09. Límite con indeterminación 0/0
Summary
TLDREn este video de 'Mate Fácil', se muestra cómo calcular el límite de una función cuando x tiende a 0. Se comienza sustituyendo el valor de x en la expresión, lo que lleva a una forma indeterminada de 0/0. A partir de esto, el proceso implica factorizar tanto el numerador como el denominador, simplificar la fracción resultante, y luego sustituir nuevamente el valor de x. El resultado final es que el límite es 0. El video concluye invitando a los espectadores a resolver otro límite de forma autónoma, con consejos sobre cómo factorizar polinomios.
Takeaways
- 📘 El video enseña a calcular el límite cuando x tiende a 0 de una expresión racional.
- 🔢 Al sustituir x = 0 en la expresión inicial, se obtiene una forma indeterminada 0/0.
- ✏️ Para resolver la indeterminación, se procede a factorizar tanto el numerador como el denominador.
- 🧮 Se factoriza el numerador sacando x^4 como factor común, quedando x - 4 dentro del paréntesis.
- 🧩 En el denominador, se saca x^2 como factor común, resultando en 2x - 4 dentro del paréntesis.
- ➗ Tras simplificar, la expresión queda con x^2 en el numerador.
- 📝 Al sustituir nuevamente x = 0 en la expresión simplificada, el valor del límite es 0.
- 📚 El video invita a los espectadores a calcular un nuevo límite: el límite cuando x tiende a 2 de otra expresión racional.
- 🛠️ Se sugiere factorizar el denominador como una diferencia de cuadrados y el numerador como un trinomio cuadrático.
- 👍 El video concluye invitando a los espectadores a suscribirse, dar like y dejar comentarios o sugerencias.
Q & A
¿Cuál es el límite que se está resolviendo en el video?
-El límite que se resuelve es el límite cuando x tiende a 0 de (x^5 - 4x^4) / (2x^3 - 4x^2).
¿Qué ocurre cuando se sustituye x = 0 directamente en la expresión inicial?
-Al sustituir x = 0, tanto el numerador como el denominador se vuelven 0, lo que lleva a una forma indeterminada 0/0.
¿Qué estrategia se utiliza para simplificar la fracción?
-Se utiliza la factorización por factor común para simplificar tanto el numerador como el denominador.
¿Cómo se factoriza el numerador de la expresión?
-Se saca factor común x^4, quedando x^4(x - 4).
¿Cómo se factoriza el denominador de la expresión?
-Se saca factor común x^2, quedando x^2(2x - 4).
¿Qué ocurre después de simplificar la fracción?
-Después de simplificar, se cancela x^2 y la expresión queda x^2(x - 4) / (2x - 4).
¿Qué pasa al sustituir x = 0 después de la simplificación?
-Al sustituir x = 0, el numerador se vuelve 0, y el denominador es -4, por lo que el resultado final del límite es 0.
¿Qué tipo de factorización se menciona para el siguiente límite propuesto?
-Para el siguiente límite propuesto, se menciona la factorización de una diferencia de cuadrados en el denominador.
¿Qué tipo de trinomio se menciona para el numerador del siguiente límite?
-Se menciona un trinomio de la forma ax^2 + bx + c.
¿Dónde pueden los espectadores aprender más sobre factorización de trinomios?
-Los espectadores pueden aprender más sobre la factorización de trinomios en una lista de reproducción enlazada en la descripción del video.
Outlines
📐 Introducción al cálculo del límite
El video comienza con una introducción donde se explica que se va a calcular el límite cuando x tiende a 0 de una función racional. La expresión involucra potencias de x tanto en el numerador como en el denominador, y el primer paso es sustituir el valor de x = 0 para determinar si se obtiene una forma indeterminada.
🧮 Comprobación de forma indeterminada
Al sustituir x = 0, se obtienen términos que se reducen a cero en ambas partes de la fracción, lo que lleva a la forma indeterminada 0/0. Debido a esto, se determina que es necesario simplificar la fracción utilizando factorización para poder calcular el límite correctamente.
🔎 Factorización del numerador
El proceso de simplificación comienza factorizando el numerador. Se toma x⁴ como factor común, dividiendo cada término entre esta potencia de x. El resultado es una expresión más simple con términos que involucran x y constantes, lo cual facilita el siguiente paso del cálculo.
🔎 Factorización del denominador
A continuación, se factoriza el denominador siguiendo un proceso similar. Se extrae x² como factor común, dividiendo cada término entre x². El resultado es una expresión simplificada que permite continuar con la operación del límite.
📉 Simplificación y cálculo final del límite
Una vez factorizada y simplificada la fracción, se sustituye nuevamente x = 0 en la expresión simplificada. Tras hacer las operaciones correspondientes, el límite resulta ser igual a 0. Así, se concluye la resolución del problema propuesto.
📝 Ejercicio propuesto y despedida
El video finaliza con un nuevo desafío para los espectadores: calcular el límite cuando x tiende a 2 de otra expresión. Se sugiere factorizar el denominador usando la diferencia de cuadrados y se da una recomendación para revisar el tema de la factorización de trinomios en un enlace disponible en la descripción del video.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Forma indeterminada
💡Factorización
💡Exponente
💡Sustitución
💡Polinomio
💡División de exponentes
💡Cero entre cualquier número
💡Diferencia de cuadrados
💡Trinomio
Highlights
Introducción al cálculo de límites con un ejemplo específico: límite cuando x tiende a 0 de x⁵ - 4x⁴ sobre 12x³ - 4x².
Primer paso en la resolución: sustitución del valor de x en la expresión para verificar si se llega a una forma indeterminada.
Identificación de la forma indeterminada 0/0 al sustituir x = 0 en la expresión original.
Explicación de la necesidad de simplificar la fracción para resolver el límite debido a la forma indeterminada.
Proceso de factorización en el numerador y denominador, comenzando con la factorización de x⁴ en el numerador.
División de los términos en el numerador y explicación del resultado de la factorización.
Factorización del denominador, iniciando con x² y dividiendo los términos para simplificar la expresión.
Simplificación final de la fracción tras la factorización, quedando x² en el numerador.
Sustitución de x = 0 en la expresión simplificada para calcular el valor final del límite.
Resultado final del límite: el valor es 0.
Invitación a los espectadores a calcular un nuevo límite: límite cuando x tiende a 2 de 13x² - 5x - 2 sobre x² - 4.
Sugerencia de factorización de la parte inferior del nuevo límite utilizando la diferencia de cuadrados.
Mención de que el polinomio en la parte superior es un trinomio de la forma ax² + bx + c y enlace a recursos adicionales para aprender a factorizar.
Incentivo para que los espectadores intenten resolver el límite por su cuenta y verifiquen su respuesta en un próximo video.
Cierre del video con una invitación a dar 'like', suscribirse al canal, compartir los videos, y dejar preguntas o sugerencias en los comentarios.
Transcripts
hola y bienvenidos a otro vídeo de mate
fácil en este vídeo vamos a calcular el
límite cuando x tiende a 0 de X quinta
menos 4 x 40 sobre 12 x cúbica menos 4 x
al cuadrado para calcular este límite lo
primero que debemos hacer es empezar
sustituyendo el valor de X en la
expresión para ver si llegamos a una
forma indeterminada así que vamos a
empezar sustituyendo y nos queda 0 ala
quinta menos 4 por 0 a la cuarta sobre 2
x 0 al cubo menos 4 por 0 al cuadrado
cuando nosotros celebramos el cero a
cualquier exponente el resultado es cero
cualquier número multiplicado por cero
es cero y al restar aquí cero menos cero
nos queda 0 y también en la parte de
abajo nos va a quedar 0 así que llegamos
a la forma indeterminada cero sobre cero
por lo que tenemos que simplificar está
fracción para poder calcular el límite
así que lo que vamos a hacer es
factorizar lo que aparece arriba y abajo
en esta fracción y lo vamos a factorizar
por factor común entonces empezamos
escribiendo límite cuando x tiende a 0 y
ponemos la línea de fracción y vamos a
empezar factorizando lo de arriba lo
primero que debemos hacer es escribir la
X que tenga el menor exponente que en
este caso es x a las 4 vamos a
escribirlo por aquí y luego vamos a
escribir entre paréntesis el resultado
de dividir estos dos términos entre x
cuarta entonces cuando dividimos x
quinta entre x cuarta eso nos queda x
porque recuerden que los exponentes se
restan y 5 menos 4 es 1 así que queda x
a la 1
ahora dividimos menos 4 x 40 / x cuarta
y al dividir x 40 x 40 x 1 y 1 x menos 4
queda menos 4 así que por eso queda
factorizado de esta manera ahora vamos a
hacer lo mismo con el polinomio de abajo
escribimos la X que tenga el menor
exponente que en este caso es x al
cuadrado y ahora dividimos cada termino
entre x al cuadrado y escribimos los
resultados entre paréntesis entonces 2x
cúbica entre x cuadrada queda 2x porque
los exponentes se restan y 2:48 es uno
así que queda x a la 1 y luego menos 4 x
cuadrada entre x cuadrada queda
directamente al menos 4 porque el X
cuadrado Enríquez cuadrada es 1 y menos
4 por uno es menos 4 bueno ahora vamos a
dividir aquí está x cuarta en 3ax
cuadrada y nos queda x cuadradas otra
vez los exponentes se restan esa x
cuadrada que nos queda como resultado la
dejamos en la parte de arriba
entonces
ya hemos simplificado la fracción y lo
que vamos a hacer ahora es volver a
sustituir x = 0 en esta expresión y nos
queda entonces lo siguiente como ya
estamos sustituyendo ya no vamos a
escribir la palabra límite únicamente
hacemos la sustitución entonces que
dárselo al cuadrado afuera y adentro del
paréntesis queda 23:56 en la parte de
abajo queda 2 por 0 y luego el menos 4
lo pasamos ahora aquí 2 x 06 00 menos 4
nos queda menos 4 y en la parte de
arriba
23:56 es menos 4 pero x este cero de
afuera nos queda 0 y cuando dividimos
cero entre cualquier número es el
resultado es 0 así que el valor de
límite es finalmente cero
ahora los invito a que ustedes intenten
calcular el siguiente límite límite
cuando x tiende a 2 de 13 x cuadrado
menos 5 x menos 2 sobre x cuadrado menos
4 lo de abajo ya sabemos que podemos
factorizar lo como diferencia de
cuadrados ya hemos visto anteriormente
ejemplos de esos pero el polinomio de
arriba es un trinomio de la forma AX
cuadrada + BX + C si no saben cómo
factorizar ese tipo de trinomios les
dejo en la descripción de este vídeo el
enlace avilista de reproducción sobre
factorizaciones y ahí pueden encontrar
vídeos donde explico cómo factorizar
este tipo de trinomios entonces los
invito a que ustedes intenten calcular
este límite y en el siguiente vídeo les
muestro el procedimiento completo para
que verifiquen su respuesta si les gustó
este vídeo apoyarme regalándome un like
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vídeos y recuerden que si tienen
cualquier pregunta o sugerencia pueden
dejarla en los comentarios
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