Gráfica de la función cotagente
Summary
TLDREl vídeo explica el propósito de graficar la función cotangente, que es el inverso de la función tangente. Se utiliza una circunferencia unitaria concéntrica para demostrar cómo se calcula el valor de la cotangente en diferentes ángulos. Se divide la circunferencia en ocho porciones de 45 grados y se proyecta la cotangente en el eje X, explicando que en ángulos de 0 y 180 grados, la cotangente es indefinida. Se resalta que la cotangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto. El vídeo concluye con una gráfica que muestra el comportamiento periódico de la función cotangente con un periodo de 180 grados.
Takeaways
- 📐 La función cotangente es el inverso de la función tangente y se representa como y = cotangente(x).
- 🔴 Se utiliza una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar la función cotangente, donde el radio es 1.
- 📏 Se dividen ocho porciones en la circunferencia, cada una de 45 grados, para encontrar los ángulos representativos de la cotangente.
- 📉 La gráfica de la cotangente se construye extendiendo el eje x en ocho porciones iguales y marcando los ángulos de 0 a 360 grados.
- 📋 Se incluye una tabla de valores que muestra los ángulos y los correspondientes valores de la cotangente.
- 🚫 La cotangente no existe para 0 grados y 180 grados, ya que las rectas paralelas al eje x no intersectarán con la circunferencia.
- ➡️ En el primer cuadrante, la cotangente es positiva, y en el segundo cuadrante es negativa debido a que es el inverso de la tangente.
- 🔄 La gráfica de la cotangente se repite cada 180 grados, indicando un periodo de 180 grados.
- 📉 La cotangente alcanza valores desde negativo infinito hasta positivo infinito, mostrando una amplitud completa.
- ✅ La gráfica de la cotangente se completa siguiendo un patrón repetitivo y asintótica en los ángulos de 0 y 180 grados.
Q & A
¿Qué es la función cotangente y cómo se relaciona con la función tangente?
-La función cotangente es el inverso de la función tangente. Mientras que la tangente se define como la relación entre la y y la x en una circunferencia unitaria, la cotangente es el inverso de esta relación.
¿Por qué se usa una circunferencia concéntrica para demostrar la función cotangente?
-Se usa una circunferencia concéntrica para demostrar la función cotangente porque facilita la visualización de los ángulos y su relación con las rectas tangentes a la circunferencia, lo cual es fundamental para entender cómo se calcula la cotangente.
¿Cuál es el significado de que dos rectas sean paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia?
-Cuando dos rectas son paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia, significa que cada una de ellas toca la circunferencia en un solo punto, manteniendo la misma distancia al eje x.
¿Cómo se divide la circunferencia para encontrar los ángulos representativos de la cotangente?
-La circunferencia se divide en múltiplos de cuatro, ya que se habla de cuatro cuadrantes. En el ejemplo dado, se divide en ocho porciones, cada una de 45 grados, para encontrar los ángulos representativos para la cotangente.
¿Cuál es el ángulo que corresponde a la cotangente de 45 grados y por qué?
-El ángulo que corresponde a la cotangente de 45 grados es 1, porque en la circunferencia unitaria, cuando el ángulo es de 45 grados, la longitud de la proyección en el eje y es igual al radio, lo que significa que la cotangente es 1.
¿Por qué la cotangente de 0 grados no existe?
-La cotangente de 0 grados no existe porque las rectas que son paralelas al eje x y tangentes a la circunferencia en ese punto nunca se cruzarán con el eje y, por lo tanto, no hay un punto de intersección que pueda medirse como cotangente.
¿Qué ocurre con la cotangente en el segundo cuadrante y por qué?
-En el segundo cuadrante, la cotangente es negativa. Esto se debe a que, aunque la longitud de la proyección en el eje y sigue siendo la misma que el radio, la dirección es opuesta, lo que hace que la cotangente sea negativa.
¿Cuál es el periodo de la gráfica de la función cotangente?
-El periodo de la gráfica de la función cotangente es de 180 grados, ya que la gráfica se repite cada 180 grados.
¿Cómo se determina si la cotangente es positiva o negativa en los diferentes cuadrantes?
-La cotangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, donde las proyecciones en el eje y son hacia arriba y hacia la derecha, respectivamente. En el segundo y cuarto cuadrante, la cotangente es negativa debido a que las proyecciones en el eje y son hacia abajo y hacia la izquierda.
¿Cómo se determina la amplitud de la gráfica de la función cotangente?
-La amplitud de la gráfica de la función cotangente es desde menos infinito hasta el infinito, ya que la cotangente puede tomar valores muy grandes o muy pequeños, dependiendo del ángulo.
Outlines
📐 Introducción a la Gráfica de la Cotangente
El primer párrafo explica cómo se grafica la función cotangente, que es el inverso de la función tangente. Se utiliza una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar la cotangente de X. Se destaca la importancia de dividir la circunferencia en múltiplos de cuatro para facilitar la comprensión de los ángulos y su correspondencia con los valores de cotangente en los cuatro cuadrantes. Se menciona la división de la circunferencia en ocho porciones de 45 grados y cómo se relaciona con los ángulos clave como 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315° y 360°. Además, se describe cómo se extienden las líneas desde el eje X para determinar los puntos de intersección con la recta Y, que son los valores de cotangente.
📉 Análisis de la Cotangente en los Cuadrantes
Este párrafo profundiza en el análisis de la cotangente en los diferentes cuadrantes. Se explica que la cotangente de 45 grados es 1, y se discute la inexistencia de cotangente en 0 grados y 180 grados. Se detalla cómo se calcula la cotangente para ángulos específicos como 90 grados, 135 grados, 180 grados, 225 grados y 270 grados, destacando la alternancia de signos positivos y negativos en los distintos cuadrantes. Se menciona la no existencia de cotangente en 180 grados y cómo se representa gráficamente con una asintota. También se describe el comportamiento repetitivo de la función cotangente cada 180 grados.
🔁 Periodicidad y Amplitud de la Cotangente
El tercer párrafo concluye el análisis de la cotangente enfocándose en su periodicidad y amplitud. Se establece que la función cotangente tiene un periodo de 180 grados, lo que significa que su comportamiento se repite cada 180 grados. Se discute cómo la gráfica de la cotangente se acerca a la asintota en 0 grados y 360 grados, pero nunca se cruza. Se menciona la amplitud de la gráfica, que se extiende desde menos infinito hasta el infinito, reflejando la naturaleza no acotada de los valores de cotangente. Finalmente, se presenta una descripción completa de cómo se grafica la función cotangente basada en la circunferencia unitaria y se cierra el vídeo con un mensaje de inspiración.
Mindmap
Keywords
💡Cotangente
💡Función inversa
💡Circunferencia concéntrica
💡Rectas tangentes
💡División en múltiplos de cuatro
💡Ángulos representativos
💡Proyección
💡Asíntota
💡Periodicidad
💡Indefinido
Highlights
Propósito de graficar la función cotangente.
Cotangente es el inverso de la función tangente.
Uso de una circunferencia concéntrica unitaria para demostrar.
División de la circunferencia en múltiplos de cuatro.
Representación de ángulos en gráficos trigonométricos.
División del eje X en ocho porciones.
Indefinición de la cotangente en ángulos de 0 y 180 grados.
La cotangente de 45 grados es igual a 1.
La cotangente es positiva en el primer cuadrante y negativa en el segundo.
La cotangente de 90 grados es indefinida.
La cotangente en el tercer cuadrante es positiva.
La cotangente de 270 grados es cero.
La cotangente en el cuarto cuadrante es negativa.
La cotangente de 360 grados es indefinida.
Periodicidad de la gráfica de la cotangente de 180 grados.
Asíntotas de la gráfica de la cotangente.
Amplitud de la gráfica de la cotangente desde menos infinito hasta el infinito.
Proyección de la gráfica de la cotangente en el cuarto cuadrante.
Conclusión de la gráfica de la función cotangente basada en la circunferencia unitaria.
Transcripts
buenas hoy vamos a trabajar lo que es el
propósito de graficar la función cotang
una función que es el inverso de la
función tangente y = cotangente de
X para eso vamos a demostrarlo con base
en una
circunferencia concéntrica quiere decir
que el centro coincide con el punto
origen del plano unitaria significa que
radio como est representando aquí vale 1
acabajo sería -1 este punto sería el
punto
0-1 sobre esa circunferencia concéntrica
unitaria también vamos
a Resaltar un líneas dos rectas una l en
la parte superior y en la parte inferior
de la circunferencia dos rectas una esas
rectas cumplen la ión de Z paralelas al
eje x y a la vez tangentes a la
circunferencia Qué significa tangente a
la circunferencia que tienen un punto en
común este punto sería el punto tanto
para la recta pertenece como para la
circunferencia esa circunferencia se va
a dividir en un múltiplo de cuatro por
qué vamos a dividir los 360 gr que
corresponde a una circunferencia en un
múltiplo de cuatro porque hablamos de
de cuatro cuadrantes en ese proceso ent
llevando esa diretriz dividimos en un
múltiplo de cuatro en este caso he
tomado a o si 360 lo divido en 8 tú
puedes tomar a 12 Si 360 se divide en 12
cada arco sería de 30 gr pero en este
caso si divido al 360 / 8 cada arco que
me está representando estas ocho
porciones sería de 45 gr entonces
tendríamos los ángulos representativos
aquí con los cuales vamos a buscar la
línea trigonométrica cotangente para
Quiénes para 45 gr para 90 para 135 gr
para 180 si a 180 le sumo 45 gr pues me
da 225 si a 225 le sumo 45 gr me daría
270 para 315 y 360 que es sería el mismo
ángulo de 0
gr
entonces habiendo hecho este elemento
que es demostrativo de las líneas
trigonométricas llamadas cotangente y
que va a ser la base para representar la
Gráfica nos vamos
a tomar sobre el eje x lo prolongamos y
tomamos una distancia que la dividimos
también en las mismas ocho porciones que
hemos dividido la circunferencia si la
vamos Air en 12 porciones la
circunferencia Pues aquí también
desatamos 12 divisiones de esa longitud
que he tomado sobre el eje x de la
manera congruente cada parte mide lo
mismo ya entonces resaltamos 0 gr 45 gr
90 135 gr 180 gr 225 gr 370 gr 315 gr y
360 también nos permite Resaltar que el
primer cuadrante va de 0 a 90 gr el
segundo cuadrante iría de 90 a 180 gr el
tercer cuadrante iría de 180 gr a 270 y
el cuarto cuadrante de 270 a
360 he incluido también esta tabla de
valores que tiene dos filas tiene los
valores de los ángulos y tiene el valor
que vamos a determinar de cada
cotangente para ese
ángulo entonces sabemos que la línea
trigonométrica cotangente basta
prolongar el lado final de ese arco en
este caso este sería el lado final lo
prolongo es decir en la misma dirección
prolongo ese lado final hasta que
intercepte con la recta
l este punto de intersección llamemos
a ese punto a la intersección que tiene
esa recta con el eje y sería la longitud
que vamos a medir la mido Y esa longitud
digámoslo que me da esta porción de la
de esta regla que hemos medido Pues esa
porción es la que yo voy a medir aquí
con base en ella la mido y ya sé por
dónde va a pasar la Gráfica con
cotangente por este punto que
corresponde a qué punto a que cuando
esta medida si yo la evalúo es la misma
medida que tiene en este caso el radio
podríamos decir entonces que la
cotangente de 45 gr es
1 sabemos que si yo quisiera Buscar la
cotangente de 0 gr no existe porque
estas dos líneas ser iría incluyendo la
la que está la recta l que está por
debajo del eje x serían paralelas nunca
tendrían intersección por lo tanto no
hay una línea trigonométrica llamada
cotangente para 0 gr entonces podríamos
decir que para 0 gr es indefinido me
adelanto diciendo que lo mismo va a
ocurrir para 180 gr Entonces es
indefinido para 180 gr Busco la en este
caso la cotangente de 90 gr la
cotangente de 90 gr si este es el lado
final y lo prolongo me da en este punto
Nosotros sabemos que las medidas que
están hacia lado derecho de esta recta
como línea trigonométrica cotangente son
positivas porque están en el primer
cuadrante en el segundo cuadrante ya la
cotangente que es el inverso de la
tangente sabiendo que la tangente es
negativa en el segundo cuadrante Pues
también la cotangente va a ser negativa
entonces este punto sería el punto cero
si lo vamos a medir y el punto cero
Entonces lo representamos aquí Entonces
nosotros podríamos decir que en el
primer cuadrante y ya vendría de manera
que hace este
esta esta prolongación pasando por este
punto esta prolongación que me permite
decir que para 0 gr esta proyección de
esta línea discontinua hace las veces de
asíntota Qué es asíntota que cada vez la
vemos más cerca pero nunca se van a
cruzar nunca se van a intercar quiénes
la Gráfica como como tal que hemos
trazado y fuera de eso esa
línea discontinua que la hemos tomado
para 0 gr porque para 0 gr la cotangente
no existe nos vamos para 135 gr que
sería prolongar este este lado lo
prolongo y me va a dar esta medida esta
medida que la tomo la puedo tomar aquí
como referencia esta medida si la
observo es la misma medida del radio lo
que significa que en este caso valdría
-1 por qué -1 Porque estamos hablando en
el segundo cuadrante donde la cotangente
es negativa entonces -1 Y si es -1 la
colocarías por debajo del eje esa medida
como lo veo aquí aquí lo coloco Y
entonces qué ocurre para 180 gr sabemos
que es indefinido entonces la Gráfica
hace estas veces se nos viene así y la
vemos que va a proyectarse si yo
continúo aquí vamos a ver la misma
experiencia que ocurre con 0 gr que se
vuelve para 180 asíntota quiere decir
que cada vez se acerca pero nunca se va
a
unir para en este caso 225 gr hacemos lo
mismo prolongamos prolongamos su lado en
este caso este sería el lado lo prolongo
y tomo como referencia esta medida que
sería la de cotangente si la miramos es
la misma es el mismo uno como medida de
radio y entonces podríamos decir que ese
un lo encuentro por encima y Por qué uno
positivo porque la cotangente en el
tercer cuadrante es
positivo para 270 gr es cer0 de 270 gr
nos daría aquí la cotangente y se la
prolongo y sería cer0 recuerde que esta
sería positivo
Y estos valores serían los negativos de
cotangente mientras que aquí nos dio
positivo en el primer cuadrante y
negativo en el segundo cuadrante
Entonces en ese orden días tendríamos
para para 225 gr 1 ya para 90 habíamos
dicho que era de cer y en ese orden pues
vendría la Gráfica de esta manera es
decir vuelve Y se repite Si vemos es lo
mismo que ocurrió obviamente aquí se
prolonga de de tal manera que hace las
mismas veces que hizo con 0 gr Entonces
se repite podríamos decir entonces que
el periodo de esta gráfica es de 180 gr
ya que se repite cada 180 entonces para
el cuarto guante vendría a ser esta
misma proyección esta misma imagen si yo
quiero podría tomarlo desde aquí que es
-1 y lo represento aquí y para 360 gr
sería lo que ocurre con cero lo cual me
daría la Gráfica en este orden la misma
proyección que vimos Ah acercándose
obviamente no con una curvatura hacemos
de manera que se va acercando cada vez a
esta proyección pero no se cruza esta
sería la Gráfica que hacemos repito si
yo prolongo aquí esto de manera tal que
me da este valor y observe que es de uno
ya lo tengo resaltado pero en ese caso
en el cuarto cuadrante es de -1 entonces
para -1 y para 360 gr es indefinible
entonces decimos que el periodo sería en
ese caso este valor y la amplitud de 180
gr y la amplitud sería desde menos
infinito hasta el infinito como vemos
ella prolonga hasta el infinito y por
debajo prolonga hasta menos infinito
Entonces tenemos la gráfica de la
función que llamamos en este caso la
puedo llamar y = a cotangente de X como
aparece aquí ya
definida así
graficamos
la función cotag gente basándonos en la
circunferencia unitaria Espero que este
proceso te sirve de ayuda para que
realices tu gráfica de la función cotag
Dios nos bendiga con el corazón
misericordioso y humilde que tiene y
podamos servidores de los demás nos
vemos en la próxima
ocasión
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