Hallar la ecuacion general de la CIRCUNFERENCIA conociendo el centro y el radio EJEMPLO 1

Matemáticas profe Alex

22 Aug 201607:10

Summary

TLDREn este video educativo, el presentador guía a los espectadores a través del proceso de encontrar la ecuación general de una circunferencia, sabiendo su centro y radio. Se explica cómo utilizar la ecuación canónica (x-h)² + (y-k)² = r² y reemplazar los valores correspondientes. Luego, se resuelven los cuadrados de los binomios y se simplifica la ecuación hasta obtener la forma general ax² + by² + dx + ey + f = 0. El video es parte de un curso completo sobre ecuaciones de circunferencias y se anima a los espectadores a suscribirse y explorar más contenido en el canal.

Takeaways

📘 La ecuación canónica de una circunferencia cuando se conoce el centro y el radio es (x-h)² + (y-k)² = r².
🔢 Se utilizan las coordenadas del centro (h, k) y el radio r para formar la ecuación canónica.
📐 Para obtener la ecuación general, se expande y se resuelve el cuadrado de los binomios.
✅ Se resuelve el cuadrado de un binomio siguiendo la fórmula (primero)² + 2*(primero)*(segundo) + (segundo)².
🔄 Se manejan los signos correctamente al expandir los binomios, recordando que el producto de dos negativos es positivo.
📉 Se reemplazan los valores de h, k y r en la ecuación canónica para obtener la ecuación general.
🔢 Se realizan operaciones algebraicas para simplificar la ecuación hasta obtener la forma general x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
➡️ Se organiza la ecuación general siguiendo el orden: términos cuadráticos, términos lineales y constante.
🔄 Se traspasan los términos para que la ecuación quede en la forma estándar x² + y² + Dx + Ey + F = 0.
🎓 El vídeo ofrece un ejemplo práctico para ilustrar cómo se obtiene la ecuación general de una circunferencia.

Q & A

¿Qué es la ecuación canónica de una circunferencia?
-La ecuación canónica de una circunferencia es de la forma \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), donde \( h \) y \( k \) son las coordenadas del centro y \( r \) es el radio.
¿Cómo se encuentran los valores de \( h \), \( k \) y \( r \) en la ecuación canónica?
-Los valores de \( h \) y \( k \) se obtienen directamente del centro de la circunferencia, y \( r \) es el radio que se conoce previamente.
¿Qué es la ecuación general de una circunferencia?
-La ecuación general de una circunferencia es \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \), donde \( D \), \( E \) y \( F \) son constantes que dependen de la posición y tamaño de la circunferencia.
¿Cómo se obtiene la ecuación general de una circunferencia a partir de la canónica?
-Para obtener la ecuación general, se expande y se resuelve la ecuación canónica, \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), reemplazando y resolviendo los términos cuadrados y binomios.
¿Qué es el producto notable del cuadrado de un binomio?
-El producto notable del cuadrado de un binomio es \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), que se utiliza para expandir los términos en la ecuación canónica.
¿Cuál es el resultado de \( 3^2 \) en el ejemplo proporcionado?
-El resultado de \( 3^2 \) es 9, ya que \( 3 \times 3 = 9 \).
¿Cómo se resuelven los signos en la ecuación general de una circunferencia?
-Los signos en la ecuación general se mantienen consistentes con los de la ecuación canónica, donde los términos con signo negativo se mantienen negativos y los positivos, positivos.
¿Qué significa el término constante en la ecuación general de una circunferencia?
-El término constante en la ecuación general, que se obtiene tras expandir y simplificar, representa el desplazamiento de la ecuación con respecto al origen.
¿Cómo se determina si una ecuación representa una circunferencia y no una parábola o una línea?
-Una ecuación representa una circunferencia si tiene la forma \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) con \( D^2 + E^2 - 4F > 0 \), lo que garantiza que la ecuación describe una circunferencia y no otra curva.
¿Por qué es importante ordenar los términos en la ecuación general de una circunferencia?
-Es importante ordenar los términos en la ecuación general para que coincida con la forma estándar, lo que facilita la identificación de los coeficientes y la interpretación geométrica de la circunferencia.

Outlines

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📘 Introducción a la ecuación de la circunferencia

El primer párrafo presenta un curso sobre cómo encontrar la ecuación de una circunferencia a partir del centro y el radio conocidos. Se explica que la ecuación canónica de una circunferencia tiene la forma (x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) son las coordenadas del centro y r es el radio. El vídeo muestra cómo reemplazar los valores específicos de h, k y r en la ecuación canónica y luego expandir y simplificar para obtener la ecuación general de la circunferencia. Se detalla el proceso de cuadrar binomios y cómo se manejan los signos en la expansión, culminando en la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

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🔍 Desarrollo y resolución de la ecuación general

El segundo párrafo continúa el proceso de derivar la ecuación general de la circunferencia. Se muestra cómo se resuelven los términos cuadrados y cómo se maneja la constante al final de la ecuación. Se destaca la importancia de mantener el orden de los términos en la ecuación general: primero los términos cuadrados, luego los términos lineales con sus respectivas variables y finalmente la constante. El vídeo concluye con un ejemplo resuelto y anima a los espectadores a ver más videos del curso en el canal del presentador o a través de los enlaces proporcionados, invitando a la interacción a través de comentarios y comparticiones.

Mindmap

Keywords

💡Ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia es una fórmula matemática que describe el conjunto de puntos en un plano que están a una distancia fija, llamada radio, de un punto fijo, conocido como centro. En el video, se utiliza para enseñar cómo encontrar la ecuación general de una circunferencia cuando se conoce su centro y su radio, lo cual es fundamental para entender la geometría en el plano cartesiano.

💡Ecuación canónica

La ecuación canónica de una circunferencia es una forma específica de escribir la ecuación de una circunferencia que facilita su análisis y manipulación algebraica. En el guion, se menciona que la ecuación canónica tiene la forma \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), donde \( h \) y \( k \) son las coordenadas del centro y \( r \) es el radio de la circunferencia.

💡Centro de la circunferencia

El centro de la circunferencia es el punto en el plano que define la ubicación de la circunferencia y a partir del cual todos los puntos de la circunferencia están equidistantes. En el video, el centro se menciona como el punto de partida para determinar la ecuación de la circunferencia, donde \( h \) y \( k \) representan las coordenadas del centro.

💡Radio

El radio de una circunferencia es la distancia desde el centro hasta cualquier punto en el borde de la circunferencia. Es un valor crucial para definir la forma y tamaño de la circunferencia. En el guion, el radio se utiliza para completar la ecuación canónica, donde se eleva al cuadrado para formar parte de la ecuación.

💡Ecuación general

La ecuación general de una circunferencia es una forma más amplia de escribir la ecuación de una circunferencia que puede incluir términos adicionales que representan desplazamientos o rotaciones. En el video, se muestra cómo se obtiene a partir de la ecuación canónica al expandir y reorganizar los términos.

💡Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es un producto notable que se aplica en la expansión de términos algebraicos, y se escribe como \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). En el guion, se utiliza para expandir los términos \( (x - h)^2 \) y \( (y - k)^2 \) en la ecuación canónica, lo que resulta en la ecuación general de la circunferencia.

💡Desarrollo algebraico

El desarrollo algebraico es el proceso de expandir y simplificar expresiones algebraicas. En el video, se aplica este proceso para transformar la ecuación canónica en la ecuación general de la circunferencia, lo que permite visualizar y manipular los términos de la ecuación de manera más clara.

💡Producto notable

Un producto notable es una expresión algebraica que se puede simplificar de manera predecible, como el cuadrado de un binomio. En el guion, se menciona el producto notable del cuadrado de un binomio como una herramienta para expandir y simplificar la ecuación de la circunferencia.

💡Desplazamiento

El desplazamiento en una ecuación de circunferencia se refiere a la cantidad por la cual la circunferencia se traslada en el plano cartesiano desde una posición estándar. Aunque no se menciona explícitamente en el guion, el concepto está implícito en la discusión sobre cómo los valores de \( h \) y \( k \) afectan la posición de la circunferencia.

💡Constante

Una constante en una ecuación algebraica es un valor que no cambia y que no depende de las variables involucradas. En el guion, la constante resultante después de simplificar la ecuación general de la circunferencia se menciona como un término final que se coloca en el lado derecho de la ecuación, equilibrando la suma de los términos.

Highlights

Bienvenida al curso de ecuación de la circunferencia.

Explicación de cómo encontrar la ecuación general de una circunferencia dado su centro y radio.

Introducción a la ecuación canónica de una circunferencia: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

Definición de las coordenadas del centro (h, k) y el radio r.

Reemplazo de valores conocidos para el centro y el radio en la ecuación canónica.

Proceso de resolución de la ecuación canónica para obtener la ecuación general.

Ejemplo práctico de cómo elevar al cuadrado un binomio: (x-h)^2 y (y-k)^2.

Explicación detallada del proceso de cuadrado de un binomio: (primero)^2 + 2*(primero)*(segundo) + (segundo)^2.

Desarrollo de la ecuación general pasando de la canónica a la forma estándar.

Método para resolver la ecuación general de una circunferencia: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0.

Importancia de mantener el orden en la ecuación general: x^2, y^2, Dx, Ey, F.

Pasaje del término constante de un lado a otro de la ecuación.

Finalización de la ecuación general con la constante solitaria.

Invitación a ver el siguiente vídeo para aprender con ejemplos variados.

Oportunidad para acceder al curso completo de ecuación de la circunferencia.

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