Kalkulus - 1 1 2 Aksioma

Try Azisah Nurman

6 Oct 202020:23

Summary

TLDRيشرح هذا النص مجموعة من المفاهيم الأساسية في نظام الأعداد الحقيقية، بما في ذلك العمليات الجبرية مثل الجمع والضرب، وتحديد الخصائص الهامة مثل الإغلاق، والتبادلية، والتجميعية، والتوزيعية. يتناول النص أيضًا الخصائص الخاصة بعناصر الهوية والعكس في كل من الجمع والضرب. بالإضافة إلى ذلك، يتم شرح نظرية الترتيب ومفهوم الحدود العليا والصغرى للمجموعات العددية. النص مليء بالأمثلة الواضحة لتوضيح هذه المفاهيم، مما يجعله مرجعًا تعليميًا قويًا لفهم خصائص الأعداد الحقيقية.

Takeaways

📊 النظام العددي الحقيقي يحتوي على ثلاث مسلمات: مسلمة الحقل، مسلمة الترتيب، ومسلمة الإكمال.
➕ عملية الجمع في الأعداد الحقيقية مغلقة، أي أن ناتج جمع عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.
✖️ خاصية الضرب في الأعداد الحقيقية مغلقة أيضًا، حيث ناتج ضرب عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.
🔄 خاصية التبادل (الكوميتراتيفية) تنص على أن ترتيب العمليات لا يغير النتيجة في الجمع أو الضرب.
🔗 خاصية التجميع (الأسوشياتيفية) تعني أن إعادة ترتيب الأقواس في العمليات الحسابية لا يؤثر على النتيجة.
📐 خاصية التوزيع (الدستربيوتيف) تمزج بين الجمع والضرب، بحيث يتم توزيع الضرب على مكونات عملية الجمع.
🔢 العنصر المحايد للجمع هو الصفر، والعنصر المحايد للضرب هو الواحد.
🌀 العنصر المعكوس للجمع هو العدد السالب، أما العنصر المعكوس للضرب فهو مقلوب العدد.
🔄 مسلمة الترتيب توضح العلاقة بين الأعداد من حيث الأكبر والأصغر، وتستخدم الرموز < و > لتمثيل هذه العلاقات.
📏 مسلمة الإكمال تنص على أن أي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية المحدودة يجب أن يكون لها حد أعلى أو أدنى محدد.

Q & A

ما هي الأنواع الثلاثة من البديهيات الموجودة في نظام الأعداد الحقيقية؟
-البديهيات الثلاثة هي: بديهيات الحقل، بديهيات الترتيب، وبديهيات الاكتمال.
ما المقصود بخاصية الانغلاق في العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية؟
-خاصية الانغلاق تعني أنه إذا قمنا بجمع أو ضرب أي عددين حقيقيين، فإن الناتج سيكون أيضًا عددًا حقيقيًا.
ما هي خاصية التبادلية في العمليات الحسابية؟
-خاصية التبادلية تعني أنه يمكن تبديل ترتيب الأعداد في عملية الجمع أو الضرب دون أن يتغير الناتج. مثال: a + b = b + a و a * b = b * a.
ما هي خاصية الترابط في العمليات الحسابية؟
-خاصية الترابط تعني أنه يمكننا تغيير ترتيب عمليات الجمع أو الضرب باستخدام الأقواس دون أن يتغير الناتج. مثال: (a + b) + c = a + (b + c).
ما المقصود بخاصية التوزيع؟
-خاصية التوزيع تعني توزيع عملية الضرب على الجمع. مثال: a * (b + c) = a * b + a * c.
ما هو العنصر المحايد في عملية الجمع؟
-العنصر المحايد في عملية الجمع هو العدد صفر، حيث أن إضافة صفر لأي عدد لا يغير قيمته. مثال: a + 0 = a.
ما هو العنصر المحايد في عملية الضرب؟
-العنصر المحايد في عملية الضرب هو العدد واحد، حيث أن ضرب أي عدد في واحد لا يغير قيمته. مثال: a * 1 = a.
ما هو العنصر المعاكس في عملية الجمع؟
-العنصر المعاكس في عملية الجمع لأي عدد هو العدد الذي إذا جمعناه معه يعطي صفرًا. مثال: العنصر المعاكس للعدد a هو -a، حيث a + (-a) = 0.
ما هو العنصر المعاكس في عملية الضرب؟
-العنصر المعاكس في عملية الضرب لأي عدد هو مقلوبه، أي 1/a، بحيث أن a * (1/a) = 1.
ما هي بديهية الترتيب في الأعداد الحقيقية؟
-بديهية الترتيب تنص على أن أي عددين حقيقيين يمكن مقارنة أحدهما بالآخر من حيث الأكبر أو الأصغر. مثال: إذا كان a أقل من b، فإن b - a عدد موجب.