Lec - 25 B - Examples of Quadratic Functions

Summary

In diesem Video wird die Anwendung quadratischer Funktionen erläutert, beginnend mit der Bestimmung von Minimal- oder Maximalwerten einer Funktion und der Berechnung des Bereichs und der Domäne. Ein praktisches Beispiel wird vorgestellt, bei dem ein Tourbusunternehmen in Chennai seine Preise anpasst, um den Gewinn zu maximieren. Es wird gezeigt, wie quadratische Gleichungen verwendet werden, um optimale Preisstrategien zu entwickeln, und wie der Vertex einer Parabel zur Berechnung des maximalen Gewinns genutzt wird. Schließlich wird die allgemeine Idee des Anstiegs einer quadratischen Funktion behandelt, wobei die Konzepte aus linearen Funktionen auf quadratische übertragen werden.

Takeaways

• 😀 Das Beispiel zeigt, wie man den Minimal- oder Maximalwert einer quadratischen Funktion findet. Der Funktionswert ist Minimum, wenn der Koeffizient von x² positiv ist.
• 😀 Der Scheitelpunkt einer Parabel wird mit der Formel x = -b / 2a berechnet, um den Minimal- oder Maximalwert der Funktion zu finden.
• 😀 Für die quadratische Funktion f(x) = x² - 6x + 9 ergibt der Scheitelpunkt bei x = 3 einen Funktionswert von 0.
• 😀 Der Definitionsbereich (Domain) einer quadratischen Funktion ist immer die gesamte reelle Zahlengerade (ℝ).
• 😀 Der Wertebereich (Range) einer Parabel mit positivem a (die Parabel öffnet nach oben) ist der Bereich von der Minimalwert bis unendlich.
• 😀 Ein praktisches Beispiel zeigt, wie man den Preis einer Busfahrt optimiert, um den Gewinn zu maximieren, indem die Anzahl der Kunden und der Fahrpreis modelliert werden.
• 😀 Wenn der Preis für jede Fahrt um 4 Rs steigt, verliert das Unternehmen 10 Kunden pro Tag, was in einer quadratischen Einkommensfunktion modelliert wird.
• 😀 Die quadratische Einkommensfunktion des Unternehmens hat die Form I(x) = -40x² + 1600x + 20000, mit dem maximalen Gewinn, der am Scheitelpunkt der Parabel erreicht wird.
• 😀 Der optimale Wert für die Anzahl der Preiserhöhungen x, der den maximalen Gewinn erzielt, wird durch die Formel x = -b / 2a ermittelt, wobei a = -40 und b = 1600.
• 😀 Das Ergebnis zeigt, dass das Unternehmen den Fahrpreis um 80 Rs erhöhen sollte, um den maximalen Gewinn zu erzielen, was zu einem neuen Fahrpreis von 120 Rs führt.
• 😀 Der Begriff der Steigung in einer linearen Funktion wird in der quadratischen Funktion erweitert, wobei die Steigung an jedem Punkt der Parabel durch die Ableitung der Funktion gegeben ist.

Q & A

Was ist die Domain der quadratischen Funktion f(x) = x² - 6x + 9?

Die Domain der Funktion ist die gesamte reale Zahlengerade (R), da keine Einschränkungen für x existieren.

Was ist der Wertebereich (Range) der Funktion f(x) = x² - 6x + 9?

Der Wertebereich der Funktion ist alle Werte größer oder gleich 0, da die Parabel nach oben geöffnet ist und der Minimum-Wert an der Spitze der Parabel bei y = 0 liegt.

Wie bestimmt man den Minimalwert einer quadratischen Funktion?

Der Minimalwert einer quadratischen Funktion wird am Scheitelpunkt (Vertex) der Parabel erreicht. Für f(x) = x² - 6x + 9 liegt der Scheitel bei x = 3, und der minimalste Funktionswert ist 0.

Warum hat die Funktion f(x) = x² - 6x + 9 einen Minimumwert und keinen Maximumwert?

Da der Koeffizient von x² positiv ist (a = 1), öffnet die Parabel nach oben, was bedeutet, dass sie einen Minimalwert hat. Es gibt keinen Maximumwert, da die Parabel nach oben geht und die Funktionswerte unendlich groß werden können.

Was ist die allgemeine Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel?

Die allgemeine Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel lautet x = -b / (2a), wobei a der Koeffizient von x² und b der Koeffizient von x ist.

Wie wird der Gewinn in der Tourbus-Beispielaufgabe berechnet?

Der Gewinn wird berechnet, indem die Anzahl der Passagiere (500 - 10x) mit dem Fahrpreis (40 + 4x) multipliziert wird. Die resultierende Gewinnfunktion ist G(x) = (500 - 10x)(40 + 4x).

Wie wird der optimale Fahrpreis im Tourbus-Beispiel ermittelt?

Der optimale Fahrpreis wird durch Bestimmen des Scheitelpunkts der Gewinnfunktion ermittelt. Der Scheitelpunkt wird bei x = 20 erreicht, was bedeutet, dass der Fahrpreis um 80 Rupien (20 x 4) erhöht werden sollte, sodass der neue Fahrpreis 120 Rupien beträgt.

Warum ist der Gewinn im Tourbus-Beispiel maximal, wenn die Parabel nach unten öffnet?

Da der Koeffizient von x² negativ ist (a = -40), öffnet die Parabel nach unten. Das bedeutet, dass der Gewinn an einem bestimmten Punkt (dem Scheitelpunkt) maximal ist und dann wieder abnimmt, wenn die Anzahl der Passagiere weiter sinkt.

Wie berechnet man den x-Wert des Scheitelpunkts für die Gewinnfunktion im Tourbus-Beispiel?

Der x-Wert des Scheitelpunkts wird mit der Formel x = -b / (2a) berechnet. In diesem Fall ist b = 1600 und a = -40, was x = 20 ergibt.

Wie hängt der Anstieg (Steigung) einer quadratischen Funktion von ihrem Scheitelpunkt ab?

Die Steigung einer quadratischen Funktion ist nicht konstant, sondern verändert sich je nach Position auf der Parabel. Die Steigung kann als die erste Ableitung der Funktion betrachtet werden und ist am Scheitelpunkt null, da die Funktion dort einen lokalen Extremwert erreicht.