GRAFICA DE FUNCIÓN COSENO
Summary
TLDREl guion del video explica cómo graficar la función coseno, una de las seis funciones trigonométricas, utilizando una circunferencia unitaria y dividida en ocho partes para representar ángulos de 0 a 360 grados. Se detalla cómo determinar los valores del coseno para estos ángulos, proyectándolos sobre el eje X y utilizando una tabla de valores. La gráfica resultante muestra un comportamiento decreciente en los primeros y segundos cuadrantes y creciente en los terceros y cuartos, con un periodo de 360 grados o 2 pi radianes.
Takeaways
- 📐 La función coseno es una de las seis funciones trigonométricas fundamentales.
- 🌐 Se utiliza una circunferencia concéntrica y unitaria para determinar las longitudes de las líneas trigonométricas.
- 🔄 La circunferencia se divide en ocho partes, cada una correspondiente a un ángulo de 45 grados.
- 📏 Se toma como referencia el eje X para dividir la longitud en partes iguales a las divisiones de la circunferencia.
- 📈 Se crean puntos de referencia en el eje X basándose en los ángulos y sus correspondientes valores del coseno.
- 📉 El coseno de 0 grados es 1, y se representa en el punto de la gráfica (1, 0).
- 📊 El coseno de 90 grados es 0, lo que se refleja en el punto de la gráfica (0, 0).
- 📌 En el segundo cuadrante, los valores del coseno son negativos y la gráfica se comporta de manera decreciente.
- 🔄 En el tercer cuadrante, los valores del coseno también son negativos, pero la gráfica se comporta de manera creciente.
- 🔄 En el cuarto cuadrante, los valores del coseno son positivos y se siguen comportando de manera creciente.
- 🔁 El periodo de la función coseno es de 360 grados o 2π radianes, y se repite cada vez que se completa un ciclo completo.
Q & A
¿Qué es una circunferencia concéntrica en el contexto de la función coseno?
-Una circunferencia concéntrica es aquella cuyo centro de curvatura está en el origen del plano cartesiano, es decir, en el punto (0,0).
¿Qué significa que una circunferencia sea unitaria?
-Que la circunferencia tiene un radio de longitud uno, lo que significa que la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia es 1.
¿Por qué se divide la circunferencia en múltiplos de cuatro?
-Porque el plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes, y para representar los ángulos es conveniente dividir la circunferencia de forma proporcional a esos cuadrantes.
¿Cuántos grados tiene cada porción al dividir la circunferencia en 8 partes?
-Cada porción de la circunferencia representa 45 grados al dividir los 360 grados de la circunferencia en 8 partes.
¿Qué es la línea trigonométrica coseno?
-Es una línea que representa los valores del coseno de diferentes ángulos, proyectados sobre el eje X del plano cartesiano.
¿Cuál es el valor del coseno de 45 grados?
-El coseno de 45 grados es aproximadamente 0.7, lo que significa que la proyección del ángulo sobre el eje X tiene esa longitud.
¿Qué sucede con el coseno a medida que avanzamos en los primeros dos cuadrantes?
-En los primeros dos cuadrantes, el valor del coseno disminuye, lo que se refleja en una gráfica decreciente.
¿Qué ocurre con la gráfica del coseno en el tercer cuadrante?
-En el tercer cuadrante, la gráfica del coseno comienza a aumentar nuevamente, a diferencia de los primeros dos cuadrantes donde decrece.
¿Cómo se comporta la gráfica del coseno en el cuarto cuadrante?
-En el cuarto cuadrante, la gráfica del coseno sigue creciendo y alcanza valores positivos, acercándose nuevamente a 1 en 360 grados.
¿Qué representa el periodo de la función coseno?
-El periodo de la función coseno es el intervalo en el que la gráfica completa un ciclo, que es de 360 grados o 2π radianes.
Outlines
📐 Introducción a la función coseno y la circunferencia unitaria
Este párrafo introduce la gráfica de la función coseno, explicando su fórmula \(y = \cos(x)\). Se menciona la importancia de las líneas trigonométricas y cómo se determinan a partir de una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia con centro en el origen y un radio de valor 1. También se explica que la circunferencia se divide en múltiplos de cuatro debido a los cuadrantes del plano cartesiano, resultando en divisiones de 45 grados para obtener las preimágenes que permitirán graficar el coseno.
📏 Construcción de la gráfica utilizando el eje X
En este párrafo se detalla cómo se proyectan las preimágenes de los ángulos sobre el eje X para obtener los valores numéricos del coseno. Se menciona que al proyectar el ángulo de 45 grados sobre el eje X, se obtiene un valor de coseno de 0,7. Luego, se explica cómo este valor se utiliza para medir la longitud correspondiente y colocar el punto en la gráfica. De manera similar, se analiza el coseno de 0 grados, que da un valor de 1, y el de 90 grados, que es 0, completando así la gráfica para el primer cuadrante.
📉 Gráfica decreciente en los primeros cuadrantes
Este párrafo describe cómo se comporta la gráfica en el segundo cuadrante. Al proyectar el ángulo de 135 grados sobre el eje X, se obtiene un valor de coseno de -0,7 debido a que el punto está en el lado izquierdo del origen. También se analiza el ángulo de 180 grados, cuyo coseno es -1. Se indica que la gráfica sigue una tendencia decreciente en los primeros dos cuadrantes, creando una curva continua. Se menciona que para el ángulo de 225 grados, el coseno es nuevamente -0,7.
📈 Gráfica creciente en los cuadrantes finales
En este párrafo se cubre la gráfica en el tercer y cuarto cuadrante. Se explica cómo el coseno de 270 grados es 0, y cómo la gráfica cambia de comportamiento en el tercer cuadrante, volviéndose creciente. Luego, en el cuarto cuadrante, se describe el ángulo de 315 grados, cuyo coseno es 0,7, y el de 360 grados, que repite el valor de 0 grados, es decir, 1. Finalmente, se concluye que la gráfica completa del coseno tiene una amplitud de 1 y un periodo que se repite cada 360 grados o \(2\pi\) radianes.
💡 Conclusión sobre la gráfica del coseno
El párrafo final resume que la amplitud de la gráfica de \(y = \cos(x)\) oscila entre -1 y 1, y que el ciclo se repite cada 360 grados o \(2\pi\) radianes. Además, el video concluye con un mensaje reflexivo sobre la importancia de la misericordia y la humildad en nuestros corazones, conectando el proceso de graficar con valores espirituales.
Mindmap
Keywords
💡Coseno
💡Función trigonométrica
💡Circunferencia
💡Concéntrica
💡Unitaria
💡Cuadrante
💡Ángulo
💡Preimágenes
💡Línea trigonométrica
💡Amplitud
💡Período
Highlights
Se explican las propiedades de la circunferencia unitaria, que es concéntrica y tiene un radio de 1.
La circunferencia se divide en 8 partes, cada una representando 45 grados, facilitando el análisis de ángulos clave.
Se utiliza una tabla con dos columnas: una para los ángulos y otra para los valores numéricos del coseno de esos ángulos.
Se explica que el coseno de 45 grados es aproximadamente 0.7, utilizando una proyección sobre el eje X.
Para 90 grados, el valor del coseno es 0, lo cual se determina proyectando el lado final del ángulo sobre el eje X.
Se presenta el concepto de decrecimiento del coseno en el primer y segundo cuadrante de la circunferencia.
A 135 grados, el coseno toma un valor de -0.7 debido a la proyección del ángulo sobre el eje X en el lado izquierdo.
El coseno de 180 grados es -1, lo que se deriva de la proyección del ángulo sobre el eje X.
La gráfica del coseno es una línea continua que decrece en los primeros dos cuadrantes y luego crece en los últimos dos.
A 270 grados, el valor del coseno vuelve a ser 0, al proyectar el ángulo sobre el eje X.
En el tercer cuadrante, la gráfica del coseno es creciente, en contraste con los cuadrantes anteriores.
En el cuarto cuadrante, a 315 grados, el valor del coseno vuelve a ser 0.7, positivo.
La gráfica del coseno termina en 360 grados, donde el valor del coseno es 1, igual al de 0 grados.
Se explica que la amplitud máxima del coseno es 1 y la mínima es -1.
El periodo del coseno es de 360 grados o 2 pi radianes, lo que significa que la función se repite cada 360 grados.
Transcripts
buenas hoy vamos a un propósito que es
graficar la función coseno una de las
seis funciones trigonométricas esta
función y = a coseno de X vamos a hacer
uso de su línea trigonométricas de la
longitud de esas líneas trigonométricas
recordemos que esas líneas
trigonométricas se pueden determinar con
base en una circunferencia que tiene dos
características la primera que sea
concéntrica Qué significa concéntrica
que su centro de curvatura está en el
punto origen del plano cartesiano x y y
unitaria Qué significa unitaria que la
distancia o radio de referencia de esa
circunferencia tendría el valor de la
unidad en este caso este punto sería el
punto
0,1 por tanto desde el punto a a este
punto tendríamos una distancia de uno es
decir el radio de
curvatura esta circunferencia se va a
dividir en un múltiplo de cuatro Por qué
nos preguntaría múltiplo de cuatro
porque nosotros tenemos un referente que
el plano está dividido en cuatro
porciones o cuatro cuadrantes Entonces
en este caso lo vamos a dividir esa
circunferencia en ocho si 360 gr que
representa la circunferencia en grados
la divido en 8 cada esa división me
daría 45 gr es decir cada porción o cada
división que hemos hecho de esa
circunferencia representa 45 gr Entonces
los ángulos que van a ser las preim
mágenes para determinar esa imagen a la
que vamos a llamar también línea
trigonométrica
coseno Sería para 0 gr para 45 gr para
90 gr si a 90 gr le sumo 45 me da 135 gr
180 gr 225 gr y a 225 gr le sumo 45 me
daría 270 gr 315 gr y terminamos con 360
gr que es el mismo ángulo de 0
gr después de esto vamos a tomar un
referente sobre el eje x de una longitud
este punto como referencia hasta este
punto lo he tomado como la longitud la
cual la voy a dividir en el mismo número
de partes que he dividido la
circuferencia obviamente cada porción de
esas debe ser congruentes del mismo
tamaño al hacer la división comenzamos a
representar cada preimagen sobre ese eje
en ese caso 0 gr 45 gr 90 gr 135 180 225
gr 270 315 gr y 160
gr es también interesante colocar esta
tabla de valores que en este caso tiene
dos columnas esa tabla de valores me va
a representar primero las pre imágenes
que serían los valores de los ángulos
que voy a trabajar el coseno y el valor
numérico como segunda columna el valor
numérico del cada línea trigonométrica
llamada coseno ya que la vamos a
presentar en este caso por lo menos como
referencia el coseno de 45 gr hemos
dicho que es 0,7 ya en algunas ocasiones
en ese caso por eso lo coloco como
imagen para 45 gr pues vamos a tomar el
de 45 gr el primer la línea
trigonométrica de 45 gr en ese orden de
ideas Entonces se dice que el ángulo
está en posición normal es decir el lado
inicial hace parte de La parte positiva
del eje x y su vértice está en el punto
origen del plano cartesiano su lado
final en este caso estaríamos
retomándolo aquí a 45 gr ese extremo del
lado final se proyecta sobre el eje x si
yo lo proyecto ese extremo sobre el eje
x me va a dar en esta posición sobre el
eje x y si esta
longitud se divide en 10 partes sabiendo
que tiene un valor numérico de uno y se
divide en 10 partes es porque da en 0,7
es decir en la séptima
parte se décima parte de esa división
entonces por eso hemos dicho que para 45
gr el coseno es de
0,7 Pues ahora vamos a tomar esa línea
trigonométrica con una regla la medimos
en este caso me da esta distancia esta
longitud y esa longitud es la que voy a
colocar en el referente o
correspondiente que aparece sobre el eje
X en este caso para 45 gr pero
devolvámosle
el eh proyecto el lado final sobre el
eje x no hay necesidad estar sobre el
eje x entonces hago lectura de este de
cer0 a este punto que me queda que
serían uno y por eso decimos que el
coseno de 0 gr sería 1 que en ese caso
sería esta
longitud esa longitud también la tomamos
aquí para 0 gr y la ponemos en este
extremo me daría el punto por donde va a
pasar esa gráfica ya tenemos dos puntos
de referencia Podría tener un tercer
punto en este caso para 90 gr para 90 gr
su lado final estaríamos hablando que el
lado inicial está en en esta posición y
su lado final estaría en esta posición
en esta posición Entonces proyectamos
ese extremo de ese lado final sobre el
eje X en donde coincide coincide en el
punto origen lo que significa que el
coseno de 90 gr es 0 si es cer0 Me
quedaría en esta posición entonces
podría decir que ya para el primer
cuadrante la Gráfica tendría esta forma
una forma de línea continua Y en este
caso podríamos decir decreciente
entonces tendríamos ya en el primer
cuadrante nuestra gr pasemos al segundo
cuadrante en el segundo cuadrante Yo
tengo como guía el ángulo de 135 gr 135
gr lo proyecto sobre el eje su lado
final lo proyecto sobre el eje x y me
dan este punto si hacemos la división
vamos a ver que me da en
0,7 por qué lo tomo negativo porque está
al lado izquierdo de cer Entonces el
valor sería de - 0,7 El de 135 gr - 0,7
tomo esa medida la tomo aquí esa medida
me da aquí en esta referencia es
negativa Entonces estaría por debajo de
la línea que representa el eje x y
estaría en este punto entonces ahí por
allí va a pasar la Gráfica porque esta
línea trigonométrica que representa el
coseno de 135 gr me daría ese
referente después de 135 gr podemos
tomar el de 180 gr si 180 gr sé que su
lado final estaría en esta posición
mientras que su lado inicial está en
esta posición y el vértice estaría aquí
en esta posición el lado final debe
estar proyectado sobre el eje x Pues
resulta que ya está sobre el eje x si
hacemos lectura estaría -1 este sería el
valor de -1 entonces decimos que el
coseno de 180 gr sería de -1 lo vamos
colocando aquí el valor si lo tomo como
medida ya sería este mismo radio este
mismo valor que hemos tomado aquí como
el radio pero negativo de men1 por lo
tanto iría por acá por debajo lo que
significa que ya para el segundo
cuadrante tenemos tres puntos de
referencia lo cual si yo hago la
continuidad de esa línea esa línea debe
ser una línea curva en esta posición en
esta forma entonces en el primer
cuadrante y en el segundo cuadrante si
tú lo ves la Gráfica se comporta
decreciente primer cuadrante segundo
cuadrante la Gráfica se comporta
decreciente entonces tenemos hasta aquí
para 180 gr para 225 gr este sería el
lado final pues ese lado final lo
proyecto sobre el eje x y me da también
en el mismo valor de -0,7 quiere decir
que también nos da
-0,7
-0,7 entonces esa longitud la tomo la
mido con la regla Ya la tengo aquí como
referente sé que es negativa entonces me
va a dar por debajo de C
también la podría retomar como simetría
para este punto ya y para 270 gr para
270 gr este sería el lado final este
sería el lado inicial y sería
prácticamente 3 cuartas partes de la
circunferencia lo proyecto es el lado
final lo proyecto sobre el eje x al
proyectarlo me doy cuenta que me da en
cero lo que significa que me da cer0
para el coseno de 270 gr su línea
trigonométrica representa un valor
numérico de cer0 Entonces si es de cero
estaríamos aquí ese punto de referencia
lo cual en el tercer cuadrante ya tengo
tres puntos este punto que lo tenía como
referencia este de 200 25 gr y el de 270
que me daría aquí quiere decir que la
Gráfica en el tercer cuadrante Mire ya
la diferencia se comporta es creciente
mientras que en el primero y segundo
cuadrante ya habíamos dicho era
decreciente pasemos al cuarto cuadrante
en el cuarto cuadrante Tengo este lado
final de ese ángulo de 315 gr este lado
final lo proyecto sobre el eje X Ya que
la línea trigonométrica de coseno
estaría con referencia en el eje X en
ese caso me daría también en 0.7 si tú
lo ves me da en 0.7 esta longitud que la
tengo aquí ya como referencia Pues esta
longitud ya es positiva
0.7 entonces la colocaría por encima del
eje X en esta posición ahora por último
el de 360 gr pues es el mismo de 0 gr
quiere decir que sería igual a 1
Entonces si es igual a 1 esta la
longitud que tengo aquí que es la unidad
de es o radio de referencia de ese Sería
para 300 me daría aquí en este punto
pues ya con base en esos tres puntos que
tengo para el cuarto
cuadrante continuaría la Gráfica en esta
forma y me haría Esta es la Gráfica y =
coseno de X una gráfica que si evaluamos
Vamos a darnos cuenta que la amplitud es
decir los valores de referencia están
desde 1 a -1 por lo tanto la máximo
valor la amplitud sería de uno y el
periodo en ese caso Cada cuánto se
repite este proceso este proceso se
repite nuevamente cada
360 gr o podríamos decir cada 2 pi
radianes que representa
en radianes 360
gr Espero que este proceso te permita
graficar de una manera fácil y práctica
lo que es la Gráfica de la función
coseno y = coseno de
X que la
voluntad que tenemos en nuestro corazón
en el interior de nuestros corazones
esté llena de misericordia y humildad al
servicio de los demás como nuestro Dios
de la vida no lo está pidiendo nos
veremos entonces en una próxima
ocasión
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