60. Integral de función exponencial, completando la derivada

MateFacil

15 Nov 201502:40

Summary

TLDREn este vídeo tutorial de 'Mate fácil', se explica cómo realizar la integral de una función exponencial. Se utiliza la fórmula de la integral de exponencial de 'B', donde 'B' es el exponente, en este caso 'x cuadrada'. Se muestra cómo derivar 'x cuadrada' para obtener 'db', que es '2x', y cómo ajustar la integral para no alterar la expresión inicial. Finalmente, se propone a los espectadores intentar realizar una integral similar y se invita a dejar comentarios y suscripciones para más contenido.

Takeaways

📘 La integral de una función exponencial se puede calcular usando la fórmula de la integral de la exponencial de 'b' por 'db' igual a la exponencial de 'b'.
🔍 Para integrar una función exponencial, es necesario identificar el exponente 'b' y luego derivar la función para obtener 'db'.
📐 En el ejemplo dado, el exponente 'b' es 'x cuadrada', y su derivada 'db' es '2x'.
🔄 Al derivar, se debe tener cuidado de no alterar la expresión inicial al añadir la derivada '2x' multiplicando y luego dividiendo por 2 para mantener la integral correcta.
📝 Se añade un factor de 2 multiplicando y se saca un 2 dividiendo para balancear la integral y aplicar la fórmula de la integral de exponencial.
🧮 La integral de la exponencial de 'x cuadrada' por '2x dx' se resuelve sustituyendo 'b' por 'x cuadrada' y añadiendo la constante de integración al final.
📖 Se propone un desafío similar para que el espectador pruebe su comprensión: integrar 'x cuadrada por e a la x cuadrada menos 5 dx'.
🔄 En la integral propuesta, la 'x cuadrada' se usa para facilitar la derivación del exponente, ya que la derivada de 'x cúbica' es '3x cuadrada'.
📝 Al derivar 'x cúbica', se obtiene '3x cuadrada', y se procede a ajustar la integral añadiendo un tercio y utilizando la fórmula de la integral de exponencial.
👍 Se alienta a los espectadores a interactuar con el video, dejando 'likes', comentarios y suscripciones para recibir más contenido similar.

Q & A

¿Qué tipo de integral se resuelve en el video?
-Se resuelve una integral de una función exponencial, específicamente de la forma e^(x^2) * x^2.
¿Cuál es la fórmula que se utiliza para integrar funciones exponenciales?
-La fórmula utilizada es la integral de e^(Bx) * dx, que es igual a (1/B) * e^(Bx) + C, donde B es el exponente de la exponencial.
¿Cómo se determina el valor de B en la integral exponencial?
-En este caso, B es igual a x^2, ya que es el exponente de la función exponencial e^(x^2).
¿Qué es db y cómo se relaciona con la integral?
-Db es la derivada de x^2, que es 2x, y se utiliza para completar la derivada en la fórmula de integración de funciones exponenciales.
¿Por qué se agrega un factor de 2 en la integral y luego se divide por 2?
-Se agrega un 2 multiplicando y luego se divide por 2 para compensar el factor que se agrega al derivar x^2, asegurándose de no alterar la expresión inicial de la integral.
¿Cuál es el resultado de la integral e^(x^2) * x^2 dx?
-El resultado es (1/2) * e^(x^2) + C, donde C es la constante de integración.
¿Qué integral se propone como desafío al final del video?
-Se propone la integral de x^3 * e^(x^3 - 5) dx como un desafío similar al que se resolvió en el video.
¿Cómo se puede simplificar la integral x^3 * e^(x^3 - 5) dx?
-Puede simplificarse al notar que x^3 nos ayuda a completar la derivada del exponente, y luego se utiliza la fórmula de la integral exponencial.
¿Cuál es la derivada de x^3 y cómo se relaciona con la integral propuesta?
-La derivada de x^3 es 3x^2. Esto se relaciona con la integral porque al integrar e^(x^3) * x^3 dx, se puede usar la fórmula de la integral de funciones exponenciales después de ajustar el exponente.
¿Cómo se puede integrar la función e^(x^3 - 5) * x^3 dx?
-Después de ajustar el exponente y la derivada, se puede aplicar la fórmula de la integral de funciones exponenciales para resolver la integral.
¿Cómo se puede verificar si la respuesta a la integral propuesta es correcta?
-Se puede verificar en el siguiente video que el canal publique, donde se espera que se revele la solución y se pueda comparar con el resultado obtenido.

Outlines

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📚 Integral de Exponencial

En este primer párrafo del video, se explica cómo realizar la integral de una función exponencial. Se utiliza la fórmula de la integral de la exponencial de 'b', donde 'b' es el exponente de la exponencial. En este caso, el exponente es 'x^cuadrado', por lo que 'b' es igual a 'x^cuadrado'. Para integrar, se deriva 'x^cuadrada' obteniendo '2x', y se añade el diferencial 'dx'. Se menciona la necesidad de balancear la ecuación al multiplicar por un '2' para no alterar la expresión inicial, y se sugiere que el espectador intente realizar una integral similar con 'x^cuadrada' e^(x^cuadrada - 5)dx, destacando que la 'x^cuadrada' facilitará la derivación del exponente.

Mindmap

Keywords

💡Integral

Una integral es una operación matemática que se utiliza para calcular el área bajo una curva de una función en un intervalo dado. En el vídeo, la integral es el tema central, ya que se enseña cómo calcular integrales de funciones exponenciales, como parte de un tutorial de cálculo.

💡Función exponencial

Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a^x, donde 'a' es una constante positiva y 'x' es la variable independiente. En el vídeo, se trata de cómo integrar funciones exponenciales, utilizando una fórmula específica para la integral de exponencial de 'B'.

💡Fórmula de la integral

La fórmula de la integral de exponencial de 'B' mencionada en el vídeo es una herramienta clave para resolver la integral. Se define como la integral de la exponencial de 'B' con respecto a 'db', siendo igual a la exponencial de 'B'. Esto se utiliza para integrar la función exponencial en el ejemplo dado.

💡Exponente

El exponente en una función exponencial es el número que se eleva a la potencia de la variable. En el vídeo, el exponente es 'x cuadrada', y se menciona que 'B' se iguala al exponente, es decir, 'x cuadrada'.

💡Derivada

La derivada es una operación matemática que determina la tasa de cambio de una función. En el vídeo, se habla de derivar 'x cuadrada' para obtener 'db', que resulta ser 2x, y es crucial para completar la integral de la función exponencial.

💡Diferencial

Un diferencial en cálculo es una pequeña cantidad que representa un cambio en una variable. En el vídeo, 'db' es el diferencial de 'x cuadrada', y se menciona que debe estar presente en la integral para que la fórmula de la integral de exponencial sea aplicada correctamente.

💡Constante de integración

La constante de integración se añade al resultado de una integral indefinida para abarcar todas las posibles soluciones, ya que la integración es una operación que puede tener múltiples respuestas. En el vídeo, se menciona que se debe agregar una constante de integración al final del cálculo.

💡Integral definida

Una integral definida es la diferencia entre dos integrales indefinidas evaluadas en límites específicos. Aunque no se menciona directamente en el vídeo, el proceso de integración implica el cálculo de áreas bajo una curva entre puntos específicos.

💡Ejercicio

El vídeo propone un ejercicio para que el espectador pruebe sus habilidades en integración, mostrando cómo integrar 'x cuadrada por la exponencial de x cuadrada menos 5'. Este ejercicio es una aplicación práctica de los conceptos explicados en el vídeo.

💡Comentarios

El vídeo invita a los espectadores a dejar comentarios si tienen dudas o sugerencias, lo que indica la interacción y el feedback que el creador del vídeo busca con su audiencia para mejorar el contenido.

Highlights

Introducción al video sobre cálculo de integrales de funciones exponenciales.

Explicación de cómo realizar la integral de una función exponencial.

Fórmula para la integral de la exponencial de B, db.

Determinación de B como el exponente de la exponencial en la función.

Proceso de derivación de x cuadrada para obtener db.

Explicación de que db es la derivada de x cuadrada, que es 2x.

Ajuste de la integral para incluir la derivada 2x dx.

Corrección de la integral añadiendo un factor de 2.

Importancia de mantener la expresión inicial sin alterar al ajustar la integral.

Uso de la fórmula de la integral de la exponencial de B por db.

Sustitución de B por x cuadrada en la fórmula.

Agregación de la constante de integración al final del proceso.

Propuesta al público para intentar una integral similar.

Explicación de cómo el x cuadrado ayuda a completar la derivada del exponente.

Derivación de x cúbica y su relación con la integral.

Instrucciones para realizar una integral con x cúbico y e a la x cúbica.

Invitación a los espectadores a verificar sus resultados en el siguiente video.

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