Relation between Laplace transform, Fourier transform, z-transform, DTFT, DFT and FFT

Summary

En este video, se exploran las transformadas más comunes en la ingeniería eléctrica, como la transformada de Laplace, la transformada de Fourier, la transformada Z, la transformada discreta de Fourier (DFT) y el algoritmo FFT. El objetivo principal es entender cómo estas transformadas están relacionadas entre sí, mostrando cómo una se convierte en un caso especial de otra. Se explica cómo la transformada de Laplace da lugar a la de Fourier, la Z a la DFT y la FFT como un algoritmo eficiente para implementar la DFT. Las aplicaciones específicas de cada una se discutirán en otro video.

Takeaways

• 😀 El script proporciona una visión general de varias transformadas comunes en ingeniería eléctrica y cómo se relacionan entre sí.
• 😀 Se comienza con la transformada de Laplace, que convierte una función de tiempo real en una función de una variable compleja.
• 😀 La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace cuando se restringe la variable compleja 's' a ser puramente imaginaria.
• 😀 La transformada Z es una versión discretizada de la transformada de Laplace y se obtiene al muestrear una señal continua.
• 😀 La relación entre la transformada Laplace y la transformada Z se explica al convertir la transformada de Laplace de una señal continua en la transformada Z de la versión muestreada de la misma.
• 😀 La transformada de Fourier discreta (DFT) es una versión muestreada de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), y se obtiene tomando muestras de la DTFT a intervalos uniformes en la frecuencia.
• 😀 La DTFT es una función continua en la frecuencia, mientras que la DFT es una versión discretizada de la DTFT, con muestras tomadas solo sobre un ciclo de la DTFT.
• 😀 El algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT) no es una transformada por sí misma, sino una implementación eficiente de la DFT.
• 😀 La Z transformada mapea una secuencia de tiempo discreto a un dominio complejo, donde la parte imaginaria se convierte en un círculo unitario en el plano Z.
• 😀 Las aplicaciones de cada una de estas transformadas se discutirán en un video separado, ya que cada transformada tiene aplicaciones específicas para resolver problemas en ingeniería eléctrica.

Q & A

¿Qué es la transformada de Laplace y cómo se aplica en ingeniería eléctrica?

La transformada de Laplace convierte una función en el dominio del tiempo, F(t), en una función en el dominio complejo, f(s). Esta transformación es fundamental en ingeniería eléctrica para analizar sistemas lineales y resolver ecuaciones diferenciales. Existen versiones unilateral y bilateral de la transformada, dependiendo del rango temporal considerado.

¿Cuál es la relación entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier?

La transformada de Fourier es un caso especial de la transformada de Laplace. Se obtiene cuando se restringe la variable 's' de Laplace a valores puramente imaginarios, es decir, cuando la parte real de 's' es cero. Esto nos da una representación de la señal en el dominio de la frecuencia.

¿Qué es la transformada Z y cómo se relaciona con la transformada de Laplace?

La transformada Z es la versión discreta de la transformada de Laplace. Se obtiene al tomar una señal continua y muestrearla a intervalos uniformes. Al aplicar la transformada de Laplace a la señal muestreada, obtenemos la transformada Z. Esencialmente, la transformada Z es la transformada de Laplace de una señal discretizada.

¿Cómo se obtiene la transformada de Fourier discreta (DFT) a partir de la transformada Z?

La DFT es un caso especial de la transformada Z cuando la variable Z se restringe a la circunferencia de radio unitario en el dominio Z. Al evaluar la transformada Z en el círculo unitario, se obtiene la DFT de la señal discretizada.

¿Qué es la transformada de Fourier discreta (DFT) y cómo se obtiene?

La DFT es una versión muestreada de la transformada de Fourier discreta (DTFT). Se obtiene al tomar muestras del DTFT a intervalos uniformes en la frecuencia. El número de muestras que tomamos en la DFT depende de la longitud de la secuencia de entrada X(n).

¿Cuál es la diferencia entre la DFT y la DTFT?

La DTFT es una función continua de la frecuencia, mientras que la DFT es una versión muestreada de la DTFT, con un número finito de puntos tomados de la DTFT. En otras palabras, la DFT es el resultado de discretizar la DTFT.

¿Qué es la transformada rápida de Fourier (FFT)?

La FFT no es una transformada distinta, sino un algoritmo eficiente para calcular la DFT de una secuencia. Es ampliamente utilizada en procesamiento de señales digitales porque mejora significativamente la velocidad de cálculo de la DFT.

¿Qué ocurre cuando la transformada Z se evalúa sobre el círculo unitario?

Cuando la transformada Z se evalúa sobre el círculo unitario (es decir, cuando el valor de Z tiene magnitud 1), la resultante es la transformada de Fourier discreta (DTFT).

¿Por qué la DFT es especialmente útil para implementaciones digitales?

La DFT es útil para implementaciones digitales porque se calcula para secuencias de longitud finita. Esto permite que se pueda implementar eficientemente en hardware digital, como procesadores o FPGA, a diferencia de otras transformadas que no son computables en máquinas digitales debido a la longitud infinita de las secuencias de entrada.

¿Cómo se obtiene la transformada Z de una señal muestreada?

La transformada Z de una señal muestreada se obtiene al aplicar la transformada de Laplace a la versión discretizada de la señal. Al muestrear una señal continua en intervalos regulares, y luego aplicar la transformada de Laplace, se obtiene la transformada Z, que es útil para el análisis de señales discretas en sistemas digitales.