118. Integración por partes, x por coseno (Algebraica por trigonométrica) (Ejemplo resuelto)

MateFacil

13 Jun 201603:08

Summary

TLDREn este video de Mate Fácil, se resuelve una integral de x * coseno de x usando el método de integración por partes. Se explica cómo elegir la función u y db siguiendo la regla LIATE, y se detalla el proceso paso a paso. El resultado final es x * seno de x + coseno de x + C. El video invita a los espectadores a intentar resolver la integral de x * e^x antes del próximo video y los anima a dejar preguntas o sugerencias en los comentarios. Además, se pide apoyo a través de 'likes' y compartir el contenido.

Takeaways

📘 El video enseña cómo calcular la integral de x * coseno(x) * dx utilizando el método de integración por partes.
🔑 Se utiliza la fórmula de integración por partes: ∫u dv = uv - ∫v du para resolver la integral.
📚 Se elige 'x' como la función 'u' y 'coseno(x)' como 'dv' siguiendo la regla de LIATE (Logaritmos, Inversas, Algebraicas, Trigonometricas, Exponenciales).
🧮 La derivada de 'u' (x) es 1, por lo que 'du' es dx.
📐 La integral de 'dv' (coseno(x)) es 'seno(x)', lo que se convierte en 'v'.
✅ Se aplica la fórmula de integración por partes y se obtiene x * seno(x) - ∫seno(x) dx.
🔄 Se calcula la integral de 'seno(x)', que es -coseno(x), y se sustituye en la fórmula.
📉 El resultado final de la integral es x * seno(x) + coseno(x) + C, donde C es la constante de integración.
🎥 Se invita a los espectadores a intentar resolver el próximo desafío de integrar x * e^x * dx antes de ver el siguiente video.
👍 Se anima a los espectadores a dar like, compartir y comentar sus dudas o sugerencias en el canal.

Q & A

¿Cuál es la fórmula utilizada para resolver la integral por partes?
-La fórmula utilizada es: la integral de u * dv es igual a u * v menos la integral de v * du.
¿Qué es lo primero que se debe hacer al aplicar la regla de integración por partes?
-Lo primero es elegir las funciones u y dv de la integral original. En este caso, hay que seleccionar cuál función será u y cuál dv.
¿Qué regla se utiliza para seleccionar la función u en la integración por partes?
-Se utiliza la regla LIATE, que indica el orden en que se deben elegir las funciones para u: Logarítmica, Inversa, Algebraica, Trigonométrica y Exponencial.
¿Qué función se selecciona como u en este caso y por qué?
-Se selecciona la función algebraica, que es x, porque según la regla LIATE, las funciones algebraicas tienen prioridad sobre las trigonométricas.
¿Qué función se selecciona como dv y por qué?
-La función dv es lo que sobra de la integral original, que en este caso es coseno de X * dx.
¿Cómo se obtiene du a partir de u?
-du se obtiene derivando u, es decir, la derivada de x es 1, por lo que du es 1 * dx.
¿Cómo se obtiene v a partir de dv?
-v se obtiene integrando dv. La integral de coseno de X es seno de X.
¿Cuál es el resultado intermedio antes de resolver la segunda integral?
-El resultado intermedio es: x * seno de X menos la integral de seno de X * dx.
¿Cuál es el resultado de la integral de seno de X?
-La integral de seno de X es -coseno de X.
¿Cuál es el resultado final de la integral?
-El resultado final es: x * seno de X + coseno de X + la constante de integración.

Outlines

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📚 Introducción a la Integral por Partes

Este primer párrafo presenta el método de la integral por partes para calcular la integral de x * coseno(x) dx. Se explica que se debe elegir una función 'u' entre las que aparecen en la integral y que se debe seguir la regla de LIATE para seleccionarla. La función algebraica 'x' es elegida como 'u' y 'cos(x)' como 'dv'. Se calculan 'du' y 'v', siendo 'du' igual a dx y 'v' la integral de 'cos(x)' que resulta en 'sen(x)'. Finalmente, se sustituye en la fórmula de la integral por partes y se resuelve obteniendo x * sen(x) - integral de sen(x) dx, que se simplifica a x * sen(x) + cos(x) más la constante de integración.

Mindmap

Keywords

💡Integral

Una integral es una operación matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva en el plano cartesiano. En el vídeo, la integral es el tema central, ya que se busca calcular la integral de la función 'x * coseno de X'. El guion utiliza la integral para enseñar cómo encontrar la antiderivada de una función, que es una aplicación común de los conceptos de cálculo integral.

💡Método de las partes

El método de las partes es una técnica para calcular integrales definidas, que consiste en reescribir la función original como el producto de dos funciones y luego aplicar una fórmula específica. En el vídeo, se utiliza este método para resolver la integral dada, eligiendo 'x' como la función 'u' y 'coseno de X' como 'dv', lo que muestra cómo se aplica este método en un ejemplo práctico.

💡Regla de LIATE

La regla de LIATE es una guía para seleccionar qué función se convertirá en 'u' cuando se usa el método de las partes. Las siglas LIATE representan Logaritmos, Inversas, Algebraicas, Trigonometricas y Exponenciales. En el guion, se menciona esta regla para justificar por qué se elige 'x' como 'u', ya que es la primera función algebraica en la lista LIATE.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que determina la tasa de cambio de una función. En el vídeo, se calcula 'du' derivando 'x', lo cual es un paso fundamental en el método de las partes. El resultado de la derivación de 'x' es 1, lo que se utiliza para simplificar la integral.

💡Antiderivada

Una antiderivada es una función cuyo derivado es la función original. En el contexto del vídeo, se busca encontrar la antiderivada de 'x * coseno de X'. El proceso de integración es, en esencia, el proceso de encontrar la antiderivada de una función dada.

💡Función algebraica

Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden expresar mediante suma, resta, multiplicación, división, elevación a una potencia y raíz de variables. En el vídeo, 'x' se identifica como una función algebraica y se elige como 'u' en el método de las partes, ya que es la primera función en la lista LIATE.

💡Función trigonométrica

Las funciones trigonométricas son funciones que relacionan ángulos con las longitudes de los lados de triángulos rectos. En el vídeo, 'coseno de X' es una función trigonométrica y se elige como 'dv' en el método de las partes, lo que muestra cómo se integran estas funciones.

💡Seno

El seno es una función trigonométrica que representa la relación entre la longitud del lado opuesto a un ángulo y la hipotenusa en un triángulo recto. En el vídeo, se calcula la integral del 'coseno de X', que resulta en 'seno de X', y se utiliza en la fórmula del método de las partes.

💡Coseno

El coseno es otra función trigonométrica, similar al seno, pero relaciona la longitud del lado adjacente al ángulo con la hipotenusa. En el vídeo, se menciona el 'coseno de X' como parte de la función original que se está integrando y aparece en la solución final.

💡Constante de integración

La constante de integración se añade a la antiderivada cuando se calcula una integral indefinida. En el vídeo, se menciona que el resultado final de la integral incluye una constante de integración, lo que es un aspecto importante de la teoría de las integrales.

Highlights

Introducción al cálculo de la integral de x * coseno(x) * dx

Uso de la fórmula de integración por partes

Elección de u y dv para la fórmula de integración por partes

Regla de LIATE para seleccionar u en la integración por partes

U se selecciona como la función algebraica x

db se selecciona como el coseno(x) dx

Cálculo de du derivando u = x

Integración de dv para encontrar v

v se obtiene integrando el coseno(x), dando seno(x)

Aplicación de la fórmula de integración por partes

Resultado intermedio: integral es igual a x * seno(x) - integral de seno(x) dx

Cálculo de la integral de seno(x), dando -coso(x)

Resultado final de la integral incluyendo la constante de integración

Anuncio del siguiente video sobre la integral de x * e^x * dx

Invitación a los espectadores a intentar el cálculo antes del próximo video

Solicitud de likes, comparticiones y comentarios para mejorar el canal

Oportunidades para que los espectadores hagan preguntas o sugerencias