Plano que pasa por tres puntos

MateFacil

15 Apr 202106:50

Summary

TLDREn este vídeo tutorial de 'Matemáticas Fáciles', se explica cómo calcular la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados. Seguidamente, se eligen dos puntos para formar vectores, se calcula su producto cruz para obtener un vector normal al plano, y finalmente, se utiliza un punto del plano y el vector normal para derivar la ecuación del plano. El proceso es detallado paso a paso, facilitando la comprensión del concepto de vectores y ecuaciones de planos en geometría.

Takeaways

📐 **Punto de Partida**: Para encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos, primero se necesitan dos vectores que se generan a partir de estos puntos.
🔍 **Selección de Puntos**: Se elige el punto A (0, 1, -1) como punto inicial y se calculan los vectores AP y AC con los puntos B (2, 3, -5) y C (1, 4, 3) respectivamente.
➡️ **Cálculo de Vectores**: Los vectores se calculan restando las coordenadas de los puntos, obteniendo AP = (2, 2, -4) y AC = (1, 3, 4).
🔄 **Producto Cruz**: Se utiliza el producto cruz para obtener un vector perpendicular a ambos, que define el plano. Se recuerda que el producto cruz se calcula mediante un determinante 3x3.
📏 **Determinante para Producto Cruz**: Se forma el determinante con los vectores unitarios i, j, k y los componentes de los vectores AP y AC, y se calcula siguiendo las reglas de la multiplicación y restas de matrices.
📉 **Cálculo del Vector Normal**: El resultado del determinante da el vector normal al plano, que en este caso es (20, -12, 4).
📑 **Ecuación del Plano**: Con el vector normal y un punto en el plano, se escribe la ecuación general del plano como ax + by + cz = d, donde a, b, c son los componentes del vector normal y d se calcula con las coordenadas del punto A.
🔢 **Determinación de d**: Se calcula el valor de d sustituyendo el punto A en la ecuación general del plano, resultando en 20x - 12y + 4z = 16.
🔄 **Ecuaciones Equivalentes**: Se menciona que cualquier múltiplo de la ecuación del plano es también una ecuación válida del plano, como la simplificación a 5x - 3y + z - 4 = 0.
🙏 **Agradecimientos**: Finalmente, se agradece a los suscriptores y seguidores por su apoyo a través de las membresías en YouTube y Patreon.

Q & A

¿Cuál es el objetivo del problema presentado en el video?
-El objetivo es calcular la ecuación de un plano que pasa por tres puntos específicos dados en el espacio.
¿Cuáles son los tres puntos que definen el plano en este problema?
-Los tres puntos son A(0, 1, -1), B(2, 3, -5) y C(1, 4, 3).
¿Qué se necesita calcular primero para encontrar la ecuación del plano?
-Primero se necesitan calcular dos vectores que estén en el plano usando los tres puntos dados.
¿Cómo se obtienen los vectores que están en el plano?
-Los vectores se obtienen restando las coordenadas de dos puntos. En este caso, los vectores AB y AC se calculan restando las coordenadas de B menos A y las de C menos A.
¿Qué operación se utiliza para obtener un vector perpendicular al plano?
-Se utiliza el producto cruz de los dos vectores en el plano (AB y AC) para obtener un vector perpendicular al plano.
¿Cómo se calcula el producto cruz de los vectores AB y AC?
-El producto cruz se calcula usando un determinante de 3x3 con los vectores unitarios i, j, k en la primera fila, el vector AB en la segunda fila y el vector AC en la tercera fila.
¿Cuál es el vector normal al plano obtenido en el video?
-El vector normal al plano obtenido es (20, -12, 4).
¿Cómo se usa el vector normal para escribir la ecuación del plano?
-La ecuación del plano se escribe utilizando la forma general: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0, donde A, B, C son las componentes del vector normal, y (x0, y0, z0) es un punto en el plano.
¿Qué punto se usa en el video para escribir la ecuación del plano?
-Se usa el punto A(0, 1, -1) para escribir la ecuación del plano.
¿Cuál es la ecuación final del plano obtenida en el video?
-La ecuación final del plano es 5x - 3y + z + 4 = 0, tras simplificar dividiendo entre 4 todos los términos.

Outlines

00:00

📐 Cálculo de la ecuación de un plano

En este primer párrafo, se presenta el problema de cálculo vectorial de encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados: A(0, 1, -1), B(2, 3, -5) y C(1, 4, 3). Se describe el proceso de calcular dos vectores, AB y AC, a partir de las coordenadas de los puntos. Luego, se explica cómo se utiliza el producto cruz entre estos dos vectores para obtener un vector perpendicular al plano, que es el vector normal. Se detalla el cálculo del producto cruz mediante el uso de un determinante 3x3, y se obtiene el vector normal al plano. Finalmente, se menciona que con un punto en el plano y el vector normal, se puede escribir la ecuación del plano.

05:01

🔢 Desarrollo de la ecuación del plano

Este segundo párrafo continúa el proceso de cálculo de la ecuación del plano. Se elige el punto A como punto de referencia para la ecuación del plano. Se sustituyen las coordenadas del punto A y las componentes del vector normal en la fórmula general de la ecuación de un plano. Se desarrollan las operaciones algebraicas necesarias para simplificar la ecuación, llegando a una expresión que relaciona x, y y z con los coeficientes del vector normal. Se menciona que la ecuación del plano puede ser escalada por cualquier número sin perder su validez, y se da un ejemplo de cómo dividir todos los términos por 4 para simplificar la ecuación. El vídeo termina con agradecimientos a los suscriptores y seguidores por su apoyo.

Mindmap

Keywords

💡Plano

Un plano en matemáticas y física es una superficie bidimensional en el espacio tridimensional que no tiene curvatura y en el que cada par de puntos está conectado por una línea recta única. En el guion, el plano es el objeto principal de estudio, ya que se busca encontrar la ecuación que lo define a partir de tres puntos dados.

💡Vector

Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección. En el video, se utilizan vectores para construir el plano, calculando el producto cruz entre dos vectores que se encuentran en el plano para obtener un vector normal al mismo.

💡Producto Cruz

El producto cruz, también conocido como producto vectorial, es una operación matemática que se aplica a dos vectores en un espacio tridimensional y produce un tercer vector perpendicular a la plano que definen los dos vectores originales. En el guion, se calcula el producto cruz para obtener un vector normal al plano.

💡Vector Unitario

Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de 1. Se utilizan en el cálculo del producto cruz para establecer las bases en el espacio tridimensional. En el guion, los vectores unitarios i, j y k se mencionan al explicar cómo calcular el producto cruz.

💡Determinante

Un determinante es una cantidad que se calcula a partir de una matriz y que es utilizada para encontrar el volumen de un paralelepípedo en el espacio tridimensional. En el video, se usa un determinante de 3x3 para calcular el producto cruz de dos vectores.

💡Ecuación del Plano

La ecuación de un plano es una fórmula matemática que describe la relación entre las coordenadas x, y y z de los puntos que están en el plano. En el guion, se busca encontrar esta ecuación a partir de los vectores calculados y los puntos dados.

💡Punto en el Plano

Un punto en el plano es un punto que satisface la ecuación del plano. En el guion, se elige un punto (en este caso, el punto A) para usarlo en la fórmula general de la ecuación del plano.

💡Vector Normal

Un vector normal es un vector que es perpendicular a un plano. Se utiliza para definir la ecuación de un plano, ya que la ecuación del plano se escribe en términos de los componentes del vector normal. En el guion, se calcula un vector normal al realizar el producto cruz entre dos vectores en el plano.

💡Coordenadas

Las coordenadas son los valores numéricos que definen la posición de un punto en un sistema de coordenadas. En el video, se utilizan las coordenadas de los puntos A, B y C para construir vectores y, finalmente, para encontrar la ecuación del plano.

💡Membresía en YouTube

La membresía en YouTube es una función que permite a los usuarios apoyar a sus canales favoritos a través de suscripciones mensuales. En el guion, se menciona como una forma de agradecimiento a las personas que apoyan el canal.

💡Ecuación Genérica del Plano

La ecuación genérica del plano es una fórmula que se escribe como ax + by + cz = d, donde a, b, c son los componentes del vector normal y d es un valor constante. En el guion, se llega a una ecuación del plano específica a partir de los cálculos realizados.

Highlights

Se calcularán dos vectores a partir de los puntos dados para determinar el plano.

El vector AB se obtiene restando las coordenadas de los puntos B y A.

El vector AC también se calcula restando las coordenadas de C y A.

El producto cruz de los vectores AB y AC da un vector perpendicular al plano.

La matriz utilizada para el producto cruz contiene los vectores unitarios i, j, k.

El determinante se calcula para obtener las componentes del vector normal.

El vector normal al plano es (20, -12, 4).

Se utiliza la ecuación general del plano para incluir el vector normal y un punto en el plano.

El punto A (0, 1, -1) se usa en la ecuación del plano.

La ecuación del plano se simplifica a 20x - 12y + 4z + 16 = 0.

Se puede dividir la ecuación por 4 para obtener la forma simplificada 5x - 3y + z + 4 = 0.

La ecuación del plano final es 5x - 3y + z + 4 = 0.

El producto cruz es una técnica clave para obtener un vector perpendicular en problemas de geometría vectorial.

El método puede aplicarse a diferentes combinaciones de puntos siempre que se tomen dos vectores del plano.

El vídeo concluye agradeciendo a los seguidores por su apoyo en YouTube y Patreon.