Sumas de Riemann de punto medio | Khan Academy en Español

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5 Sept 201705:35

Summary

TLDREl vídeo explica cómo aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Se elige la función e^x = x^2 + 1 y se divide el intervalo [-1, 2] en tres partes iguales. Se presentan diferentes métodos para calcular las alturas de los rectángulos: usando el punto medio, el punto a la izquierda o el punto a la derecha de cada intervalo. Se muestra que cuanto más rectángulos se usen, más precisa será la aproximación al área real. La regla del punto medio se menciona como una técnica para mejorar las aproximaciones.

Takeaways

📊 El objetivo del vídeo es aprender a aproximar el área bajo una curva usando rectángulos.
🔢 Se utiliza la función e = x^2 + 1 para ilustrar cómo calcular el área bajo la curva.
⌛ Se divide el intervalo de -1 a 2 en tres secciones iguales para facilitar el cálculo.
📐 Se sugiere usar el valor de la función en el punto medio de cada intervalo para definir las alturas de los rectángulos.
📈 Se calcula el área del primer rectángulo como (-0.5)^2 + 1 veces la base, dando un área de 1.25.
📉 Se hace una comparación entre el área calculada con el punto medio y los puntos a la izquierda o derecha del intervalo.
🔄 Se menciona que se pueden usar más rectángulos para mejorar la aproximación del área.
📋 Se explica que la 'regla del punto medio' es una técnica para aproximar el área bajo la curva.
📉 Se ejemplifica cómo el uso de los puntos a la izquierda y derecha puede dar áreas diferentes y afectar la aproximación.
📖 Se enfatiza que el número de rectángulos utilizados influirá en la precisión de la aproximación del área.

Q & A

¿Cuál es la función utilizada en el ejemplo del vídeo?
-La función utilizada es f(x) = x² + 1.
¿Qué área bajo la curva se está calculando?
-Se está calculando el área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 entre x = -1 y x = 2.
¿Cómo se divide el intervalo para aproximar el área?
-El intervalo se divide en tres partes iguales, con una base de 1 para cada rectángulo.
¿Qué método se utiliza primero para aproximar el área de los rectángulos?
-Primero se utiliza el método del punto medio, donde la altura de cada rectángulo se calcula usando el valor de la función en el punto medio de la base.
¿Cuáles son las alturas de los rectángulos cuando se usa el punto medio?
-Las alturas son 5/4, 5/4, y 13/4 para los tres rectángulos respectivamente.
¿Cuál es el área total aproximada utilizando el método del punto medio?
-El área total aproximada utilizando el método del punto medio es de 23/4, o 5 enteros y 3/4.
¿Qué otro método se menciona para calcular el área bajo la curva?
-Se menciona el método de usar los puntos a la izquierda de cada intervalo para calcular la altura de los rectángulos.
¿Qué área se obtiene usando los puntos a la izquierda del intervalo?
-Usando los puntos a la izquierda, el área total aproximada es de 5.
¿Cómo varía el resultado al usar los puntos a la derecha del intervalo?
-Usando los puntos a la derecha, el área total aproximada es de 8, lo que resulta en una sobreestimación del área real.
¿Cómo se puede mejorar la aproximación del área bajo la curva?
-Se puede mejorar la aproximación utilizando más rectángulos con bases más pequeñas, lo que proporcionará una mejor precisión.

Outlines

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📊 Aprendiendo a aproximar áreas bajo curvas

El vídeo explica cómo aproximar el área bajo una curva usando rectángulos. Se elige la función e^(x^2) + 1 y se divide el intervalo [-1, 2] en tres partes iguales. Se calcula el área de tres rectángulos con la misma base de 1 unidad, usando el valor de la función en el punto medio de cada intervalo para definir las alturas. Se explica que para mejorar la aproximación, se deben usar más rectángulos. Se calculan áreas para cada rectángulo con alturas obtenidas del punto medio: el primero con una altura de 1.25, el segundo de 1.25 y el tercero de 13/4, sumando un total de 23/4 o 5.75. Esto se conoce como el método del punto medio.

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🔍 Otras formas de aproximar áreas

Se menciona que hay otras formas de aproximar el área bajo la curva, como usar el punto a la izquierda o a la derecha de cada intervalo. Se hace un ejemplo rápido para ilustrar cómo se calcularía el área si se usan los puntos a la izquierda, obteniendo un área total de 5. También se calcula el área usando los puntos a la derecha, obteniendo un total de 8. Se destaca que estas aproximaciones pueden ser por encima del área real y que con más rectángulos y bases más delgadas, se obtiene una mejor aproximación al área real bajo la curva.

Mindmap

Keywords

💡área bajo la curva

La 'área bajo la curva' es un concepto fundamental en matemáticas, especialmente en análisis y cálculo integral. Se refiere a la cantidad de espacio que se encuentra debajo de una curva y por encima del eje de abscisas en un plano cartesiano. En el vídeo, se busca aproximar este área para la función e^x = x^2 + 1, lo cual es central para entender cómo se aproxima la integral definida.

💡aproximación

La 'aproximación' es el proceso de estimar un valor o cantidad de manera no exacta, pero cercana a la verdad. En el vídeo, se utilizan diferentes métodos para aproximar el área bajo la curva, como el uso de rectángulos, lo cual es esencial para entender los métodos de cálculo integral.

💡función

Una 'función' es una relación entre dos conjuntos en la cual cada elemento del primer conjunto está asociado a exactly un elemento del segundo conjunto. En el vídeo, la función e^x = x^2 + 1 es la que se está analizando para encontrar el área bajo su curva.

💡rectángulos

Los 'rectángulos' son formas geométricas utilizadas en el vídeo para aproximar el área bajo la curva. Se dividen el intervalo en secciones iguales y se usan rectángulos con esas bases para estimar el área, mostrando una técnica de suma de áreas de rectángulos para aproximar integrales.

💡punto medio

El 'punto medio' de un intervalo se utiliza en el vídeo para calcular la altura de los rectángulos en la aproximación del área. Se toma el valor medio del intervalo y se evalúa la función en ese punto, siendo un método para estimar la altura de los rectángulos.

💡regla del punto medio

La 'regla del punto medio' es una técnica de cálculo integral que se menciona en el vídeo. Consiste en usar el valor de la función en el punto medio de cada subintervalo para estimar la altura de los rectángulos que se utilizan para aproximar el área bajo la curva.

💡punto a la izquierda/derecha

Los 'puntos a la izquierda/derecha' de un intervalo son mencionados en el vídeo como alternativas para calcular la altura de los rectángulos. Se evalúa la función en el extremo izquierdo o derecho del intervalo para obtener una estimación de la altura, proporcionando diferentes aproximaciones al área.

💡intervalo

Un 'intervalo' es un conjunto de números que se encuentran entre dos extremos, que pueden ser inclusivos o exclusivos. En el vídeo, el intervalo [-1, 2] se divide en tres secciones iguales para usar en la aproximación del área bajo la curva.

💡suma

La 'suma' es una operación aritmética que se utiliza para combinar valores numéricos. En el vídeo, se suman las áreas de los rectángulos individuales para obtener una aproximación del área total bajo la curva.

💡aproximación por arriba

Una 'aproximación por arriba' es una estimación que siempre es igual o mayor que el valor real que se está estimando. En el vídeo, se menciona que al usar los puntos a la derecha del intervalo, se obtiene una aproximación por arriba del área bajo la curva.

Highlights

El objetivo del vídeo es aproximar el área bajo la curva de una función.

Se utiliza la función e^x = x^2 + 1 como ejemplo.

El intervalo de x es de -1 a 2.

Se divide el intervalo en tres secciones iguales para usar rectángulos.

Se explica la aproximación del área usando tres rectángulos con la misma base.

Se define la altura de cada rectángulo usando el valor de la función en el punto medio de la base.

Se calcula el área del primer rectángulo usando el punto medio -0.5, obteniendo un área de 1.25.

Se calcula el área del segundo rectángulo usando el punto medio 0.5, obteniendo un área de 1.25.

Se calcula el área del tercer rectángulo usando el punto medio 1.5, obteniendo un área de 3.25.

Se suman las áreas de los tres rectángulos para obtener una aproximación total de 5.75.

Se menciona la regla del punto medio para calcular la altura de los rectángulos.

Se sugiere que más rectángulos resultan en una mejor aproximación.

Se explica que también se pueden usar los puntos a la izquierda o a la derecha de cada intervalo para definir las alturas.

Se calcula el área usando los puntos a la izquierda, obteniendo un total de 5.

Se calcula el área usando los puntos a la derecha, obteniendo un total de 8.

Se destaca que el uso de puntos a la derecha da una aproximación por encima del área real.

Se enfatiza la importancia de entender las diferentes formas de calcular el área aproximada.

Se concluye que el número de rectángulos utilizados afecta la precisión de la aproximación.