Ordinary and general equation of circumference with given center and radius (Example 1)

Summary

En este video se explica cómo encontrar la ecuación de una circunferencia en sus dos formas: la forma ordinaria y la forma general. Se utiliza como ejemplo una circunferencia con centro en (2, 3) y radio 2. Primero, se muestra cómo aplicar la fórmula estándar de la circunferencia para obtener la ecuación ordinaria, y luego, cómo expandir y simplificar esta ecuación para obtener la forma general. Al final, se invita a los espectadores a practicar con un nuevo ejercicio con centro en (2, 0) y radio 5, siguiendo el mismo procedimiento explicado en el video.

Takeaways

• 😀 En este video se enseña cómo encontrar la ecuación de una circunferencia en su forma ordinaria y general.
• 😀 La fórmula para la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es: (x - h)² + (y - k)² = r².
• 😀 Los valores que deben sustituirse en la fórmula son: h, k (las coordenadas del centro) y r (el radio).
• 😀 En el ejemplo proporcionado, el centro de la circunferencia es (2, 3) y el radio es 2.
• 😀 Al sustituir los valores en la fórmula, se obtiene la ecuación ordinaria: (x - 2)² + (y - 3)² = 4.
• 😀 Para obtener la ecuación en su forma general, se deben desarrollar los binomios al cuadrado.
• 😀 El desarrollo de los binomios resulta en: x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 4.
• 😀 Luego, el 4 que estaba en el lado derecho se pasa al lado izquierdo, quedando la ecuación igualada a cero.
• 😀 Después de simplificar, la ecuación general es: x² + y² - 4x - 6y + 9 = 0.
• 😀 Se explica que algunos trucos, como cancelar términos, facilitan el desarrollo de los cálculos y la obtención de la ecuación general.
• 😀 Se invita a los espectadores a intentar resolver un ejercicio similar con un centro en (2, 0) y radio 5, siguiendo el mismo procedimiento.

Q & A

¿Cuál es la fórmula general para la ecuación de una circunferencia?

La fórmula general es: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, donde h y k son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es el radio.

¿Cómo se sustituyen los valores en la ecuación de la circunferencia?

Se sustituyen los valores de las coordenadas del centro (h, k) y el valor del radio (r) en la ecuación de la forma ordinaria. Por ejemplo, si el centro es (2, 3) y el radio es 2, la ecuación será (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 2^2.

¿Cómo se convierte la ecuación ordinaria en la ecuación general?

Para convertir la ecuación ordinaria en la ecuación general, se deben desarrollar los binomios al cuadrado y luego simplificar los términos. Esto incluye expandir los cuadrados y restar cualquier término constante al lado izquierdo.

¿Qué significa desarrollar un binomio al cuadrado?

Desarrollar un binomio al cuadrado significa aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Esto implica elevar el primer término al cuadrado, multiplicar ambos términos por dos y luego elevar el segundo término al cuadrado.

¿Qué ocurre cuando se desarrollan los binomios (x - 2)^2 y (y - 3)^2?

Al desarrollar (x - 2)^2 obtenemos x^2 - 4x + 4, y al desarrollar (y - 3)^2 obtenemos y^2 - 6y + 9. Luego, se suman los resultados de ambos binomios.

¿Cómo se maneja el término constante en la ecuación general?

El término constante se maneja restando el valor de la constante en el lado derecho de la ecuación. Por ejemplo, si el valor de la constante es 4, se resta 4 de ambos lados de la ecuación.

¿Cómo se simplifican los términos al final del proceso?

Al final del proceso, se agrupan los términos semejantes, como los términos que contienen x y los que contienen y, y se suman o restan los valores constantes para obtener una ecuación más simplificada.

¿Qué es la ecuación general de una circunferencia?

La ecuación general de una circunferencia es una ecuación cuadrática que tiene la forma: x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes derivadas del desarrollo de la ecuación ordinaria.

¿Cuál es el resultado final de la ecuación general en este ejemplo?

El resultado final de la ecuación general en este ejemplo es: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 0.

¿Qué debe hacer el espectador al final del video con el nuevo problema propuesto?

El espectador debe intentar encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y general con centro en (2, 0) y radio 5, siguiendo el mismo procedimiento mostrado en el video.