EXERCICE : Factoriser un trinôme - Première

Summary

Dans cette vidéo, l'animateur explique en détail comment factoriser un trinôme, c'est-à-dire une expression polynomiale du second degré. Pour commencer, il rappelle que la possibilité de factorisation dépend du discriminant Delta, calculé à partir des coefficients A, B et C du trinôme. Si Delta est négatif, le trinôme n'a pas de racines et ne peut pas être factorisé. Si Delta est strictement positif, le trinôme a deux racines distinctes X1 et X2, et peut être factorisé en (ax - X1)(x - X2). Le cas où Delta est égal à zéro est également abordé, où le trinôme a une racine double et se factorise en (ax - X0)^2. L'animateur illustre ces concepts avec des exemples concrets, montrant comment calculer les racines et factoriser les trinômes correspondants. Il propose également des astuces pour simplifier les expressions, comme éliminer les fractions. Cette vidéo est un outil précieux pour les étudiants qui cherchent à mieux comprendre et maîtriser la factorisation des trinômes.

Takeaways

• 📚 L'objectif de la vidéo est d'apprendre à factoriser un trinôme, c'est-à-dire une expression du second degré.
• 🔍 La factorisation d'un trinôme dépend du discriminant Δ, qui est calculé comme Δ = b² - 4ac.
• ❌ Si Δ est négatif, le trinôme n'a pas de racines réelles et ne peut pas être factorisé.
• ✅ Si Δ est strictement positif, le trinôme a deux racines réelles distinctes et peut être factorisé en (ax - X1)(x - X2).
• 🔢 Si Δ est égal à zéro, le trinôme a une seule racine réelle qui peut être factorisé en (ax - X0)².
• 🧮 Pour calculer les racines X1 et X2, on utilise la formule X = -b ± √Δ / 2a.
• 📐 L'exemple donné dans la vidéo est le trinôme 2x² - 10x + 12, qui se factorise en (2x - 3)(x - 4).
• 📉 Le deuxième exemple est le trinôme 3x² + 7x + 2, qui, après factorisation, devient (3x - 1/3)(x - 2).
• 📈 Le troisième exemple est le trinôme 4x² + 4x - 8, qui se factorise en (2x - 2)(2x + 4).
• 🎓 Lorsque Δ = 0, comme dans le quatrième exemple 3x² + 2√3x + 1, la racine est unique et on utilise la formule x = -b / 2a pour la calculer.
• 📝 Il est important de simplifier les expressions factorisées pour faciliter le travail avec les trinômes, par exemple en éliminant les fractions.

Q & A

Que signifie factoriser un trinôme du second degré ?

Factoriser un trinôme du second degré signifie écrire l'expression sous la forme de produits de facteurs, qui représentent les racines du polynôme.

Comment le discriminant (Δ) influence-t-il la factorisation d'un trinôme ?

Le discriminant détermine les conditions pour la factorisation. Si Δ est négatif, le trinôme n'a pas de racines réelles et ne peut pas être factorisé. Si Δ est positif, le trinôme a deux racines réelles distinctes et peut être factorisé en (ax - X1)(x - X2). Si Δ est égal à zéro, le trinôme a une racine double et s'écrit sous la forme (ax - X0)^2.

Quelle est la formule générale pour factoriser un trinôme du second degré ax² + bx + c ?

La formule générale pour factoriser un trinôme du second degré est ax² + bx + c = a(x - X1)(x - X2), où X1 et X2 sont les racines du polynôme.

Comment le discriminant est-il calculé pour un trinôme du second degré ?

Le discriminant Δ est calculé selon la formule Δ = b² - 4ac, où a, b et c sont les coefficients du trinôme ax² + bx + c.

Si Δ = 0, que signifie cela pour le trinôme ?

Si Δ = 0, cela signifie que le trinôme a une seule racine double, car il ne peut s'écarter suffisamment pour avoir deux racines distinctes.

Comment les racines d'un trinôme sont-elles déterminées si Δ est positif ?

Si Δ est positif, les racines sont déterminées par la formule X = (-b ± √Δ) / (2a), où le signe ± indique que les deux racines possibles sont obtenues en utilisant le signe plus ou moins respectivement.

Que faire si le coefficient b d'un trinôme est complexe ?

Si le coefficient b est complexe, comme 2√3 dans l'exemple, on doit l'extraire correctement pour calculer le discriminant et les racines. Dans ce cas, le coefficient b est 2√3 et non simplement 2.

Comment simplifie-t-on une expression factorisée contenant des fractions ?

On peut simplifier une expression factorisée contenant des fractions en cherchant à éliminer le dénominateur. Par exemple, en multipliant tous les termes par le dénominateur, on peut transformer une fraction en un entier.

Quels sont les avantages de factoriser un trinôme ?

Factoriser un trinôme permet de simplifier l'expression, de faciliter le calcul de ses racines et d'envisager plus facilement des solutions pratiques pour des problèmes mathématiques ou des applications scientifiques.

Comment le coefficient a d'un trinôme influence-t-il la factorisation ?

Le coefficient a détermine le facteur commun de chaque terme du trinôme une fois factorisé. Par exemple, si a = 2, le facteur commun pour ax² + bx + c sera 2x.

Que faire si Δ est nul et le trinôme a une racine unique ?

Si Δ est nul, le trinôme a une racine unique qui peut être trouvée en utilisant la formule X0 = -b/(2a). L'expression factorisée sera de la forme (ax - X0)^2.