TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA. HD
Summary
TLDREste vídeo explica conceptos de cálculo diferencial, como la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea de una función. Se define la tasa de variación media como el cociente entre el cambio en la función y el cambio en el dominio, y cómo coincide con la pendiente de la recta que une dos puntos. Se ilustra con el ejemplo de la función f(x) = x^3 - 3x + 2 en el intervalo [-2, 2]. Posteriormente, se aborda la tasa de variación instantánea, que se obtiene al aproximar el intervalo y calcular el límite cuando el intervalo tiende a cero, demostrando con la función f(x) = x^3 + 2x + 68 en el punto x = 1.
Takeaways
- 📐 La tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo cerrado [a, b] se define como el cociente \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).
- 📈 La tasa de variación media también coincide con la pendiente de la recta que une los puntos \((a, f(a))\) y \((b, f(b))\).
- 🔢 Se calcula un ejemplo con la función \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) en el intervalo cerrado [-2, 2], obteniendo una tasa de variación media de -3.
- 📉 La pendiente de la recta que pasa por los puntos correspondientes a los extremos del intervalo es un método visual para encontrar la tasa de variación media.
- 📌 La tasa de variación instantánea se obtiene cuando el intervalo cerrado se hace muy pequeño, es decir, cuando \(h\) tiende a 0.
- 🎯 La tasa de variación instantánea en un punto \(a\) se define como el límite de la tasa de variación media en el intervalo cerrado \([a, a+h]\) cuando \(h\) tiende a 0.
- ✏️ Se usa el ejemplo de la función \(f(x) = x^3 + 2x + 68\) para ilustrar cómo calcular la tasa de variación instantánea en un punto específico, obteniendo un resultado de 4.
- 📘 Se explica que para encontrar la tasa de variación instantánea se sustituye \(x\) por \(a+h\) en la función y se toma el límite cuando \(h\) tiende a 0.
- 📖 Se enfatiza la importancia de factorizar y simplificar al encontrar la tasa de variación instantánea para obtener la derivada de la función en un punto.
- 👍 Se invita a los espectadores a dar like y suscribirse para recibir más contenido similar.
Q & A
¿Qué es la tasa de variación media de una función?
-La tasa de variación media de una función f en el intervalo cerrado [a, b] se define como el cociente (f(b) - f(a)) / (b - a) y coincide con la pendiente de la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
¿Cómo se calcula la tasa de variación media de la función f(x) = x^3 - 3x + 2 en el intervalo cerrado [-2, 2]?
-La tasa de variación media se calcula como (f(2) - f(-2)) / (2 - (-2)), donde f(2) = 2^3 - 3*2 + 2 = 0 y f(-2) = (-2)^3 - 3*(-2) + 2 = 12. Entonces, la tasa de variación media es (0 - 12) / (2 - (-2)) = -3.
¿Cuál es la relación entre la tasa de variación media y la pendiente de una recta?
-La tasa de variación media de una función en un intervalo cerrado coincide con la pendiente de la recta que une los puntos correspondientes a los extremos del intervalo.
¿Qué representa la tasa de variación instantánea de una función?
-La tasa de variación instantánea de una función en un punto a es el límite cuando h tiende a 0 de (f(a+h) - f(a)) / (h), y representa cómo cambia la función en ese punto específico.
¿Cómo se calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x) = x^3 + 2x + 68 en x = 1?
-La tasa de variación instantánea en x = 1 se calcula como el límite cuando h tiende a 0 de (f(1+h) - f(1)) / h, donde f(1+h) = (1+h)^3 + 2*(1+h) + 68 y f(1) = 1^3 + 2*1 + 68 = 71.
¿Qué es la diferencia entre la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea?
-La tasa de variación media es una medida de cambio en un intervalo cerrado, mientras que la tasa de variación instantánea es una medida de cambio en un punto específico, obtenida al aproximar el intervalo al infinitesimal.
¿Por qué la tasa de variación instantánea se considera que tiende a un número constante cuando el intervalo es muy pequeño?
-Cuando el intervalo cerrado AB se hace muy pequeño, la tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea, que es una medida de la tasa de cambio en un punto específico y se considera un número constante.
¿Cómo se relaciona la tasa de variación instantánea con la derivada de una función?
-La tasa de variación instantánea en un punto es equivalente a la derivada de la función en ese punto, que es el concepto matemático que describe la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
¿Qué significa que la tasa de variación instantánea de una función en un punto sea cero?
-Si la tasa de variación instantánea de una función en un punto es cero, significa que la función no está cambiando en ese punto, es decir, la tangente en ese punto es horizontal.
¿Cómo se determina si una función es creciente o decreciente en un intervalo dado a partir de su tasa de variación media?
-Si la tasa de variación media de una función en un intervalo dado es positiva, la función es creciente en ese intervalo. Si es negativa, la función es decreciente.
Outlines
📊 Introducción a la Tasa de Variación Media
Este párrafo introduce el concepto de la tasa de variación media de una función en un intervalo cerrado [a, b]. Se explica que esta tasa se define como el cociente entre el cambio en los valores de la función en los puntos extremos del intervalo dividido por la longitud del intervalo. También se menciona que este valor coincide con la pendiente de la recta que une los puntos correspondientes en la gráfica de la función. Se presenta un ejemplo con la función f(x) = x^3 - 3x + 2 en el intervalo [-2, 2], calculando la tasa de variación media como -3, demostrando que este valor coincide con la pendiente de la recta entre los puntos P(-2, 12) y Q(2, 0).
📉 Tasa de Variación Instantánea
Aquí se aborda la tasa de variación instantánea, que se obtiene cuando el intervalo [a, b] se hace infinitesimalmente pequeño, es decir, cuando b tiende a a. Se explica que la tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el tamaño del intervalo tiende a cero. Se muestra un ejemplo con la función f(x) = x^3 + 2x + 68, calculando la tasa de variación instantánea en el punto x = 1 mediante el límite del cociente de diferencias. Tras realizar los cálculos, se obtiene que la tasa de variación instantánea en x = 1 es 4.
Mindmap
Keywords
💡Tasa de variación media
💡Tasa de variación instantánea
💡Función
💡Intervalo cerrado
💡Pendiente
💡Límite
💡Derivada
💡Cociente
💡Recta
💡Incremento
💡Línea tangente
Highlights
Definición de la tasa de variación media de una función.
Relación entre tasa de variación media y pendiente de la recta que une dos puntos.
Ejemplo de cálculo de tasa de variación media para la función f(x) = x^3 - 3x + 2 en el intervalo cerrado [-2, 2].
Resultado de la tasa de variación media para el ejemplo dado: -3.
Coincidencia entre la tasa de variación media y la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q.
Introducción a la tasa de variación instantánea.
Definición de la tasa de variación instantánea como el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo se hace muy pequeño.
Ejemplo de cálculo de la tasa de variación instantánea para la función f(x) = x^3 + 2x + 68 en el punto x = 1.
Paso a paso para encontrar la tasa de variación instantánea en x = 1.
Resultado de la tasa de variación instantánea para el ejemplo dado: 4.
Importancia de la tasa de variación instantánea en el análisis de funciones.
Método para aproximar la tasa de variación instantánea cuando el intervalo es muy pequeño.
Explicación de cómo se calcula el límite en la tasa de variación instantánea.
Uso de la función f(x) = x^3 + 2x + 68 para ilustrar la idea de la tasa de variación instantánea.
Cálculo del límite cuando h tiende a 0 para encontrar la tasa de variación instantánea.
Conclusión del vídeo con un saludo y una invitación a suscribirse.
Transcripts
Hola a todos y bienvenidos a un vídeo en
el que vamos a ver la tasa de variación
media y tasa de variación instantánea de
una
función empezamos viendo la tasa de
variación media dada la función igual a
f de X la tasa de variación media
de f dex en el intervalo cerrado
AB la tasa de variación
media de la función f en el intervalo
cerrado AB se va a definir como el
cociente de
fdb men fda a parido B - a y además va a
coincidir con la pendiente de la recta
que une los puntos el punto p que va a
ser el a f de
a y el punto Q que va a ser el punto B F
de
B vamos a ver un ejemplo vamos a
calcular la tasa de variación media de
la
función = a x cu - 3x + 2 en el
intervalo cerrado -2 2 así pues la tasa
de variación media de f en el intervalo
cerrado de -2 2 va a ser igual a F de 2
- F de -2
partido 2 - -2 que es 2 + 2 y F de 2 va
a ser igual a 2 cu - 3 * 2 + 2 hemos
sustituido las x por doses Y tenemos 4 -
6 - 2 y -2 + 2 es 0 y F de -2
sustituimos ahora las x por -2 y
tendríamos
-2 cuadrado
-3 * -2 + 2 -2 cu es 4 -3 * -2 es + 6 4
+ 6 10 + 2 12 así pues va a ser igual a
0 - 12 paro 4 y eso es -3 y vamos a ver
que efectivamente coincide con la
pendiente de los de la recta que pasa
por p y por q el punto p va a ser el
punto a era -2 y F de -2 es 12 y el
punto q va a ser el 2 0 Y así pues la
pendiente va a ser igual al incremento
de I partido el incremento de X Y eso es
igual a 0 - 12 Part 2 - -2 y eso es -1
par 4 y vemos Que Efectivamente es -3
vemos cómo coincide la tasa de variación
media con la pendiente de la recta así
pues la tasa de variación media de esta
función en el intervalo -2 2 es
-3 vamos a pasar ahora a ver la tasa de
variación instantánea cuando el extremo
final del intervalo B Se aproxima mucho
al extremo inicial o lo que es lo mismo
cuando el intervalo cerrado AB es muy
pequeñito Entonces el número constante
al que tiende es la tasa de variación
instantánea así pues la tasa de
variación
instantánea de f en un punto a va a ser
igual al límite cuando h tiende a oer de
la tasa de variación media de la función
en el intervalo cerrado a a + h y eso ya
es igual al límite cuando h tiende a 0
de F de a + H - F de a pardo a + h - a
que es
H vamos a pasar a ver un ejemplo que
dice así dada la función
FX = a x cu + 2x + 68 nos pide calcular
la tasa de variación instantánea en un
así pues tenemos que
hacer la tasa de variación instantánea
en un que es igual al límite
cuando h tiende a 0 D F de 1 +
h menos F de 1 partido de h y vamos con
f de 1 + h y lo que tenemos que hacer es
poner la función y donde veamos x poner
1 + h Entonces tenemos 1 + h al cuadr +
2 * 1 + h + 68 y - F de 1 si sustituimos
las x por 1 nos quedará 1 cu que es 1 +
2 * 1 +
68 y todo ello partido de h y ya
empezamos a operar y
tenemos el límite cuando h tiende a 0 de
1 + h cu es 1 + 2 h + H cu puesto que es
una un producto notable má 2 * 1 + h es
2 + 2h + 68 y ahora menos Y tenemos 1 cu
es 1 + 2 * 1 es 2 1 + 2 3 3 + 68 que es
71 partido de h y aquí ya tenemos que
1 + 2 y + 68 es 71 que se va con este
-71 por lo que nos queda el límite
cuando h tiende a 0 d lo colocamos Y
tenemos H cuadrado + 4h paro de h y ya
sacamos factor común en el numerador al
h y tenemos el límite cuando h tiende a
cer de H que multiplica H + 4 partido de
H esta H se va con esta h y ya si
sustituimos la H por 0 tenemos 0 + 4 que
es 4 y esta ya va a ser la tasa de
variación instantánea de esa función en
un hasta aquí Este vídeo Like si os ha
sido útil y suscribiros al al para
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