima a una esfera Si

trazo en él un pequeño triángulo la

superficie en la que dibujo es

prácticamente plana y los ángulos dentro

del triángulo sumarán esencial m 180 gr

pero si hago el Triángulo lo

suficientemente grande entran en juego

los efectos de la curvatura Y entonces

los ángulos del triángulo sumarán más de

180 gr y Este era el problema del

experimento de gaus Incluso si intentaba

medir la curvatura del espacio en Sí de

lo cual no hay pruebas sólidas el

triángulo que midió habría sido

demasiado pequeño en relación con el

tamaño del

universo entonces para superar el

problema de escala que encontró gaus

tenemos que ampliar los triángulos

formados entre montañas hasta los

triángulos más grandes que podamos y

como mirar cada vez más lejos es lo

mismo que mirar al pasado tenemos que

retroceder en el tiempo lo más posible

hasta la primera luz que podemos ver el

fondo cósmico de microondas o cmb en

inglés una imagen de cuando el universo

tenía solo 380,000 años Aunque el cmb es

casi totalmente uniforme hay algunos

puntos ligeramente más calientes o más

fríos sabemos A qué distancia está el

cmb Así que si podemos calcular el

tamaño de uno de esos puntos podremos

trazar un triángulo cósmico se cree que

las primeras variaciones de densidad y

temperatura se originaron a partir de

fluctuaciones cuánticas en el universo

primitivo que luego estallaron al

expandirse el universo debido a esta

rápida expansión no todas las regiones

pudieron estar en contacto causal con la

información que tenemos de cómo ilusionó

el universo primitivo los astrónomos

pueden predecir Con qué frecuencia

deberían aparecer manchas de distintos

tamaños en el cmb eso es lo que muestra

este espectro de potencia básicamente es

un histograma de la frecuencia con la

que debería producirse cada punto si el

universo es plano ahora tenemos algo con

qu comparar nuestra medición si el

universo es plano el ángulo que midamos

en el cielo Debería ser el mismo que

esperamos pero si el universo es curvo

como una esfera los ángulos del

triángulo deberían sumar más de 180 gr

por lo que el ángulo que midamos sería

mayor que el previsto y este pico se

desplazaría a la izquierda De igual

forma si el universo tiene una geometría

hiperbólica las manchas serían más

pequeñas de lo previsto y este pico se

desplazaría a la derecha Entonces qué

medimos Esta es la información de la

misión plank que es prácticamente la que

esperaría si el universo fuera plano

esta misión también nos da la mejor

estimación actual de la curvatura del

universo que es de punto C 007 má menos

pun

0019 eso es básicamente cero dentro del

margen de error Así que estamos bastante

seguros de que el universo en que

vivimos es

plano pero vivir en un universo plano

Parece ser extraordinariamente fortuito

actualmente la densidad de masa energía

promedio se reduce al equivalente de

unos seis átomos de hidrógeno por metro

cúbico si en promedio hubiera habido un

átomo de hidrógeno más el universo

tendría una forma curva más esférica si

hubiera habido uno menos la curvatura

sería de geometría hiperbólica Y hasta

ahora no estamos seguros de Por qué el

universo tiene la densidad de más

energía que

tiene lo que sí sabemos Es que la

relatividad general es una de las

mejores teorías físicas de la realidad y

en su esencia están esas geometrías

paradójicas y Aparentemente absurdas que

encontramos Gracias a que los

matemáticos pasaron más de 2000 años

pensando en una sola frase del texto

matemático más famoso del

[Música]

mundo