Clase 13 Geometría Circunferencia - Primer Año de Secundaria

Summary

La clase de geometría se centra en el tema de la circunferencia, explicada al primer año de secundaria. Se define la circunferencia y se diferencia del círculo. Se introducen conceptos como centro, radio, diámetro, cuerda, arco y recta tangente. Se describen propiedades fundamentales de la circunferencia, incluyendo la perpendicularidad del radio a la tangente y la igualdad de los segmentos tangentes desde un punto exterior. Se presentan teoremas como el de Poncelet y el de Pitot, y se resuelven ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos y teoremas, enfocándose en el cálculo de longitudes y radios en diferentes figuras geométricas.

Takeaways

• 📐 La circunferencia es definida como la figura formada por todos los puntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro, y esta distancia se conoce como radio.
• 🔺 Es importante diferenciar la circunferencia de un círculo, aunque ambos términos a menudo se usan interchangeably.
• 📏 El diámetro es una línea que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, y es el doble del radio.
• 🧵 Una cuerda (o segmento de circunferencia) une dos puntos en la circunferencia, y no debe confundirse con una recta secante, que es una línea que intersecta la circunferencia en dos puntos.
• 📉 Una recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia y solo intersecta la circunferencia en un solo punto.
• 🌀 Los arcos de la circunferencia son medidos en ángulos, y la medida de un arco es igual a la medida del segmento que lo subtende.
• 📌 La propiedad fundamental de la circunferencia es que un radio siempre es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.
• 🔼 Si se trazan dos segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia, los segmentos son iguales en longitud.
• 📐 Si dos cuerdas (segmentos de circunferencia) miden lo mismo, las longitudes de los arcos que forman también serán iguales.
• 🔄 La suma de los ángulos opuestos en un trapecio inscrito en una circunferencia es igual a la suma de los ángulos no opuestos, según el teorema de Pitot.

Q & A

¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia es la figura formada por todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado centro, y esta distancia se conoce como radio.

¿Cuál es la diferencia entre una circunferencia y un círculo?

El texto no especifica la diferencia, pero generalmente, un círculo se refiere a la circunferencia junto con su centro, mientras que la circunferencia se refiere solo a la curva.

¿Qué es el diámetro en una circunferencia?

El diámetro es una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro.

Define el término 'radio' en relación a una circunferencia.

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta cualquier punto en la curva.

Explícame qué es una 'recta secante'.

Una recta secante es una línea que intersecta a la circunferencia en dos puntos distintos.

¿Qué es un 'arco' en el contexto de una circunferencia?

Un arco es una porción de la circunferencia, que representa una parte de la curva.

Define 'recta tangente' en relación con una circunferencia.

Una recta tangente es una línea que intersecta la circunferencia en exactamente un punto, llamado punto de tangencia.

¿Cuál es la primera propiedad fundamental de una circunferencia que se menciona en el guion?

La primera propiedad fundamental mencionada es que un radio siempre es perpendicular a la recta tangente.

¿Cómo se relacionan los segmentos tangentes en un punto exterior a la circunferencia?

Si se trazan dos segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia, estos segmentos tienen la misma longitud.

¿Qué ocurre con dos cuerdas de una circunferencia que miden lo mismo?

Si dos cuerdas de una circunferencia miden lo mismo, generan dos arcos que tienen la misma medida.

Explícame el teorema de Poncelet mencionado en el guion.

El teorema de Poncelet dice que en un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio.

¿Qué es el teorema de Pitot y cómo se relaciona con un trapecio?

El teorema de Pitot establece que en un trapecio en el cual una circunferencia está inscrita, la suma de los lados opuestos es igual. Esto significa que la suma de los lados que son paralelos es igual a la suma de los lados no paralelos.

Outlines

00:00

📘 Introducción a la Geometría: Conceptos Básicos de la Circunferencia

El primer párrafo introduce la clase de geometría para el primer año de secundaria, centrando el tema en la circunferencia. Se define la circunferencia como la figura formada por todos los puntos equidistantes a un punto fijo, llamado centro, y se explica que esta distancia se conoce como radio. Además, se aclara la diferencia entre circunferencia y círculo. Se presentan elementos como el diámetro, el segmento de cuerda, la recta secante y el arco, y se describe la relación entre el radio y la recta tangente, que es perpendicular.

05:01

📐 Propiedades de la Circunferencia y Teoremas Clave

Este párrafo profundiza en las propiedades fundamentales de la circunferencia, como la perpendicularidad del radio con la recta tangente y la igualdad de los segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia. También se menciona la relación entre cuerdas y arcos, donde la igualdad de las cuerdas implica igualdad de los arcos correspondientes. Se introducen las propiedades de las cuerdas perpendiculares al radio y la relación entre cuerdas paralelas y arcos correspondientes. Finalmente, se presentan dos teoremas importantes: el teorema de Poncelet y el teorema de Pitot, que relacionan las propiedades de los triángulos rectángulos y cuadriláteros con la circunferencia.

10:07

🔍 Aplicación de Teoremas Geométricos en Ejercicios Prácticos

El tercer párrafo se enfoca en el uso práctico de los teoremas de Poncelet y Pitot para resolver ejercicios geométricos. Se presentan ejercicios que requieren el cálculo de longitudes y ángulos en figuras geométricas, utilizando las propiedades de los segmentos tangentes y las relaciones entre las partes de los triángulos y cuadriláteros. Se resaltan técnicas de resolución de problemas, como la aplicación del teorema de Pitot en cuadriláteros y la utilización de las propiedades de los triángulos isósceles.

15:10

📏 Teorema de Poncelet y Ejercicios de Tríangulos Rectángulos

Este párrafo continúa con la aplicación del teorema de Poncelet, específicamente en el contexto de triángulos rectángulos. Se resuelven ejercicios que involucran la determinación de la hipotenusa y el radio de la circunferencia inscrita, utilizando tanto el teorema de Pitágoras como el teorema de Poncelet. Se enfatiza la importancia de la precisión en los cálculos y la comprensión de las unidades de medida en los problemas geométricos.

20:12

📐 Resolución de Ejercicios con Tríangulos Isósceles y Rectángulos

El quinto párrafo se centra en la resolución de ejercicios que involucran triángulos isósceles y rectángulos, utilizando la propiedad de los ángulos en triángulos isósceles y el teorema de Pitágoras. Se presentan ejemplos de cómo se calculan los ángulos y lados en estos tipos de triángulos, y se aplica el teorema de Poncelet para determinar la relación entre los catetos y la hipotenusa, así como el cálculo del radio de la circunferencia.

25:12

🔢 Cálculo de Radios y Aplicación del Teorema de Poncelet

El sexto párrafo concluye con ejercicios que requieren el cálculo del radio de circunferencias, utilizando el teorema de Poncelet en contextos donde se conocen las medidas de los catetos y la hipotenusa de triángulos rectángulos. Se resalta la simplicidad de ciertos cálculos en comparación con otros más complejos, y se enfatiza la importancia de comprender y aplicar correctamente los teoremas geométricos para resolver problemas prácticos.

Keywords

💡Circunferencia

Una circunferencia es la figura geométrica formada por todos los puntos de un plano que están a una distancia fija, llamada radio, del centro de la circunferencia. En el guion, se menciona que la circunferencia es diferente de un círculo, aunque a menudo se usan indistintamente. La circunferencia es el tema central de la clase y se utiliza para introducir conceptos como el radio y el diámetro.

💡Centro

El centro de una circunferencia es el punto fijo desde el cual se mide el radio para definir la circunferencia. En el guion, se destaca que todos los puntos en la circunferencia están equidistantes del centro, lo que es fundamental para entender la definición de una circunferencia.

💡Radio

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia hasta cualquier punto en ella. Se menciona en el guion que el radio es la distancia constante que define la posición de los puntos en la circunferencia y es un elemento clave en la definición de una circunferencia.

💡Diámetro

El diámetro es una línea que atraviesa la circunferencia y su longitud es dos veces la del radio. En el guion, se describe como una línea que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro, siendo fundamental para entender la relación entre el radio y el diámetro.

💡Cuerda

Una cuerda en relación con una circunferencia es el segmento de línea recta que une dos puntos en la circunferencia. En el guion, se usa para explicar conceptos como los arcos y las propiedades de las cuerdas en relación con los arcos y las secciones de la circunferencia.

💡Arco

Un arco es una porción de la circunferencia que se encuentra entre dos puntos (cuerdas) en la circunferencia. En el guion, se discute cómo los arcos pueden medirse en grados y cómo su longitud varía dependiendo de la medida del segmento de cuerda asociado.

💡Recta secante

Una recta secante es una línea que intersecta a la circunferencia en dos puntos. En el guion, se menciona para diferenciarla de la recta tangente y se utiliza para explicar propiedades relacionadas con la intersección de líneas con la circunferencia.

💡Recta tangente

Una recta tangente es una línea que toca la circunferencia en exactamente un punto, llamado punto de tangencia. En el guion, se describe para enfatizar cómo solo se intersecta en un punto y se utiliza para discutir las propiedades de la tangencia en relación con la circunferencia.

💡Teorema de Poncelet

El teorema de Poncelet establece que en un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio. En el guion, se usa para resolver problemas donde se inscriban triángulos rectángulos en circunferencias y se busca calcular el radio.

💡Teorema de Pitot

El teorema de Pitot se refiere a la propiedad de que en un cuadrilátero en el cual una circunferencia está tangente a cada uno de sus lados, la suma de los dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos. En el guion, se utiliza para resolver ejercicios donde se calculan longitudes de lados en figuras geométricas complejas.

Highlights

Definición de circunferencia como la figura conformada por puntos equidistantes de un centro fijo.

Diferencia entre circunferencia y círculo.

Elementos de una circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco y recta secante.

Propiedad fundamental: un radio siempre es perpendicular a la recta tangente.

Propiedad de los segmentos tangentes desde un punto exterior a la circunferencia.

Propiedad de las cuerdas: dos cuerdas iguales generan arcos iguales.

Propiedad de la cuerda perpendicular al radio: divide la cuerda en dos partes iguales.

Propiedad de las cuerdas paralelas: generan arcos de la misma longitud.

Teorema de Poncelet: en un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio.

Teorema de Pitot: en un cuadrilátero, la suma de los lados opuestos es igual.

Ejercicio práctico: cálculo de la longitud de un lado en un trapecio usando el teorema de Pitot.

Ejercicio práctico: cálculo de la longitud de un lado en un cuadrilátero usando propiedades de los segmentos tangentes.

Ejercicio práctico: cálculo del perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia.

Ejercicio práctico: cálculo del centro de una circunferencia a partir de radios y ángulos en un triángulo isósceles.

Ejercicio práctico: aplicación del teorema de Poncelet para encontrar el radio en un triángulo rectángulo.

Ejercicio práctico: cálculo del radio en un triángulo rectángulo usando el teorema de Poncelet y la hipotenusa.

Ejercicio práctico: cálculo del radio en un triángulo rectángulo con lados conocidos y aplicación del teorema de Poncelet.

Conclusión de la clase con una revisión de los conceptos y teoremas aprendidos.

Transcripts

muy bien alumnos vamos a empezar con la

clase de geometría el tema se llama

circunferencia esto es para el primer

año de secundaria circunferencia alumnos

en primer lugar que es una

circunferencia es la figura conformada

por todos los puntos que tienen que

tienen debería decir acá que tienen la

misma distancia hacia un punto fijo

llamado centro a esta distancia se le

conoce como radio haya o sea miren este

la circunferencia no que no es lo mismo

que un círculo alumnos no es lo mismo

con circularía después les diré la

diferencia alumnos miren esta

circunferencia todo lo que está acá esto

redondo si dice que la distancia de

estos puntos hacia el punto el punto

fijo que en este caso es el punto o es

el centro si es la misma claro pues

porque es el radio sí o no el o hacia

cualquier borde de la circunferencia su

distancia es el radio pues ven ahí está

de eso viene la definición de

circunferencia muy bien

en primer lugar alumnos elementos dicen

ave es diámetro pero que es el diámetro

allá es una línea que pasa por

es una línea que une a un punto de la

circunferencia con otro si un borde con

otro borde pero que pasa por el centro

que más alumnos que más se pueden dar

cuenta dice flecha voz agita allá en

primer lugar

mn qué cosa es el segmento mn es una

cuerda una cuerda se llama a que el

segmento que une dos puntos cualquiera

en la circunferencia mnb

ahora flechas agita que la flecha os

agita allá miren en la distancia entre

una cuerda con el borde de la

circunferencia bien pq es la flecha o se

agita si muy bien acá que más se pueden

dar cuenta alumnos a ya que el radio r

obviamente si el radio r sí que más allá

caigo en la recta secante en esta recta

es toda flechita que está apuntando

hacia los dos lados se llama recta

secante porque ese cante profe porque

por que intersecta a la circunferencia

en dos puntos no miren acá está un punto

y acá está el otro punto de intersectan

dos puntos por eso se llama secante de

rectas y cante

para arco qué cosa es un arco allá es

una porción de la circunferencia venga

acá este arco que lo he pintado de

celeste para que se vea es una porción

de la circunferencia es una parte de la

curva nada más

otra cosa haya recta tangente la recta

tangente es una recta pero a diferencia

de la secante solamente se intersecta en

un puntito ven acá en el punto t no el

punto t se llama punto de tangencia y

bueno la recta lte se llama tangente ahí

está muy bien bueno acá están los

elementos no diámetro el radio no el

radio que es el segmento que une el

centro con el borde ahí está

eso es eso vendría a ser la

circunferencia alumnos

a continuación ahora vamos a ver algunas

propiedades

propiedades fundamentales alumnos en

toda la circunferencia se cumplen cinco

propiedades miran acá hay cuatro pero en

el siguiente diapositiva y una más

observen mínimo acá miren esta figura

observen miren acá el radio es o te es

cierto claro es un segmento que une el

centro con el borde de la círculo muy

bien y qué cosas ltd la recta tangente

haya alumnos un radio siempre es

perpendicular a la recta tangente se

acuerdan que la retratan gente así era

una recta que solamente se intersectan

un puntito con la circunferencia que en

este caso es el punto t el punto de

tangencia no entonces el segmento o t

que en este caso vendría a ser el radio

si es perpendicular siempre a la recta

está la gente siempre perpendicular

miren o sea él forma un ángulo de 90

grados ven acá está el ángulo de 90 s

cuadraditos que representa el ángulo

recto el ángulo de 90 grados

miren acá hasta que es perpendicular

este simbolito que está acá alumnos que

parece como una t al revés éste

significa perpendicular o también se le

conoce como ortogonal que significa que

forman

a grado que está en la figura muy bien

ahora la segunda propiedad fundamental

alumnos miren si tú tienes un punto p

exterior a la circunferencia y luego

trazas de ese punto p dos segmentos

tangentes segmentos tangentes que no es

lo mismo que recta y a dos segmentos

tangente ven vea y pp son dos segmentos

que son tangentes y en este caso los

puntos de tangencia son a y b entonces

que se cumple que pea mide lo mismo que

pb 20 ap la medida del segmento p es

igual a la medida del segmento bp y es

igual a aa en este caso no ap es igual a

bp y es igual a por qué profe porque hay

b son puntos de tangencia ip es un punto

exterior a esa circunferencia muy bien

ahora la propiedad 3 observen miren si

yo tengo dos cuerdas se acuerdan que las

cuerdas haya la cuerda profe era un

segmento que une un borde con otro borde

de la circunferencia miren acá las

cuerdas ave y las cuerdas cede ya si yo

tengo dos cuerdas que me en lo mismo

miren la cuerda de mi idea la cuerda se

de mi idea también

si yo tengo dos cuerdas que miden lo

mismo entonces van a generar si dos

arcos que tienen la misma medida mini

acá se acuerdan de los arcos mire si la

medida del segmento ave es igual a la

medida del segmento b c entonces esta

flechita significa entonces alumnos ya

muy bien la medida del arco a ver hay

alumnos no les había dicho eso un arco

se representa como medida de ave miren a

ver pero con una curvita arriba con un

arco ven arco ave celeste arco ave sí y

ese arco se mide en ángulos también ya

en ángulo se mide el arco muy bien y

entonces la medida del arco a ver cuál

es el arco ave esté aquí es igual a la

medida del arco se de cuál es este de

aquí ven la medida del arco ave es igual

a la medida del arco se dé a esta muy

bien muy bien ahora la propiedad 4 que

dice hay alumnos que es la propiedad 4

dice que si yo tengo una cuerda y otras

una perpendicular si una radio

perpendicular min

es un radio y es perpendicular a la

cuerda ve bien si el segmento ave que es

la cuerda es perpendicular al radio

entonces que se cumple a ya profe lo que

se cumple es que aquí es igual que cubre

o sea la medida del segmento aquí es

igual a la media cemento sube ven acá lo

parte a la mitad en este punto q parte a

la mitad

la cuerda ave me ha causado estos miedos

rayitas y ésta mide dos rayitas ven ahí

esta es la puerta propiedad ahora vamos

a ver la quinta propiedad que está en la

siguiente diapositiva quinta propiedad

alumnos ya la última propiedad observen

miren si yo tengo una circunferencia y

dentro de esa circunferencia tengo las

cuerdas a b y c de que son paralelas

miren acá a de paralelo a cede o sea la

cuerda b es paralela a la cuerda sede

entonces los arcos que van a generar

miren que hasta el arco el arco hace y

el arco verde van a tener la misma

longitud en este caso alfano alfa grados

claro porque ya le dije que los arcos se

miden en grados muy bien entonces hace

la medida el arco hace es igual a la

medida del arco

muy bien siguiente alumnos alumnos ya

para finalizar con la clase solamente la

clase la teoría así vamos a ver dos

teoremas muy importantes en primer lugar

el teorema de poncelet alumnos si yo

tengo un triángulo rectángulo abc min

abc eso es un triángulo rectángulo

obviamente si último tramo y yo tengo

una circunferencia inscrita dentro de

ese triángulo que significa inscrita

profe allá es una circunferencia metida

dentro del triángulo si la cual miren si

se dan cuenta los lados del triángulo

rectángulo los catetos y la hipotenusa

son tangentes a la circunferencia ven

acá hay un punto de tangencia acá de

otro punto de acá son tangentes inscrito

quiere decir que está dentro y sus lados

son tangentes a la circunferencia muy

bien que se acredite el teorema de

poncelet en todo triángulo rectángulo a

veces se tiene que la medida de la suma

de los catetos

además b es igual a la medida de la

hipotenusa más dos veces r a este ere se

le conoce como

en radio y en radio el triángulo

rectángulo entonces cateto uno más

cateto dos es igual a la hipotenusa

sumado con el doble del radio y de

adentro significa y de interior y radio

bueno radio radio pues no en radio radio

interior ahí está ese es el teorema de

poncelet ahora el teorema de pitot el

teorema de pitot miren en lugar de que

la circunferencia esté inscrita en un

triángulo rectángulo la casta inscrita

en un cuadrilátero en un trapecio en el

trapezoide abc de en el trapecio está

inscrita que significa que la

circunferencia es tangente hasta los

lados del trapecio ya que se cumple

según el teorema de dice que se

cumple que la suma de ángulo del ángulo

también que la suma de lados opuestos es

la misma o sea que a el lado a sí que es

el abc que mide a más la más b a su lado

opuesto es b es igual a la suma de los

otros dos de más

además b es igual además de ésta este es

el teorema

ahí está muy bien bien alumnos dicho

todo esto vamos a empezar con lo que

ustedes ya saben con los ejercicios muy

bien

ejercicio 1 alumnos dice calcula x en la

figura miren ahí tienes un trapecio de

abc de qué cosa puede aplicar profes lo

que acabamos de ver ahorita pues hasta

la figura es igual el teorema de pitot

ahí está muy bien

por este lado observen alumnos miren

teorema de víctor en en el cuadrilátero

en el cuadrilátero sí porque no no sé si

son cuadrados un rectángulo no

cuadrilátero en general abc de esta

teorema de pitol en el cuadrilátero abc

de que de que decía el teorema de fito

alumnos haya profes lo que decía era que

los dos lados opuestos suman igual que

los otros dos lados opuestos o sea x + x

+ 10 es igual a 16 más 14 no a está

entonces el lado veces que vale x más su

opuesto que vale aquí más 10 x más x +

10 es igual a que a la suma de los otros

dos o sea 16 14

estamos bien alumnos x x 2 x 2 x bueno

más 10 y al otro lado que se tiene en

cuenta el 16 más 14 30 muy bien ese 10

pasa a restar al otro lado me queda 30

menos 16 20 2 x es igual a 20 alumnos

x es igual a cuánto obviamente 20 entre

12 10 10 grados no no pues no son grados

x es un segmento es la medida de un lado

unidad porque acá está nos están dando

en unidades no se olviden de eso alumno

yo siempre de recarte les recalco que

den contexto que le pongan unidades

grados o lo que sea no metros

dependiendo del problema muy bien

siguiente ejercicio alumnos ejercicio 2

calcula x alumnos

este ejercicio es igualito que la

anterior que se hace allá profe

igualito que el anterior efectivamente

lo voy a escribir acá teorema de pitot

en él

el triángulo

cada vez de notre ángel esto no es un

triángulo en 1631 un contrapeso

pero lo voy a poner cuadrilátero en el

cuadrilátero

abc de aya que sea el teorema de pitot

haga profe los opuestos se suman y se

igualan es decir 8 14 8 arriba + 14

abajo es igual a

a los otros dos no a la suma de los

otros 2 x 4 más 2 x x + 4 + 2 x muy bien

ahora alumnos que sigue 8 + 14 22 muy

bien x 42 x acuérdate yo voy a sumar

este x con este 2x y me queda 3x y bueno

más 4 obviamente no el 4 pasa al otro

lado restar me queda 18 es igual a 3 x

cierto cuánto vale x alumnos obviamente

18 entre 3 que es 66 que une da es eso

nada más en vez es muy similar al

ejercicio anterior

muy bien alumnos siguiente ejercicio

ejercicio tres alumnos dice y calcula de

la longitud del perímetro del triángulo

abc además nn y p son puntos de

tangencia muy bien alumnos en primer

lugar voy a aplicar una de las

propiedades se acuerda se acuerdan que

yo les dije que si tienes un círculo no

una circunferencia mejor dicho y tienes

un punto exterior a ella y desde ese

punto traza dos segmentos tangentes esos

segmentos son iguales a ya profe será

una de las propiedades creo que era la

segunda propiedad si no me equivoco si

ya pongan atención alumnos muy bien y si

no miren miren el segmento nc en es

punto de tangencia en ese sí o no que se

es un punto exterior a la circunferencia

osea que cn es igual a pp y cuanto a sn

ya profe por ahí está vale 6 muy bien a

ver esto vale 6 muy bien ahora miren a p

es igual a m no entonces me vale vale5

pues por qué

se está dando que si ahora observen

arriba alumnos

mv es igual a b n no claro por esa

propiedad por la propiedad de los

segmentos tangentes ahí está entonces

esto vale 44.45 con 5 y 6 con 6 ahí está

ya completé mi mi buenos los datos no la

medida de los lados ahora alumnos como

se halla el perímetro de la

circunferencia haya profes simplemente

el perímetro que es 2 p va a ser igual a

la suma de la medida de los segmentos de

la media de lado el lado ave más el lado

veces más el lado hace además de ce más

se está moviendo 2 p acuérdense de que

el perímetro se representa no se

representa con p se representa con 2 p

muy bien alumnos ahora cuánto vale ave

haya profe ave vale 54 que es 9 más

cuánto vale bs profe vale 46 que es 10

muy bien cuánto vale hacer 56 que vale

vale 11 pues muy bien entonces 2

perímetro es igual al 911 cuanto el 9

más 10 19 11 30 pues alumnos 30 qué cosa

grados metros pues alumnos porque

estamos hablando de perímetro y

perímetro de la suma de los lados y los

lados están en metros muy bien alumnos

el siguiente ejercicio

ejercicio 4 alumnos dice calcula xy o el

centro de la circunferencia muy bien

alumnos alumnos o el centro de la

circunferencia a es un punto es un punto

en el borde no un punto de la

circunferencia claro entonces que

significa que es un radio no oa es un

radio y v también es un radio jai a

prophet entonces miren el segmento oa

vale mide r no terminó con la re

mayúscula no importa alumnos si porque

según el libro el radio según el libro

en algunos es radio se representa con

minúscula que en otros con mayúscula por

eso no importa ya cualquiera de los dos

vales escuchen alumnos miren a o es

igual a los radios entonces si se dan

cuenta que se cumple que el triángulo a

v es un insocial es cierto sin profe

porque acá esté al dos lados iguales no

el triángulo isósceles el cual lo voy a

poner por aquí

bueno esto ya saben que el derecho

agrupar ahí está muy bien ahora voy a

poner acá el triángulo

triángulo

si el triángulo

es isósceles muy bien ahí está muy bien

entonces qué significa que seis se les

profe que mira hacia él a leer se lo

pone 30 al r también se lo pone 30 al

otro lado pues alumnos al r a ver a ver

al r se lo pone 30 también no al otro

lado acá también entonces va

talca también 30 alumnos le pongo el

ángulo y acá entonces va 30 30 grados

obviamente no ahí está

y está muy bien

ahí está muy bien para ver nuestro

agruparía está agrupado en el triángulo

ave en el triángulo ave que se cumple a

ya profe se cumple que la suma es 180 la

propiedad fundamental de los triángulos

alumnos mirad acá no se ve bien no a ver

a ver a ver a ver sino que un poquito

pequeñito están ahí está el x y el

castell 30 allá profe acá voy a aplicar

la propiedad del fundamental de los

triángulos que dice allá que la suma de

los ángulos interiores o sea x más 30

más 30 x + 30 más 30 y 180 es la

propiedad fundamental de los triángulos

pues alumnos entonces x más 60 es igual

a 180 el 60 pasar otro de ahorro están

180 menos 60 y 120 muy bien y esa sería

la respuesta me encanta si hago un paso

más 120 que x x qué cosa es es un ángulo

120 grados a esta vez siempre recalcó

que pongan el contexto

siguiente ejercicio alumnos ejercicio 5

calcula la longitud de link radio en el

in radio se acuerdan del teorema de

poncelet ya un radio que decía el

teorema de poncelet queridos alumnos

ya hay a prophet decía que la suma de

los catetos es igual a la hipotenusa más

el doble de un radio a esta graves o

bien en la cabeza ya muy bien

este a ver qué cosa tendría que hacer

acá allá miren en primer lugar tengo el

triángulo rectángulo porque acá es

rectángulo obviamente miran acá está el

ángulo recto que tengo que hacer alumnos

hallar la hipotenusa y como hago eso con

el teorema de pitágoras pues algunos

pitágoras en el triángulo abc muy bien

alumnos la hipotenusa elevada al

cuadrado es igual a que haya profes

igual a el cateto 1 al cuadrado o sea 6

al cuadrado 6 al cuadrado más 8 al

cuadrado no 6 al cuadrado más 8 al

cuadrado muy bien alumnos h es igual a 6

al cuadrado cuánto es 36 cuánto es 8 al

cuadrado 64

callum no me faltó al cuadrado ahí está

ahora h al cuadrado es igual a 100

alumnos

mire si h al cuadrado es igual a 100

cuanto a la raíz de 100 pues algunos es

10 no

h la hipotenusa éste es h h de

hipotenusa no es h de altura ni acá le

voy a cambiar en lugar de h para

evitarnos estas confusiones le voy a

poner ccd claro porque los catetos son

ay b n porque no sé seno ahí está la

hipotenusa vale 1010

obviamente 10 qué cosas unidades pues

alumnos hasta entonces alumnos la

hipotenusa es el segmento hace entonces

esto lo que acabo de hallar vale 10

unidades

ahí está muy bien 10 unidades vale la

hipotenusa muy bien y ahora alumnos

observen que más allá profe tengo que

hacer el teorema de poncelet teorema de

poncelet ahí está el teorema de poncelet

que dice

suma de catetos es igual al hipotenusa

dos veces el en radio suma de catetos 6

+ 8 es igual a 2 la hipotenusa que vale

10 más 2 veces sería en radio más 2

veces se lee en radio a ésta miren 6 + 8

es igual a 10 más 2 veces el radio a él

está muy bien alumnos cuántos 6 814 es

igual a 10 más 2 es muy bien el 10 pasa

al otro lado restar cada cuatro es igual

a 2 terreno finalmente cuánto vale r

alumnos

cuánto vale r allá profe 4 entre 12 2 r

vale 22 qué unidades también porque el

radio es un segmento y el segmento se

mide en unidades en este caso no

unidades dos unidades al el radio muy

bien siguiente ejercicio alumnos

ejercicio ejercicio 6 alumnos calcula xy

el centro de la circunferencia alumnos

acabamos anteriormente de hacer un

ejercicio igualito a este no si profe el

ejercicio 4 era ahí está alumnos si

iverson este punto de la circunferencia

entonces oa es el radio no igualmente o

ve también es el radio y se va a generar

un triángulo isósceles pues algunos un

isósceles se genera muy bien entonces

miren acá

a ver ahí está

[Música]

y ahí está

y bueno a ver ya le pongo el ángulo acá

cuánto mide ese ángulo alumnos si es

isósceles a r se lo pone x r también se

lo pone x pues por lo mismo de que si

sos celes ahí está el triángulo a v

igualito igualito que en el ejercicio

cuatro alumnos y el triángulo ave es

isósceles ahí está ahí está muy bien

bueno acá estaré me está sobrando no

está muy bien alumnos voy a aplicar qué

cosa si en el triángulo

a v que se cumple la propiedad

fundamental de los triángulos x x 40

perdón más 140 es igual a 180 2x es

igual a el 140 pasa al otro lado restar

y queda 180 menos 40 es 42 x es igual a

40 cuánto vale x alumnos vale 20 qué

cosa grado porque x es un ángulo ahí

está bien

ahí está muy bien porque porque el

triángulo isósceles como ya les dije

ejercicio 4 muy bien alumnos siguiente

ejercicio

ejercicio 7 alumnos calcula x si a veces

es un triángulo rectángulo ya profe que

tengo que hacer acá pitágoras no porque

mire acá me falta la medida de este

cateto el cateto ave no sé cuánto mide y

para hallar eso tengo que hacer

pitágoras pues ahí está muy bien teorema

de pitágoras es con mayúscula los

pitágoras en en el triángulo a veces no

encabece nada más le pongo en este caso

a está muy bien que dice haya profe acá

este cateto mi idea no si mi idea

al cuadrado más que más el otro cateto

al cuadrado más 24 al cuadrado es igual

a la hipotenusa que vale 25 acá si te la

dan si 25 al cuadrado muy bien alumnos

ahora al cuadrado es igual a perdón al

cuadrado más 24 al cuadrado cuánto es 24

al cuadrado alumnos para esto voy a

hacer uso de la vieja confiable no la

calculadora sí porque no no es que yo me

sepa cuánto es 24 al cuadrado de memoria

no es 576 576 ahí está muy bien igual 25

al cuadrado cuantos 25 al cuadrado

alumnos el 625 ese sino él aprendiendo

de alumnos

alumnos ahora al cuadrado es igual a el

576 pasa al otro lado a restar no pasa

al otro lado restar y queda cuanto 625

menos 570 y 649 los alumnos entonces

cuánto vale a alumnos cuánto vale el

cateto porque acuérdense de que el a es

el valor del cateto ave no avale cuántos

7 pues algunos siete unidades obviamente

ahí está entonces acá le pongo siete

unidades

20 17 ahí está ahí está ahí está el 7

muy bien ahora sí que puede hacer acá el

teorema el teorema famosísimo teorema de

poncelet a esta que decía igual voy a

poner a teorema de poncelet

que decía el teorema de poncelet allá

profe la suma de los dos catetos en un

triángulo rectángulo es igual a la suma

de la hipotenusa más el doble de radio

cuanto alguien radio acá hay un radio en

este caso vale x no entonces la suma de

los catetos o sea 7 más 24 es igual a 25

más 2 veces el radio él en radio en este

ejercicio vale x este sitio en radio

pues alumno ahí está esa flechita

algunos cuantos 7 24 31 es igual a 25 2x

muy bien el 25 pasa a restar 31 25 y 6

y esto es igual a 2 x muy bien alumnos 6

es igual a 2 x cuánto vale x vale vale 3

pues alumnos vale 33 que uno da es eso

sería la respuesta porque me están

pidiendo calcular x que es el en radio

muy bien siguiente ejercicio alumnos

ejercicio 8 calcula r

elin radio también aquí sí ave es igual

a 5 unidades veces 2 unidades y hace es

13 unidades

miren acá no es necesario aplicar

pitágoras ni siquiera alumnos miren dice

que ab vale

cuánto vale 5 unidades

ahí están muy bien

muy bien veces vale 12 unidades veces

vale 2 unidades muy bien y la hipotenusa

hace cuánto vale 13 unidades miren acá

ni siquiera es necesario que yo haga que

yo haga el teorema de pitágoras miren

este vale a ver lo voy a expandir hasta

tres unidades muy bien acá ya te lo

están dando todo alumnos y dad te lo

están dando todo no es necesario hacer

pitágoras solamente voy a hacer

teorema teoremas de poncelet ahí está el

teorema de poncelet en el triángulo

triángulo

el triángulo

a veces

muy bien qué dice el teorema de ponce

les voy a preguntar voy a preguntar eso

en suma alumnos que es lo que dice allá

profe la suma de los catetos 5 + 12 es

igual a la hipotenusa más dos veces

serían radio elin radio r muy bien

alumnos cuantos 5 + 12 17 y esto es

igual a 13 más dos veces r más 2 r el 13

pasa a restar 17 menos 34 y esto es

igual a 2 r cuánto vale el radio alumnos

el radio cuánto vale el radio vale 4

entre dos es 2 no 2 qué cosa 211 dada

después alumnos y muy bien este

ejercicio estaba más fácil que la

anterior muy bien espero que se me haya

comprendido en su totalidad de alumnos

sí recuerden cualquier cosa me la hacen

me la mela preguntan el zoom muchas

gracias por su atención alumnos nos

vemos en la próxima clase