Cinemática: Movimiento Curvilíneo [1]. Introducción a la Dinámica
Summary
TLDREl guion trata sobre la dinámica cinemática y movimiento curvilíneo, explicando componentes como la aceleración tangencial y normal. Se detalla cómo la aceleración normal da la curvatura al movimiento, mientras que la tangencial indica cambios en la magnitud de la velocidad. Se utilizan ecuaciones diferenciales para analizar el movimiento y se presentan ejemplos de cálculo de aceleraciones y radio de curvatura en situaciones prácticas como vuelos en circunferencia y trayectos de vehículos.
Takeaways
- 📚 La dinámica cinemática se refiere a la parte de la física que estudia el movimiento sin considerar las causas de los cambios en ese movimiento.
- 🛤️ En el movimiento curvilíneo, se tienen dos componentes de aceleración: tangente y normal, que corresponden a los cambios en la magnitud de la velocidad y en la dirección de la velocidad, respectivamente.
- 🔢 La aceleración tangential se calcula como la velocidad multiplicada por la aceleración, y el desplazamiento se considera igual a la distancia recorrida por una partícula en un intervalo de tiempo dado.
- 🌐 La aceleración normal, también conocida como aceleración centrípeta, se obtiene a partir de la velocidad a la que se mueve una partícula en un instante dado, elevada al cuadrado y dividida entre el radio de curvatura de la trayectoria.
- 🔺 Si la trayectoria es circular, el radio de curvatura es el radio de la circunferencia. Para trayectorias no circulares, se requiere una fórmula especial para encontrar el radio de curvatura.
- 🚀 Si no existiera la aceleración normal, la partícula seguiría un movimiento rectilíneo en lugar de curvilíneo, ya que esta componente es la que le da la característica de movimiento curvilíneo.
- 🔄 La aceleración tangential representa el cambio en la magnitud de la velocidad, mientras que la normal representa el cambio en la dirección de la velocidad de la partícula.
- 📉 En la resolución de problemas, se utilizan las fórmulas de aceleración tangente y normal, y se ajustan según la información proporcionada, como velocidades constantes o cambios en la aceleración.
- 🧮 Para resolver problemas con trayectorias no circulares, es necesario calcular el radio de curvatura utilizando una fórmula especial y luego aplicar las fórmulas de aceleración para encontrar la respuesta.
- 🚗 En ejemplos prácticos como el de un avión en una trayectoria circular o un auto en una curva, se aplican las fórmulas de aceleración para determinar velocidades críticas o magnitudes de aceleración en puntos específicos.
Q & A
¿Qué es la dinámica cinemática y cómo se relaciona con el movimiento curvilineo?
-La dinámica cinemática es una rama de la física que estudia el movimiento de los objetos sin considerar las causas que lo producen. En el movimiento curvilineo, la dinámica cinemática se relaciona con la aceleración que tiene dos componentes: tangente y normal.
¿Cuáles son las tres ecuaciones diferenciales fundamentales mencionadas en el guion para el movimiento curvilineo?
-Las tres ecuaciones diferenciales fundamentales son: v = ds/dt, a_tangencial = dv/dt y a_normal = v^2/r, donde v es la velocidad, a_tangencial es la aceleración tangencial, a_normal es la aceleración normal y r es el radio de curvatura.
¿Qué es la aceleración tangencial y cómo se calcula?
-La aceleración tangencial es el cambio en la magnitud de la velocidad de una partícula en movimiento curvilineo. Se calcula como la diferencia de velocidad entre dos instantes dividida por el tiempo transcurrido, es decir, a_tangencial = dv/dt.
¿Qué se entiende por aceleración normal o centrípeta y cómo se determina?
-La aceleración normal, también conocida como centrípeta, es la componente de la aceleración que actúa hacia el centro de la curvatura del camino que sigue la partícula. Se determina como el cuadrado de la velocidad dividido por el radio de curvatura, es decir, a_normal = v^2/r.
Si la trayectoria de una partícula es circular, ¿cómo se relaciona el radio de curvatura con el radio de la circunferencia?
-Si la trayectoria es circular, el radio de curvatura es igual al radio de la circunferencia, ya que en este caso el radio de curvatura se obtiene fácilmente como el radio de la circunferencia.
¿Qué sucedería si no existiera la aceleración normal en un movimiento curvilineo?
-Si no existiera la aceleración normal, la partícula seguiría un movimiento rectilíneo, ya que esta componente de la aceleración es la que le da carácter curvilineo al movimiento.
En el ejemplo del piloto de aeronave, ¿a qué velocidad perdería la conciencia si se somete a una aceleración de 5.5 G?
-El piloto perdería la conciencia a una velocidad de 132.42 metros por segundo, considerando una aceleración de 5.5 G y un radio de curvatura de 325 metros.
Si un jet cae en una trayectoria circular con una velocidad constante, ¿cuál sería el radio de la circunferencia que causaría la pérdida de conciencia del piloto?
-Si la velocidad tangencial del jet es de 150 metros por segundo, el radio de la circunferencia que causaría la pérdida de conciencia del piloto sería de 417.01 metros.
¿Cómo se calcula la magnitud de la aceleración de un auto que pasa por un punto A con una velocidad de 10 m/s y se reduce a 0.25 m/s^2?
-Para calcular la magnitud de la aceleración del auto, se necesita la componente normal de la aceleración. Se hace uso de la fórmula especial para encontrar el radio de curvatura y se resuelven integrales para obtener la velocidad final y la aceleración.
En el tercer ejemplo, un camión viaja en una carretera circular de 50 m de radio. ¿Cuál es su rapidez y la magnitud de su aceleración después de moverse 10 m con una aceleración de 0.05 m/s^2?
-La rapidez del camión después de moverse 10 m sería de 4.58 m/s, y la magnitud de su aceleración sería de 0.653 m/s^2. Esto se calcula haciendo uso de cálculo integral y manipulando las ecuaciones diferenciales.
Outlines
📚 Introducción a la dinámica cinemática y movimiento curvilíneo
Este primer párrafo introduce la dinámica cinemática, en especial el movimiento curvilíneo con un enfoque en las componentes normal y tangencial. Se describe el modelo matemático donde la aceleración tiene dos componentes: tangencial y normal (también conocida como aceleración centrípeta). Se explica que la aceleración tangencial está relacionada con la velocidad y el desplazamiento de una partícula, mientras que la normal está relacionada con la curvatura de la trayectoria. Se ilustra con un ejemplo de una trayectoria circular y se menciona la importancia de cada componente en el movimiento curvilíneo. Finalmente, se ofrece una metodología para resolver problemas relacionados con estos conceptos y se presentan ejemplos de problemas que involucran a pilotos de aeronaves y su pérdida de conciencia en maniobras de alta aceleración.
🚀 Análisis de la pérdida de conciencia en pilotos y movimiento de un auto
Este segundo párrafo se enfoca en el análisis de la pérdida de conciencia en pilotos sometidos a altas aceleraciones y el movimiento de un auto en una trayectoria curva. Se resuelven dos problemas específicos: A) Se calcula la velocidad a la que un piloto perdería la conciencia en una trayectoria circular con un radio de curvatura de 325 metros, asumiendo una aceleración de 5.5 G. B) Se determina el radio de la circunferencia en la que un piloto se desmayaría si su velocidad tangencial es constante en una curva. Posteriormente, se aborda el problema del movimiento de un auto que pasa por un punto con una velocidad de 10 m/s y una aceleración de 0.25 m/s², y se calcula la magnitud de su aceleración en ese punto utilizando la fórmula especial para encontrar el radio de curvatura.
🚚 Cálculo de la aceleración y rapidez de un camión en una carretera circular
El tercer párrafo presenta un problema más complejo que involucra el uso del cálculo integral y las ecuaciones diferenciales para determinar la rapidez y la magnitud de la aceleración de un camión que viaja en una carretera circular de 50 metros de radio. Se describen los pasos para resolver el problema, incluyendo la escritura de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de integrales y la sustitución de datos para encontrar la rapidez del camión después de haber recorrido 10 metros. Se resuelven las integrales y se obtiene la expresión para la velocidad final del camión, que se utiliza para calcular la aceleración normal y tangencial, y finalmente la magnitud total de la aceleración.
Mindmap
Keywords
💡Dinámica cinemática
💡Movimiento curvilíneo
💡Componentes de la aceleración
💡Aceleración tangencial
💡Aceleración normal
💡Radio de curvatura
💡Ecuaciones diferenciales
💡Aceleración centrípeta
💡Movimiento rectilíneo
💡Conciencia del piloto
💡Radio de la circunferencia
Highlights
Introducción a la dinámica cinemática y movimiento curvilíneo.
La aceleración en movimiento curvilíneo tiene dos componentes: tangencial y normal.
La componente tangencial de la aceleración se calcula con la velocidad y el desplazamiento.
La componente normal, también conocida como aceleración centrípeta, se relaciona con la velocidad y el radio de curvatura.
Se presentan tres fórmulas generales para el análisis del movimiento rectilíneo.
La aceleración tangencial representa el cambio en la magnitud de la velocidad.
La aceleración normal indica el cambio en la dirección de la velocidad.
La aceleración normal es esencial para que la trayectoria sea curvilinea.
Se describe un método para resolver problemas de movimiento curvilíneo.
Se explica cómo se calcula la velocidad a la que un piloto perdería la conciencia debido a una aceleración de 5.5 G.
Se resuelve un problema de radio de curvatura para un piloto en una trayectoria circular.
Se describe la relación entre la aceleración y la velocidad en un punto de movimiento de un auto.
Se calcula la magnitud de la aceleración de un auto en una curva usando la fórmula especial para el radio de curvatura.
Se resuelve un problema de aceleración de un camión en una carretera circular usando cálculo integral.
Se explica cómo se determina la rapidez y la magnitud de la aceleración de un camión después de moverse 10 metros.
Se utilizan integrales para relacionar la aceleración tangencial con la posición y la velocidad final.
Se obtiene la rapidez del camión después de moverse 10 metros como resultado de la integral.
Se calcula la aceleración normal y tangencial del camión en función de su posición y velocidad.
Se determina la magnitud total de la aceleración del camión usando la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado.
Transcripts
Introducción a la dinámica cinemática
movimiento curvilíneo 1 componentes
normal y
tangencial bueno modelo matemático en
este tipo de movimiento la aceleración
siempre tiene dos
componentes Empezando por la componente
tangencial aquí entran tres términos la
aceleración la velocidad y el
desplazamiento el desplazamiento se
considera básicamente igual es la
distancia que recorre la partícula en un
interv de tiempo determinado para el
caso de la velocidad y la aceleración
las vamos a tomar siempre tangentes a la
trayectoria que siga la partícula Sí
ahora bien Tomando como base estas dos
ecuaciones diferenciales que aparecen
aquí B es ig a DS sobre dt y at es igual
a db sobre dt donde at Es la aceleración
tangencial se obtienen las siguientes
tres fórmulas
que de manera general son las fórmulas
que se utilizan en el análisis del
movimiento
rectilíneo la única diferencia aquí es
que no se usa cualquier aceleración se
trata de la aceleración tangencial de la
partícula la siguiente componente es la
normal también la llaman eh aceleración
centrípeta esta aceleración se puede
obtener como la velocidad que lleva la
partícula en un instante que queramos
analizar elevada al cuadrado y dividido
entre el radio de la curvatura Okay si
la trayectoria de la partícula es un
círculo este radio de curvatura pues se
obtiene fácilmente es el radio de la
circunferencia sin embargo si el
movimiento de la partícula es descrito
por una función o una
ecuación pues se tendría que recurrir
entonces a esta fórmula especial para
encontrar el radio de la curvatura
ahora
bien simplemente para demostrar o
terminar de conceptualizar bien todos
los términos que acabamos de ver
imaginemos una trayectoria circular como
la que aparece a continuación y una
partícula que se va a estar moviendo en
dicha
trayectoria aquí pues como se puede ver
la aceleración normal siempre va
dirigida hacia el centro de la curvatura
hacia el centro de este círculo como
dice su nombre no es la aceleración
normal y la tangencial
Pues como dice un nombre es tangente a
la curvatura tangente a su trayectoria
Sí en cualquier punto
eh siempre se van a presentar
así Qué pasa si no existiera la
aceleración normal bueno esta componente
de la aceleración es la que le da la
característica a este movimiento de ser
curvilíneo en caso de no existir pues
entonces la partícula seguiría derecho
es es decir presentaría un movimiento
rectilíneo viéndolo desde una
perspectiva ya un tanto más formal la
componente tangencial de la aceleración
representa el cambio en la magnitud de
la velocidad de la partícula mientras
que la componente normal representa el
cambio en la dirección de la velocidad
de la
partícula bueno ya aquí le dimos media
Revolución a la partícula en esta
trayectoria circular y como ven la
aceleración normal y tangencial se
presentan igual ahora metodología para
resolver problemas H pues entendiendo
bien los conceptos eh resolver problemas
no es tan difícil no es tan complejo
simplemente es hacer uso de las fórmulas
o ecuaciones que vimos anteriormente y
manipularlas dependiendo de lo que nos
nos pida el
problema con el detalle claro de que si
el movimiento es descrito por una
función pues hay que usar la última
ecuación que vimos nuestra fórmula
especial por así llamarla para encontrar
el Rayo de la curvatura Bueno vamos con
ejemplos ejemplo uno de acuerdo con
pruebas médicas en pilotos de aeronaves
se ha observado que estos pierden la
conciencia al someterse a una
aceleración de 5.5 G suponiendo que un
jet que cae en una trayectoria circular
con un rayo de curvatura de 325 m inciso
A cuál sería la velocidad en la que
pierda la conciencia el piloto inciso B
si su velocidad tangencial en La Curva
es de 150 m sobre segundo constante cuál
sería el radio de la circunferencia con
el que el piloto se desmayaría
Bueno
pues analizándolo bien prácticamente nos
han dado toda la información que se
requiere lo único que hay que hacer es
un par de inferencias antes para poder
resolver el problema como el enunciado
no nos detalla si el avión llevaba una
velocidad inicial antes de entrar a esta
trayectoria curva si presentaba una
aceleración positiva o
negativa se va a inferir entonces que la
velocidad siempre permanece constante
incluso cuando lleva esa trayectoria
curvilínea Bueno al ser siempre
constante la velocidad pues se da por
entender que la aceleración tangencial
va a ser igual a cer como no hay
componente tangencial la única que queda
es la normal y por lo tanto sobre ella
es de la que se tiene que
trabajar Bueno tenemos la ecuación la
fórmula para encontrar la aceleración
normal sabemos que la velocidad es
constante Tenemos también el radio de
curvatura si es que solo hay que
despejar a b porque es nuestra incógnita
sustituimos datos consideramos que la el
valor de la gravedad es de 9.81 m sobre
segundo al cuadrado sustituimos operamos
y listo
el piloto perdería la conciencia si el
avión viajara a una velocidad de
132.42 m sobre
segundo Bueno ahora para el inciso B en
este caso pues prácticamente es lo mismo
lo único que cambia es que nos piden
encontrar el radio de la
curvatura tenemos la ecuación Así es que
simplemente hay que despejar a r sabemos
que la velocidad es constante es de 50 m
sobre segundo sustituimos los datos
operamos y listo el radio de la
curvatura en este caso tendría que ser
de
417.01 m para que el piloto se
desmalle Bueno vamos con el siguiente
problema sí es el segundo ejemplo el
auto al pasar por el punto a Presenta
una velocidad de 10 m sobre segundo la
cual se reduce a at ig men 0.25 Met
sobre segundo cuadrado La pregunta es
cuál es la magnitud de su aceleración en
este punto Pues el enunciado ya nos ha
dado la velocidad en el punto a nos da
la coordenada en x del auto lo podemos
ver en la imagen y sabemos que la
aceleración tangencial es negativa y es
constante entonces para encontrar la
magnitud de la aceleración simplemente
necesitamos la componente normal
escribimos las formulas y Bueno aquí
como el movimiento del vehículo está
descrito por una función vamos a tener
que hacer uso de la Fórmula especial
para encontrar el radio de la
curvatura Bueno pues ya ponemos todos
los datos las fórmulas y listo hay que
empezar a operar en primer lugar lo más
conveniente sería hacer las derivadas
como se trata de una exponencial pues es
muy sencillo se queda intacta la
exponencial lo único que hay que hacer
es multiplicarla por la derivada del
exponente en este caso la derivada de X
sobre 500 es 1 500 y ya lo demás es un
proceso meramente algebraico por lo
tanto la primer derivada sería igual a
1/5 de e a la x / 500 y al derivar otra
vez tendríamos que la segunda derivada
es 1 2500 por e a la x
500 sustituimos estas dos expresiones en
la fórmula y después evaluamos cuando x
es = 200 operamos y en el punto a se
encuentra que el radio de la curvatura
sería de
1904.4
m perfecto pues ya tenemos el radio de
curvatura sabemos la velocidad Así es
que ya se puede calcular la aceleración
normal del auto en ese
punto Simplemente hay que subir los
datos Y operamos tenemos como resultado
que la aceleración normal sería
0.0525 Met sobre segundo al
cuadrado el último paso pues es
encontrar la magnitud de la
aceleración para esto
pues hacemos la raíz de la aceleración
normal al cuadrado más la aceleración
tangencial al cuadrado Así es que con
todos los datos los sustituimos y como
resultado se tiene que la magnitud de la
aceleración del auto en ese punto sería
de
0.255 m sobre segundo
cuad bueno ejemplo tres un camión viaja
en una carretera circular de 50 m de
radio a una rapidez de 4 m sobre segundo
durante una cierta distancia cuando s es
ig a 0 su rapidez Se incrementa en a =
0.05s m sobre segundo al cuadrado donde
está es est dada en metros Determine su
rapidez y la magnitud de su aceleración
cuando se ha movido 10
m este problema
es más que llamarlo difícil un tanto
diferente a lo que se ha resuelto en los
problemas anteriores aquí hay que hacer
uso del cálculo integral y manipular las
ecuaciones diferenciales que vimos al
principio Pues el primer paso sería
escribirlas sí
eh tenemos B = DS sobre dt at es = a db
sobre d t de aquí despejamos en ambos
casos a dt e igualamos sí nos quedaría
dt es igual a DS sobre B en el lado
izquierdo dt = db sobre at en el lado
derecho juntamos queda esa expresión que
vemos ahí y después pasamos unas
variables de un lado y otras del otro de
manera conveniente o sea por un lado nos
quedaría at * DS y del otro lado nos
quedaría igual a b por deb
Okay y listo Pues ahora lo siguiente es
HM recordar los datos que nos da el
enunciado que pues es s0 = 0 m la s
final es igual a 10 m y la velocidad
inicial es de 4 m sobre segundo Qué
quiere decir esto el camión iba en la
carretera circular de 50 m de radio a 4
m sobre segundo constante
sin embargo en la posición s0 su rapidez
Se incrementa en At igual a tal y
termina el análisis cuando ha recorrido
10 m que es donde nos interesa encontrar
su rapidez y la magnitud de su
aceleración por eso consideramos estos
datos para poner los parámetros
iniciales Okay es como los límites y
precisamente para eso nos van a servir
hacemos las integrales en ambos lados de
la igualdad y ponemos los límites de la
integral con base en esta información
del lado izquierdo como se trata de un
diferencial de posición hay que usar los
límites o los parámetros de posición en
este caso sería desde ese c0 o sea 0 m
hasta 10 m y en el lado derecho como se
trata de velocidad pues simplemente hay
que usar la velocidad inicial que es 4 m
y una velocidad final que es la que no
conocemos Pues bien Ahora lo que
prosigue es resolver las integrales a
sustituir operar y ya básicamente hay
que hacer eso porque pusimos 0.5 por s
Porque esa es la expresión de la
aceleración tangencial es el único
detalle bueno Una vez que se resuelven
las integrales y se sustituyen los datos
los límites de la integral se obtiene la
expresión que viene en el lado derecho
0.05 2 * 10 cu = 1/2 de velocidad final
al cuadrado - 16
la incógnita pues es la velocidad final
que Precisamente es la que nos interesa
encontrar la rapidez Así es que se
despeja
e para detallar ligeramente y brevemente
si se dan cuenta el dos que divide al
0.5 de lado izquierdo Se elimina con el
1/2 del lado derecho Después 0.05 * 10
cu es 0.05 * 100 esto es igual a 5 y el
16 que está del lado derecho restando
pasa al lado izquierdo sumando bf está
elevado al cuadrado Así es que se saca
la raíz y así es como se obtiene la
rapidez Okay en este caso la rapidez del
camión sería de
4.58 m sobre segundo al moverse 10
m ahora que tenemos la velocidad
encontramos la aceleración la
aceleración normal Por cierto y es
sustituir los valores que ya calculamos
de velocidad el radio de curvatura son
50 m y listo la aceler normal da 0.42 m
sobre segundo al cuadrado la tangencial
como está en función de la posición pues
simplemente hay que evaluar la
aceleración cuando s es igual a 10 se
obtiene pun 5 Met segundo al cuadrado y
listo calculamos la magnitud de la
aceleración como se vio en el ejemplo
anterior y nos da como resultado
0.653 m sobre segundo al cuadrado
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