Metodo de Newton-Raphson | Explicación y ejercicio resuelto
Summary
TLDREste video ofrece una explicación detallada y sencilla del método de Newton-Rapson para estimar soluciones de ecuaciones. A través de una geometría gráfica y un ejemplo práctico, se muestra cómo aproximarse progresivamente a la raíz de una función mediante iteraciones. El proceso se basa en tomar un valor inicial cercano a la raíz y mejorar la aproximación mediante la fórmula de Newton-Rapson, que involucra calcular la derivada de la función y su aplicación en iteraciones sucesivas. El video ilustra la eficacia del método y cómo puede ser útil para resolver problemas matemáticos complejos.
Takeaways
- 📚 El método de Newton-Rapson es utilizado para estimar la solución de una ecuación no lineal de la forma F(x) = 0.
- 🎯 El objetivo del método es encontrar raíces de ecuaciones a través de una sucesión de aproximaciones llamadas iteraciones que se acercan a la solución.
- 🔍 Se selecciona un valor inicial x₀ cercano a la raíz y se utiliza para calcular una serie de iteraciones sucesivas.
- 📈 La explicación geométrica del método muestra cómo trazar la recta tangente a la gráfica de la función en el punto cercano estimado y encontrar el punto de intersección con el eje x.
- 🔢 El proceso analítico implica utilizar la fórmula x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n) para calcular las iteraciones sucesivas.
- 📌 En el ejemplo dado, se busca una buena aproximación a una raíz de la función F(x) = x^3 - x - 1, tomando x = 1 como punto de partida.
- ✍️ La primera iteración resulta en x₁ ≈ 1.5, que es una aproximación inicial lejos de la raíz buscada.
- 🔄 Con cada iteración, la aproximación se hace más precisa, y se puede observar un acercamiento notable a la raíz en cuestión.
- 📊 A través de múltiples iteraciones, en este caso hasta la cuarta, se puede determinar la raíz con una precisión de un decimal, en este ejemplo, aproximadamente 1.3.
- 💡 El método de Newton-Rapson es efectivo para encontrar raíces de ecuaciones, aunque requiere de atención al detalle y precisión en los cálculos.
- 👍 El video proporciona una explicación detallada y un ejemplo práctico para que los espectadores aprendan a aplicar el método de manera efectiva.
Q & A
¿Qué es el método de Newton-Raphson?
-El método de Newton-Raphson es un procedimiento para estimar la solución de una ecuación no lineal de la forma F(x) = 0, buscando raíces de ecuaciones a través de una serie de aproximaciones sucesivas llamadas iteraciones.
¿Cuál es el objetivo principal del método de Newton-Raphson?
-El objetivo principal del método es encontrar las raíces de una ecuación, es decir, los valores de x que satisfacen la condición F(x) = 0, a través de una serie de aproximaciones iterativas que se acercan progresivamente a la solución.
¿Cómo se inicia el proceso con el método de Newton-Raphson?
-Se inicia eligiendo un valor inicial x0 que se cree que está cercano a la raíz de la ecuación. Este valor se utiliza como punto de partida para las iteraciones sucesivas.
¿Qué es una iteración en el contexto del método de Newton-Raphson?
-Una iteración es una aproximación que se obtiene a través del proceso iterativo del método de Newton-Raphson. Cada iteración se obtiene a partir de la anterior, usando la fórmula dada por el método y se utiliza para acercarse más a la solución exacta.
¿Cómo se representa gráficamente el proceso del método de Newton-Raphson?
-Gráficamente, se representa la función F(x) y se trazan las rectas tangentes en los puntos de corte con el eje x, a partir de un punto inicial cercano a la raíz. Estas rectas tangentes intersectan el eje x en puntos que representan las iteraciones sucesivas, y el proceso continúa hasta alcanzar una buena aproximación a la raíz.
¿Qué fórmula se utiliza para calcular las iteraciones en el método de Newton-Raphson?
-La fórmula utilizada para calcular las iteraciones es x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n), donde x_n es la aproximación actual, F(x_n) es la función en el punto x_n, y F'(x_n) es la derivada de la función en el punto x_n.
¿Qué es la derivada en el contexto del método de Newton-Raphson?
-La derivada es la función F'(x), que representa la pendiente de la tangente a la gráfica de la función F(x) en un punto dado. Es necesaria para calcular las iteraciones en el método de Newton-Raphson, ya que permite determinar la dirección en la que se aproxima la solución.
¿Cómo se determinan las iteraciones sucesivas en el método de Newton-Raphson?
-Las iteraciones sucesivas se determinan aplicando la fórmula x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n) repetidamente, sustituyendo el valor de la iteración anterior (x_n) y sus correspondientes valores de la función y su derivada para obtener la siguiente aproximación (x_n+1).
¿Qué sucede si la primera aproximación x0 es muy lejana de la raíz?
-Si la primera aproximación x0 está muy lejos de la raíz, el método de Newton-Raphson puede no convergir o puede convergir lentamente hacia la solución. En estos casos, es posible que se requiera una mejor estrategia para elegir un punto de partida o se deba considerar el uso de otros métodos numéricos.
¿Cómo se puede verificar la precisión de la aproximación a la raíz en el método de Newton-Raphson?
-La precisión de la aproximación a la raíz se puede verificar comparando los valores sucesivos de las iteraciones. Si los valores de dos iteraciones consecutivas son iguales o muy cercanos, se puede asumir que la aproximación es precisa dentro del margen de error deseado.
¿Qué es el problema que se resuelve en el ejemplo del script?
-El problema que se resuelve en el ejemplo del script es encontrar una buena aproximación a una raíz de la función F(x) = x^3 - x - 1, tomando como punto de partida x = 1 y utilizando el método de Newton-Raphson.
¿Cuál es la aproximación final a la raíz en el ejemplo del script?
-La aproximación final a la raíz en el ejemplo del script, después de varias iteraciones, es de aproximadamente 1.32, determinada cuando las iteraciones consecutivas comienzan a coincidir en los dos primeros decimales.
Outlines
📚 Introducción al Método de Newton-Rapson
En este primer párrafo, se presenta el Método de Newton-Rapson como una técnica para estimar la solución de una ecuación F(x)=0, es decir, para encontrar las raíces de una función. Se explica que el objetivo es producir una serie de aproximaciones, llamadas iteraciones, que se acercan a la solución. Se menciona que el proceso comienza seleccionando un valor inicial x0 cercano a la raíz y luego se utiliza la función y su derivada para calcular sucesivas aproximaciones. Además, se proporciona una explicación geométrica del método, utilizando una gráfica de función para ilustrar cómo se aproxima a la raíz.
🔢 Aplicación Práctica del Método de Newton-Rapson
Este párrafo muestra un ejemplo práctico de cómo se aplica el Método de Newton-Rapson. Se presenta un problema específico de encontrar una buena aproximación a una raíz de una función dada, utilizando el Método de Newton-Rapson con x=1 como punto de partida. Se describe el proceso de calcular la derivada de la función y luego utilizarla para iterar y aproximarse a la raíz. Se detalla cada paso de la iteración, mostrando las operaciones matemáticas necesarias para llegar a una aproximación cada vez más precisa de la raíz.
📈 Conclusión y Dificultades del Método de Newton-Rapson
En el último párrafo, se concluye el video con una discusión sobre las dificultades y el proceso general del Método de Newton-Rapson. Se resalta que, aunque el concepto básico del método es sencillo, la dificultad surge en la precisión y el manejo de los cálculos, especialmente cuando se trata de sustituir valores en la función y su derivada. Además, se pide a los espectadores que den su like y se unan al canal para estar al tanto de futuros contenidos, y se les anima a compartir el video con otros posibles受益人.
Mindmap
Keywords
💡Método de Newton-Rapson
💡Iteraciones
💡Derivada
💡Aproximación
💡Raíz de una función
💡Recta tangente
💡Geométrico
💡Función
💡Gráfica
💡Punto de partida
💡Valores sucesivos
Highlights
Explicación detallada y fácil del método de Newton-Rapson.
El objetivo del método es estimar la solución de una ecuación F(x)=0.
Las aproximaciones se llaman iteraciones y se obtienen sucesivamente.
Ejercicio práctico para aprender a usar el método de manera efectiva.
La función y su gráfica son útiles para entender el proceso geométrico.
El punto de partida x0 debe estar cercano a la raíz buscada.
El método de Newton-Rapson consiste en calcular sucesivas aproximaciones.
La raíz gráfica se identifica como el punto de intersección con el eje X.
El proceso analítico comienza con una primera aproximación a la solución.
La fórmula de Newton-Rapson se utiliza para obtener sucesivas iteraciones.
Ejemplo práctico: encontrar una buena aproximación a una raíz dada.
La función y su derivada son claves en el proceso de Newton-Rapson.
La primera iteración nos acerca al punto x1=1.5.
La segunda iteración nos da x2=1.34782.
La tercera iteración nos proporciona x3=1.34782.
A partir de la tercera iteración, las aproximaciones son muy cercanas a la raíz.
El método de Newton-Rapson es efectivo para encontrar raíces de ecuaciones.
La dificultad del método radica en las operaciones matemáticas precisas.
Transcripts
Hola amigos Bienvenidos a otro vídeo más
del Canal física y mates en este vídeo
vamos a explicar de una forma detallada
muy fácil el método de Newton rapson y
vamos a hacer un ejercicio para que
aprendáis a usar este método de una
forma rápida y eficaz primero vamos a
ver lo que sería la definición del
método para saber exactamente Para qué
se usa nos dicen que el objetivo de este
método el objetivo de este método para
estimar la solución de una ecuación F
dex = 0 es decir que el objetivo de este
método es encontrar raíces de ecuaciones
es producir una sucesión de
aproximaciones que se acerquen a la
solución cada una de esas aproximaciones
se llaman iteraciones esto lo Vais a ver
Ahora más adelante en el problema y lo
Vais a entender perfectamente dice que
escogemos el primer número x 0 de la
secuencia un número lo que sucede que
esté cercano a la raíz y luego en
circunstancias favorables el método hace
el resto moviéndose paso a paso hacia la
raíz es decir
en en Romano paladín este método lo que
consiste en lo siguiente tenemos una
función que por el motivo que sea es
complicado encontrar Cuál es el valor
exacto de la de la raíz entonces lo que
vamos a hacer es tomar un valor x u0 que
creemos que puede estar cerca de la raíz
eh Y a partir de ese de ese punto x o0
aplicamos el método que consigue
consiste en ir haciendo una serie de
aproximaciones sucesivas c una cada una
de ellas se llama iteraciones hasta que
llegamos al valor casi exacto de de la
raíz de acuerdo en eso consiste el
método de Newton rapson Bueno pues vamos
a ver ahora cómo se procede con este
método
antes de comenzar con el procedimiento
del método de Newton rapson y hacer el
problema me gustaría perder un minutito
en dar una explicación geométrica al
procedimiento Porque si entendéis bien
la explicación geométrica Vais a
entender muy bien este tipo de problemas
fijaros tenemos en color azul una
función I = FX = F dex pintada en color
azul a la que le queremos encontrar una
raíz por el procedimiento del método de
Newton gráficamente podemos observar que
la raíz es este cuadradito de color azul
Es decir es el corte de la función con
el eje X en qué consiste el
procedimiento del método pues tomamos un
punto x sub c0 que consideremos que está
cercano a la raíz Cómo consideramos que
está cercano a la raíz pues vemos la
Gráfica de la función a la que le
queremos calcular la raíz o bien lo
echamos a suertes no en ese punto x su0
trazamos la recta tangente a la gráfica
y vemos el punto de corte con el eje x y
obtenemos un punto x sub1 en este punto
x sub1 volvemos a repetir el mismo
procedimiento trazamos una recta
tangente a la Gráfica y calculamos el
punto de corte con el eje x y calculamos
y obtenemos así el punto x sub2 en este
punto x sub2 qué es lo que hacemos
trazamos la recta tangente a la función
y calculamos el punto de corte con el
eje x que es x sub 3 en esto consiste el
mé de Newton fijaros como a partir de X
sub 0 vamos obteniendo el punto x sub 1
el X sub 2 y el X sub 3 en solo tres
iteraciones fijaros qué cercano estamos
ya de la raíz que estamos buscando x1
sería una aproximación muy mala porque
está muy lejos del punto x sub2 ya sería
una aproximación No muy buena pero
tampoco muy mala porque está
relativamente cerca del punto pero
fijaros que el punto x sub 3 ya ser una
aproximación relativamente buena a la
raíz que estamos buscando gráficamente
Ese es el método de Newton ahora vamos a
ver analíticamente cómo se hace con
números el procedimiento es el siguiente
dice adivine una primera aproximación a
la solución de la ecuación es decir
cuando dice adivine dice que cojas el
punto x su0 con el que vas a empezar nos
dicen aquí una gráfica de la función te
puede ayudar use la primera aproximación
para obtener la segunda la segunda para
obtener la tercera y así sucesivamente
usando esta fórmula que tenemos aquí que
vamos a aprender a usarla ahora mismo
haciendo el problema Es decir con el
primer valor la primera aproximación que
lo tenemos que tomar nosotros según
nuestro criterio lo metemos en esta
fórmula y obtendremos el X sub 1 después
el X sub 1 lo metemos en esta fórmula y
obtendremos el X sub2 el X sub 2 lo
metemos en esta fórmula y obtenemos el X
sub 3 y así sucesivamente hasta que
lleguemos muy muy muy muy cerca de la
raíz buscada Bueno pues vamos a hacer un
problema para que veáis Cuál es el
procedimiento de cálculo el problema es
el siguiente nos dicen que encontremos
una buena aproximación a una raíz de la
siguiente
función usando el método de Newton
rapson tomamos como Punto de partida el
x = 1 Bueno he colocado aquí la la
fórmula que condensa el método de Newton
y es la función a la que le tenemos que
que calcular
eh una buena aproximación a su raíz en
la función x cu - x - 1 que yo he
igualado a 0 pues para que veamos que es
una ecuación a la que le tenemos que
encontrar las
raíces nos dan como Punto de partida el
x = 1 quiero que miréis eh la Gráfica
que tenemos aquí esta gráfica se
corresponde con la función a la que a la
que le queremos encontrar la raíz
fijaros que la que la raíz
se encuentra justamente entre el un Y el
dos la raíz es este punto de aquí vale
Esa es la
raíz entonces tiene tiene sentido que
tomemos como Punto de partida el x = 1
porque es un punto que está cercano a la
raíz tiene sentido que tomemos el x = 1
como Punto de partida de acuerdo
Entonces vamos a comenzar la primera
iteración con el uno y nos iremos
acercando hasta que lleguemos
con muy buena aproximación a la raíz
fijaros que está un poquito antes del de
la mitad del segmento que un el uno con
el dos por lo tanto va a ser menos de
1,5 verdad a Ojo va a ser menos que 1,5
bueno pues vamos a aplicar el método de
Newton rapson para que veáis cómo es
tenemos que nuestro Punto de partida es
x = 1 bueno primero voy a calcular la
derivada de esta función puesto que
fijaros que tengo aquí hacer uso de la
derivada y lo voy a
necesitar F prima de X la derivada de
esta función sería 3x cu - 1 de acuerdo
Bueno ya la tengo calculada Bueno pues
comenzamos con El Punto de partida pues
Tendremos que x sub 1 vale 1 de acuerdo
esa es nuestra primera iteración vamos
con la segunda iteración aplicamos la
fórmula x sub2 será igual a anterior que
es el X sub 1
men f x sub 1 parido por F prima de X
sub 1 esto es igual x sub 1 vale 1
menos F de 1 que no es más que sustituir
el 1 en la función F y ver cuánto te da
entre F prima de 1 que no es más que
sustituir el 1 en la función derivada y
ver cuánto te das Bueno pues
esto bueno esta primera la voy a hacer
así paso a paso esto sería 1
menos 1 al cubo - 1 - 1 es sustituir el
1 en la función y aquí es sustituir el 1
en la función derivada Me quedaría 3 * 1
cu - 1 Bueno pues si hacéis esta
operación os va a salir que esto vale
1.5 es decir la primera iteración nos da
que la raíz Sería bueno la segunda
iteración Perdón nos da que la raíz
estaría en el 1 y Med fijaros que en el
1 y Med no está está un poquito antes
pero bueno es una primera aproximación
vamos a seguir iterando tercera
iteración x sub 3 Pues sería la anterior
x sub2 menos una fracción f evaluado en
la iteración anterior F prima evaluada
en la iteración
anterior es decir esto es igual la
iteración anterior es 1 y5 1 y5
menos la función f evaluada en el 1 y
Med es decir sustituimos el 1 y Med aquí
y la función F F prima evaluada También
en en el 1 y medio es decir sustituimos
el 1 y medio aquí Bueno pues si hacemos
esto parece un TR y es un 5 eh si
sustituimos el 1 y Med aquí y el 1 y Med
aquí os digo ya el resultado esto sale
1.34
782 fijaros que ya no sería 1 y Med sino
sería
1.34 vale en adelante lo que vale
nuestra raíz vamos a hacer otra
iteración más porque todavía no nos
estamos acercando y ahora Vais a ver
porque sé que no nos estamos acercando x
sub 4 Pues sería x sub 3 men el F de X
sub 3 par por el F prima de X sub 3 es
decir x sub 3 sería
1.34
782
menos el F de
1.34 7 8 2 que no es más que sustituir
este número con ts decimales en la
función y obtener lo que te da y aquí el
F prima de
1.34 782 que no es más que sustituir en
la función F prima ese valor Bueno pues
esto da os lo digo que lo tengo aquí
calculado
1.
32
52 quiero que veáis una cosa fijaros ya
estamos muy muy muy cerca Por qué Porque
en la iteración tercera en la iteración
tercera obtuvimos
1. 34782 y en la iteración cuarta ya
estamos repitiendo el 1
con3 os dais cuenta aquí era 1.34 y pico
y aquí es 1.32 y pico es decir ya la
tercera iteración y la
cuarta coinciden en el 1.3 es decir que
nuestra raíz nuestra raíz si quisiéramos
tomarla con la precisión de un decimal
ya podríamos decir que es 1 con3 Vamos a
ver cuánto es la que qué obtendríamos en
la quinta iteración x sub 5 es = x sub 4
men F de X sub 4 partido por el F prima
de X sub
4 x sub 4 sería
1.325 2
menos la f en el 1 3 2 5 2 y la f prima
evaluada en el
1.32 52 creo que no me equivocado verdad
Bueno pues esto da
1.32 47 fijaros
ahora ya no solamente tiene en común con
el
anterior el el primer decimal sino
también el segundo lo veis entre la
tercera y la cuarta
iteración nos da como información que la
raíz va a ser 1 con3 como mínimo 1 con3
que son los dos dígitos que coinciden
pero si comparamos la cuarta con la
quinta ya ya no coinciden dos dígitos
sino tres es decir dos decimales
entonces podemos concluir ya en la
quinta iteración en la quinta itera
podemos concluir que con
una exactitud de dos decimales nuestra
raíz Es
aproximadamente
1.32 de acuerdo
1.32 en esto consiste el método de
Newton rapson como podéis ver la la
dificultad de este método consiste en
tener que sustituir estos valores en la
función porque bueno sustituir calcular
F de1 y F prima de 1 es relativamente
sencillo es poner el un un aquí
calcularlo y un uno aquí y calcularlo
pero cuando tengáis que calcular F de
1.34 782 es decir Elevar ese número al
cubo menos ese número menos 1 pues ya
eso es una cuenta más complicada No y lo
mismo aquí no
1,34 782 al cuad y lo que te dé por TR y
la restas uno tampoco mucho No pero
quiero que veáis cómo se cómo es el
procedimiento y que la dificultad está
en operar bien con los números de
acuerdo Bueno amigos Espero que hayáis
entendido perfectamente En qué consiste
el método de Newton rapson que el vídeo
os haya gustado si ha sido así por favor
Dale al botoncito de me gusta es una
forma de darme las gracias eh
suscribiros al Canal para así estar al
corriente de todos de todos los vídeos
que vamos subiendo y bueno compartir con
vuestros compañeros Este vídeo porque
seguro que le puede resultar muy útil y
os lo agradecen un abrazo amigos nos
vemos en el siguiente vídeo hasta
pronto
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