Problema de programación por metas

Summary

El video ofrece una explicación detallada de cómo formular y resolver un problema de programación por metas en ingeniería química. Se describe la producción de cuatro productos químicos en dos procesos con restricciones de producción y costos. Se establecen metas para minimizar costos, maximizar ventas y ganancias. Se utiliza una tabla para organizar datos y se definen variables y funciones objetivo. Se generan restricciones y se adapta el modelo matemático para su resolución en un software de programación lineal, mostrando cómo se ajustan los parámetros para cumplir con las metas propuestas.

Takeaways

• 🧪 La compañía produce 4 productos químicos diferentes usando dos procesos, el Proceso 1 y el Proceso 2.
• 🔬 El Proceso 1 genera 400 kg de producto A, 100 kg de producto B y 100 kg de producto C por hora, mientras que el Proceso 2 produce 100 kg de producto A, B y D por hora.
• 🎯 La empresa tiene tres metas: mantener los costos por debajo de 30,000 pesos, aumentar las ventas en 100,000 pesos y aumentar las ganancias en 200,000 pesos.
• 📉 El costo por hora del Proceso 1 es de 500 pesos, y el del Proceso 2 es de 100 pesos.
• 💰 Las ventas por hora son 1,400 pesos para el Proceso 1 y 1,000 pesos para el Proceso 2, con ganancias de 900 pesos para ambos procesos.
• 📊 Se definieron variables para el tiempo de producción de ambos procesos, usando t₁ para el Proceso 1 y t₂ para el Proceso 2.
• 📝 La función objetivo principal es minimizar los costos, mientras que las otras funciones buscan maximizar ventas y ganancias.
• 🚧 Se generan restricciones basadas en las cantidades mínimas y máximas de producción de cada producto químico, además de las metas de la organización.
• 🧮 Se introducen variables de desviación positiva y negativa para ajustar las funciones objetivo y medir las diferencias respecto a las metas.
• 💻 El modelo final de programación de metas se implementa en un programa especializado, considerando las variables de desviación y restricciones generales para optimizar la producción y los objetivos financieros.

Q & A

¿Cuál es el objetivo principal del ejercicio de programación por objetivos mencionado en el guion?

El objetivo principal es alcanzar tres metas específicas: mantener los costos por debajo de 30,000 pesos, aumentar las ventas en 100,000 pesos y elevar las ganancias en 200,000 pesos.

¿Cuáles son los cuatro productos químicos producidos por la compañía química en el ejemplo?

Los cuatro productos químicos son: producto químico A, producto químico B, producto químico C y producto químico D.

¿Cuántos kilogramos de producto químico A se entregan por hora en el proceso 1?

En el proceso 1, se entregan 400 kilogramos del primer producto químico A por cada hora de producción.

¿Cómo se relaciona la producción del proceso 2 con los productos B y C?

El proceso 2 entrega 100 kilogramos de producto químico B y 100 kilogramos de producto químico C por cada hora de producción.

¿Cuál es el costo por hora de una corrida del proceso 1 y del proceso 2?

El costo por hora de una corrida del proceso 1 es de 500 pesos, mientras que el proceso 2 tiene un costo de 100 pesos por hora.

¿Cuánto se puede aprender por kilogramo de cada producto químico A, B, C y D?

Un kilogramo de producto químico A se puede aprender en 15 pesos, B en 5 pesos, C en 4 pesos y D en 4 pesos.

¿Cuál es la ganancia por hora para cada proceso?

Las ganancias por hora son de 900 pesos para el proceso 1 y también son de 900 pesos para el proceso 2.

¿Cómo se definen las variables de tiempo de producción para los procesos en la programación por objetivos?

Se utilizan las variables t subíndice 1 para el tiempo de producción del proceso 1 y t subíndice 2 para el tiempo de producción del proceso 2, ambas medidas en horas.

¿Cuáles son las restricciones generales relacionadas con los niveles de producción de los productos químicos?

Las restricciones generales incluyen que la producción de producto A debe ser de al menos 800 kilogramos, la de producto B no debe exceder los 500 kilogramos, la de producto C debe ser menor o igual a 300 kilogramos y la de producto D debe ser de al menos 100 kilogramos.

¿Cómo se abordan las metas de la organización en la función objetivo de la programación por objetivos?

Las metas de la organización se abordan mediante la incorporación de variables de desviación en la función objetivo, con el objetivo de minimizar las violaciones a las metas de costos, ventas y ganancias.

Outlines

00:00

🧪 Análisis de un Ejercicio de Programación por Metas

Este párrafo presenta un ejercicio de programación por metas en el contexto de una compañía química que produce cuatro productos químicos a través de dos procesos. Se describen las cantidades de productos producidos por hora en cada proceso, los costos de producción, los precios de venta y las ganancias. La compañía busca cumplir con tres metas: mantener los costos por debajo de 30,000 pesos, aumentar las ventas en 100,000 pesos y elevar las ganancias en 200,000 pesos. Se sugiere la creación de una tabla para organizar los datos y se definen las variables de tiempo de producción para los procesos 1 y 2.

05:01

📊 Formulación de la Función Objetivo y Restricciones

Se describen las funciones objetivo para las tres metas de la compañía: minimizar los costos, maximizar las ventas y maximizar las ganancias. Se establecen las restricciones de producción diaria para cada producto químico, basadas en los requisitos del departamento de marketing. Además, se introducen las restricciones de no negatividad para las variables de tiempo de producción. Se sugiere la utilización de variables de desviación para abordar las metas y se explica cómo se incorporarán en la función objetivo.

10:02

🔄 Selección de Variables y Generación del Modelo Matemático

Se detalla el proceso de selección de variables de desviación que representan la cantidad por encima o por debajo de las metas establecidas. Se genera una nueva función objetivo que combina las variables de desviación para minimizar las violaciones a las metas. Se describe el modelo matemático final, incluyendo la función objetivo y las restricciones de producción, metas y no negatividad. Se menciona la necesidad de ajustar las variables de desviación para adaptarse al software de programación utilizado.

15:04

💻 Implementación del Modelo en Software de Programación

Se explica cómo se implementa el modelo matemático en el software de programación, especificando la función objetivo y las restricciones. Se describe el proceso de entrada de datos, incluyendo las variables de desviación y las restricciones de producción y metas. Se menciona la importancia de asignar la misma importancia a todas las metas en el modelo y se muestra cómo se ingresan los datos para cada restricción en el software.

20:07

📈 Análisis de Resultados y Soluciones Óptimas

Se describe el proceso de solución del modelo en el software, obteniendo las soluciones óptimas que cumplen con las metas de la compañía. Se analiza cómo las variables de desviación afectan los costos, las ventas y las ganancias, y se muestra que las soluciones encontradas satisfacen los criterios de minimización y maximización establecidos. Se concluye con la obtención de una solución óptima que equilibra los objetivos de costos, ventas y ganancias.

Keywords

💡Programación por Metas

La programación por metas es una técnica de optimización que busca alcanzar múltiples objetivos a la vez, tomando en cuenta las restricciones y los recursos disponibles. En el video, se utiliza para resolver un problema de producción en una compañía química, donde se deben cumplir con objetivos de costos, ventas y ganancias específicos.

💡Proceso 1 y Proceso 2

En el guion, los 'Proceso 1' y 'Proceso 2' se refieren a dos métodos de producción distintos en la compañía química. Cada proceso produce diferentes cantidades de productos químicos por hora, lo que afecta directamente a las metas de producción y costos.

💡Productos Químicos

Los 'productos químicos' son los artículos制造生产的主体物，分四类不同的物质在视频中被讨论。La producción de estos productos está sujeta a las restricciones de los procesos y las metas de la compañía, y es fundamental para el ejercicio de programación por metas presentado.

💡Costos

El término 'costos' se refiere a los gastos asociados con la operación de los procesos de producción. En el video, se establece un objetivo de mantener los costos por debajo de 30,000 pesos, lo que es crucial para la viabilidad económica de la compañía.

💡Ventas

Las 'ventas' son la cantidad de ingresos generados por la compañía a través de la comercialización de sus productos. El video menciona un objetivo de aumentar las ventas en 100,000 pesos, lo que indica un componente clave de la estrategia de crecimiento de la organización.

💡Ganancias

Las 'ganancias' representan la diferencia entre los ingresos y los costos de la compañía. En el contexto del video, se busca maximizar las ganancias, con un objetivo específico de aumentarlas en 200,000 pesos, lo que refleja la búsqueda de eficiencia y rendimiento en la operación.

💡Variables de Desviación

Las 'variables de desviación' son herramientas utilizadas en la programación por metas para medir la diferencia entre los resultados esperados y los reales. En el video, se asignan variables de desviación positiva y negativa para cada objetivo, ayudando a formular una función objetivo que capture la importancia relativa de cada meta.

💡Restricciones

Las 'restricciones' son límites o condiciones que se deben cumplir en el modelo de programación. En el guion, se establecen restricciones relacionadas con la producción de productos, los costos y las metas de ventas y ganancias, que son esenciales para definir el problema y encontrar soluciones viables.

💡Función Objetivo

La 'función objetivo' es una expresión matemática que encapsula el objetivo de la programación por metas. En el video, se define una función objetivo para minimizar las violaciones a las metas, que es una combinación de las variables de desviación, y está sujeta a las restricciones establecidas.

💡Modelo Matemático

El 'modelo matemático' es una representación formal del problema que se resuelve mediante programación por metas. En el video, se construye un modelo matemático que incluye la función objetivo, las restricciones y las variables, proporcionando una base para encontrar la solución óptima.

Highlights

El canal rock y ingeniería, industrial presenta un ejercicio de programación por metas.

Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes en dos procesos.

El proceso 1 entrega 400 kg del primer producto, 100 kg del segundo y 100 kg del tercer producto por hora.

El proceso 2 entrega 100 kg del primer producto, 100 kg del segundo y 100 kg del cuarto producto por hora.

La producción diaria no debe exceder 500 kg de producto A, 300 kg de B, al menos 800 kg de C y 100 kg de D.

El costo de una corrida del proceso 1 es de 500 pesos y del proceso 2 es de 100 pesos.

Las ventas de los procesos 1 y 2 son de 1400 y 2000 pesos por hora, respectivamente.

Las ganancias del proceso 1 y 2 son de 900 pesos cada uno.

Las metas de la organización son mantener los costos por debajo de 30,000 pesos, aumentar las ventas en 100,000 pesos y aumentar las ganancias en 200,000 pesos.

Se organizan los datos del ejercicio en una tabla para visualizar la información.

Se definen las variables de tiempo de producción para los procesos 1 y 2.

Se establecen las funciones objetivo para minimizar costos, maximizar ventas y maximizar ganancias.

Se generan restricciones basadas en los niveles de producción de cada producto químico.

Se utiliza la técnica de programación por metas para abordar la problemática.

Se identifican variables de desviación para penalizar las metas no alcanzadas.

Se crea una nueva función objetivo que combina las tres metas en una sola.

Se genera un modelo matemático que incluye la función objetivo y las restricciones correspondientes.

Se utiliza el software para resolver el modelo y obtener la solución óptima.

El resultado muestra que se alcanzan los objetivos de costos, ventas y ganancias.

Transcripts

[Música]

bienvenidos a mi canal rock y ingeniería

industrial soy la maestra en ingeniería

y ser rosa fonseca y veremos el día de

hoy un ejercicio de programación por

metas

el ejercicio cita de la siguiente manera

una compañía química produce cuatro

productos químicos diferentes en dos

procesos proceso 1 y 2 por cada hora que

se realiza el proceso 1 se entregan 400

kilogramos de el primer producto químico

100 kilogramos de de segundo producto

químico y 100 kilogramos de cee el

tercer producto que mientras tienen un

proceso 2 se entregan 100 kilogramos de

a en el producto químico 100 kilogramos

de segundo producto químico y 100

kilogramos desde el cuarto producto

esto urbe

el departamento de marketing de la

compañía ha especificado que la

producción diaria debe ser no más de 500

kilogramos de

300 kilogramos de share

al menos 800 kilogramos de a 100

kilogramos de d

una corrida del proceso 1 tiene un costo

de 500 pesos por hora y una corrida del

proceso 2 tiene un costo de 100 pesos

por

suponga que un kilogramo de cada químico

a b c y d se puede aprender en 15 5 y 4

pesos respectivamente

las ventas de entonces son unos de 1400

pesos por hora y del proceso 2 mil pesos

por hora y las ganancias del proceso 1

son de 900 del proceso 1 y del proceso 2

también son 900 pesos

ahora para la formulación de la

programación y metas la organización

desea alcanzar tres metas y listas

la primera de ellas que los costos se

encuentran por debajo de los 30 mil

pesos la segunda meta de las ventas

aumenten 100 mil pesos y la tercera meta

las ganancias aumenta en 200 mil pesos

el primer paso es que debemos organizar

los datos del ejercicio en una tabla

para visualizarlos

en este caso lo que leímos anteriormente

acerca del ejercicio lo podemos

visualizar en esta

podemos observar los dos procesos y los

cuatro productos químicos así como las

producciones en kilogramos al día las

ventas por peso kilogramo de cada

producto químico y podemos ver a en la

parte inferior de la tabla las metas que

persiguen la organización en este caso

para minimizar esos costos por hora del

proceso 1 el proceso 2 las ventas que se

desean aumentar

en cada uno de los procesos y las

ganancias de cada proceso

paso 2 es importante que definamos las

variables

en este caso utilizaremos de su índice 1

como el tiempo de producción del proceso

1 esto dado en horas y t subíndice 2

tiempo de producción del proceso también

dado

el tercer paso es colocar la función

objetivo

en este caso la primera función objetivo

o también identificado como meta es

minimizar

z subíndice 1 igual a 500 de su 15 1 más

100 3 ceros

en esto nos referimos a disminuir los

costos en la primera net

posteriormente contamos con otra función

objetivo que también persigue la segunda

mitad de la organización

en este caso maximizar hemos las ventas

por ello tenemos maximizar z su índice 2

igual a 1400 pesos índice 1 + name de su

índice 2

y por último tenemos una tercera función

objetivo que también está relacionada

con la tercera meta que persigue a la

organización que es maximizar ganancias

por ello queda de la siguiente manera

maximizar z subíndice 3

903 índice 1 906 índice 2

como podemos observar las variables que

habíamos definido anteriormente para el

proceso a unos procesos dos están siendo

utilizadas en las funciones objetivos de

las tres metas que persigue la

organización

ahora bien como un paso 4 vamos a

generar las restricciones estas son las

restricciones generales

tenemos en este caso cuatro

restricciones similares y están

relacionadas con los niveles de

producción que se buscan para cada uno

de los productos químicos en este caso

la primera restricción que está

relacionado con un producto químico y

que tiene dos procesos 400 de subíndice

1 más 100 315 2 debe de ser mayor o

igual a 800 en este caso para el

producto químico b van a ser 7 subíndice

1 más siente su índice 2 mayor o igual a

500

para el tercer producto químico

solamente lo que vimos el proceso 2 que

son siente su índice 2 debe de ser en

este caso menor o igual a 300 y para el

cuarto producto químico que es de

tenemos siente subíndice 1 debe de ser

mayor o igual a sí

y bueno también agregamos la restricción

de no negatividad ahora ambas variables

del proceso 1 y del proceso 2

que están llamadas como test índice 1 y

3 utilice

estás conformarían mis restricción

pasos y seguidamente realizamos una

tabla con las metas

en ella vamos a colocar nuestras tres

funciones objetivos que la tenemos dada

por los zetas subíndice 1 zetas ucr

iniciados y z subíndice 3 pero es

importante empezar a colocar las

variables de desviación por ello vamos a

utilizar de acuerdo a la literatura la

de vinos hay algunas de ellas que pueden

utilizar otro tipo de variables o de

mayor

pero debemos identificar que estas son

variables de desviación

en ellas vamos a colocar en la primera

tenemos z subíndice 12 variables de

desviación siempre en cada función

objetivo una que sea positiva y la otra

que sean y en este caso en la primera

función o festivo de zetas dice uno

tenemos de subíndice 1 como la positiva

y de subíndice 2 como la negra

posteriormente podemos ver una flecha

que indica que se está buscando

minimizar y la meta que persigue la

organización y que fue dada por ella que

son de 30

eso mismo realizamos con las dos

funciones objetivos restantes vamos a

colocar sus variables de desviación

positiva y negativa que está dada como

de c3i de subíndice 4 positiva y

negativa respectivamente la flecha que

se está buscando maximizar en este caso

más de 100

y en este caso la última que vendrían

siendo variables de desviación de su

índice 5 y de su 15 6 también positiva y

negativamente y la flecha que está

indicando que vamos a buscar marxista

esto mayor a 200

como puedes observar las variables de

desviación son positivas y negativas y

en este caso las hemos identificado con

la letra d

el paso 6 después de realizar la tabla

se seleccionan las variables que

sobrepasan la meta o las variables que

representan la cantidad que falta para

casa para que entonces las penalizadas

en este caso las variables son las que

están dentro de un recuadro rojo y la

veremos en la tabla correspondiente ya

que de 2 sobrepasa la meta de los costos

de 3 está por debajo de la meta

planteada directa e igual de 5 por la

parte de ganas y esto podemos observarlo

en esta siguiente tabla

ya que estamos buscando minimizar y dos

de maximizar

vamos a identificar estas variables de

desviación para generar nuestra nueva

función objetivo esto es solamente para

en lugar de tener tres funciones

objetivos solo tengamos uno y

posteriormente estas funciones objetivos

que estaban dadas por las metas se

conviertan y restricciones y no

olvidemos

ahora bien vamos a generar las nuevas

descripciones en base a las metas

si recordamos nosotros teníamos

minimizar z subíndice 11 503 utilice un

almacén de zucchini c2 pero en este caso

ya que tenemos una evaluación a los

30.000 vamos a agregarle también a ello

la suma de las dos variables de

desviación que en este caso una es

positiva y la otra dineral

esta sería la restricción para los

costos

igualmente se realizaría para las ventas

vamos a igualarlo a la cantidad que

persigue la organización y agregamos dos

variables de desviación positiva general

e igualmente para las ganancias que

tenemos en este caso dos variables de

desviación positiva y negativa y está

igualado a 200.000 que también es la

meta que persigue la organización

y obviamente ya que tenemos ahora ocho

variables vamos a poner la restricción

de la negatividad ya en este caso actual

el paso 9 es eliminar precisamente esas

funciones objetivos que teníamos 3 ya

las volvimos restricciones pero por ende

debo de contar con una función objetivo

por lo cual vamos a necesitar

minimizar las violaciones en

programación por metas siempre se va a

ajustar ningún izar las violaciones pero

si recordamos nosotros ya teníamos

identificadas tres variables de

desviación y es precisamente que se

genera esta función objetivo final que

va a ser minimizar zetas utilice 4

recordemos que teníamos 3 anteriores por

ello esta es la cuarta y va a ser igual

a la variable de desviación 2 que era la

parte negativa

más la variable de desviación 3

y era la positiva que se busca maximizar

más de sus índices

finalmente se consigue esta función

el paso 11 es generar el modelo y

mientras final tenemos la función

objetivo que es minimizar setas utilice

4 igual del índice 2 + de su índice 3

más de su 15 5 y que va a estar sujeto a

las siguientes restricciones las

primeras 4 restricciones están

relacionadas con la producción de los

cuatro tipos

los químicos que habíamos mencionado con

anterioridad

posteriormente tenemos tres

transcripciones que están relacionadas

con las tres metas dadas por la

organización y por último bueno tenemos

la restricción de no negatividad en

todas las variables utilizadas

de esta manera estaría generando un

modelo matemático

en ella podemos identificar que tenemos

ocho variables de desviación una función

objetivo en la cual tenemos

restricciones cuatro de ellas son de

producción tres restricciones son de

metas y ocho restricciones son de no

negatividad

ahora bien el paso 12 vamos a cambiar

las variedades de desviación las

variables que nosotros contábamos pero

en base a x esto ya que el programa con

no permite

de una manera tan simple

colocar todas las variables que yo ya

estaba manejando en mi model por ello

todo lo vamos a manejar que en base a y

bueno es importante mencionarles que z4

ahora va a ser z de 1 ahora va a ser de

su índice 1 de subíndice dos bases x

sutil y ceros de su inicio uno va a

tomar ahora x subíndice 3 de su índice 2

igual a x subíndice 4 de 3 igual a x

subíndice 5 de 4 igual a x subíndice 6

de su 15 5 igual a x índice 7 y de 6

igual a x subíndice 8 considerando estos

nuevos cambios modelo matemático final

quedaría de la siguiente manera para

poder en este caso ingresaron el

programa con 9 para wii nos versión 7

tenemos en este caso ya

nuestra función objetivo nuestras

restricciones

de producción y nuestras tres

restricciones de la cifra la restricción

de nómina

ahora bien esa información es importante

ya que ocho variables de desviación

fueron identificadas de x índice 1 a x

sub 15 8 y lo podemos notar en la última

de restricción de la negatividad

contamos con una función objetivo que es

importante que para alimentar el

programa con la función objetivo cuenta

con una restricción y tenemos 7

restricciones generales a no contando la

de la negatividad ya que el programa por

default está tomando este tipo de

restricciones entonces por ello vamos a

sumar las 7 restricciones generales en

la función objetivo que cuenta como una

restricción y lo podemos ver en negritas

vamos a considerar ocho variables de

desviación esencia y ocho respecto

ahora vayamos a tu mamá con nueve para

bien después de haber abierto nuestro

programa con el mundo nosotros tenemos

un índice un minuto de nuestra parte

izquierda

y vamos a seleccionar

gold program que es programación

ahora bien nosotros podemos darle un

título a nuestro ejercicio en este caso

vamos a ponerle problema

de productos químicos

tenemos como bien lo mencionamos 8

restricciones y 8

variables

con ello vamos a darle

y se va a generar la siguiente

vamos a ir pasando los datos

respectivamente

en este caso vamos a regresar a power

point donde tengo mis modelos lo tenemos

que vas a buscar x 1 x 5 y x 7

x 4 x 5 x 7 se coloca 1

variable y si nos percatamos ya nos está

dando por de

familiar porque programaciones metas

busca minimizar las finalizaciones

entonces lo da por de pago ahora bien en

este caso las tres metas que persiguen

la organización tienen la misma

importancia

por ello en los primeros cuatro

secciones que tienen que ver con las

variables de desviación

yo voy a colocar uno que viene siendo

que todas tienen la misma importancia en

el caso que yo esté teniendo alguna de

las metas de una mayor importancia que

las otras éste puede cambiar a dos oa

tres

entonces esto nos va a apoyar para que a

la hora de solución del programa

pues de una mayor importancia a una meta

ahora bien las demás restricciones vamos

a colocarlas a partir de aquí si se dan

cuenta la primera queda nuestra función

objetivo ya cuenta con una restricción

por eso pusimos 8 por ello vamos a

empezar ya partir de la segunda

expresión que de acuerdo al programa nos

dice que son 400 x 1 y 100 x

entonces colocamos aquí 400

100

y nos está diciendo que es mayor o igual

a 800

mayor o igual a 800

y vamos por la tercera restricción que

sería 100 x unos 100 x 2

así

100

y una desigualdad nos dice que en menor

o igual a 500

igual a 500 aquí no se preocupen se

llegan a generar una serie d

de comandos cuando nosotros vamos

ingresando los datos para demostrar que

viene siendo una función pero nosotros

solamente colocamos los datos por encima

de esta función que se llega general

en este caso sería la cuarta serían 100

x 2

a 100 x 2

y tenemos que ésta debe ser menor o

igual a 300

igual a 300

posteriormente tenemos

100 x 1

y esta va a ser mayor o igual a 100

y bueno ahí hemos terminado nuestras

cuatro restricciones de producción vamos

con las restricciones de las metas que

vienen siendo 500 x 1

500 x 1

100 x 2

aquí tenemos

en x 3 1 y en x 41

1

ninguna

y esto va a estar igualado

igualado a 30

vamos con la séptima restricción

que serían 1400 x una tecla

1400

me

posteriormente tenemos x

una x5 y x6

que sería uno

sería uno y en x 6 -1 y esto va a ser

igual a siempre

y posteriormente la última restricción

que vendría siendo 900 y 900 en x1

líquidos

900

900 y bueno tendríamos en las variables

de demòcrates en la variable división x

7 positivo y menos 8x

tenemos un 1 menos 1 y esta parte va a

ser

igualada a 200

los

200.000

simplemente vamos a dar en el botón de

resolver

va a ser mi tabla de interacciones y en

este caso en el smart y voy a tener como

vemos ya

e

mis soluciones que bueno está diciendo

dándole mayor importancia a x1 que

recordemos que en el proceso 1 en este

caso x 3 que buscaba la de las metas

minimizar en este caso es que los costos

y vean está en 27.500 por debajo de los

30 mil en el x 5 que está buscando

maximizar también las ventas y x 8 pues

también maximizar entonces éstas serían

parte de las soluciones que simplemente

me están dando que son la solución

óptima del proceso muchas gracias

[Música]