19. Ecuación de la recta. Problema explicado.

Summary

En este video, Jesús Grajeda explica cómo encontrar la ecuación de una recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el punto de intersección de dos rectas dadas. Utilizando el método de suma y resta, Jesús encuentra el punto de intersección (2,1), luego aplica la ecuación punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta. Finalmente, simplifica la ecuación a su forma general. Para comprobar el resultado, grafica las rectas y confirma que los cálculos son correctos. El video concluye con una invitación a suscribirse al canal y seguir aprendiendo matemáticas.

Takeaways

• 👋 Hola, Jesús Grajeda te da la bienvenida a un nuevo video de matemáticas.
• 📚 El objetivo es resolver el ejercicio de encontrar la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de dos rectas.
• 🔍 Primero, se busca el punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0.
• ✅ Se utiliza el método de reducción para eliminar una variable, sumando y restando las ecuaciones para encontrar Y=1.
• 📐 Con Y=1, se resuelve para X en la ecuación 2X+3(1)-7=0, encontrando X=2, por lo que el punto de intersección es (2,1).
• 📈 Se utiliza la fórmula de la ecuación de una recta en pendiente-y-intercept (y-mn) para encontrar la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por (2,1).
• 📘 Se sustituyen los valores de X1, Y1 y la pendiente m en la fórmula para obtener la ecuación punto-pendiente de la recta.
• 🔄 Se transforma la ecuación punto-pendiente a la ecuación general de la recta, obteniendo 2X + Y - 5 = 0.
• 📊 Se verifica la solución en GeoGebra, graficando las tres rectas y confirmando que la recta encontrada pasa por el punto de intersección y tiene la pendiente correcta.
• 🎓 Jesús Grajeda invita a suscriptores a seguir sus redes sociales y a disfrutar de más contenidos educativos sobre matemáticas.

Q & A

¿Qué es el objetivo principal del video?

El objetivo principal del video es resolver un ejercicio que busca encontrar la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de dos rectas dadas.

¿Cuál es la pendiente de la recta que se busca encontrar?

La pendiente de la recta que se busca encontrar es m=-2.

¿Cómo se determina el punto de intersección de las dos rectas?

El punto de intersección se determina resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0 usando el método de reducción.

¿Cuál es el método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones?

El método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones es el método de reducción, también conocido como método de suma y resta.

¿Cuál es el valor de Y en el punto de intersección de las dos rectas?

El valor de Y en el punto de intersección es 1.

¿Cuál es el valor de X en el punto de intersección de las dos rectas?

El valor de X en el punto de intersección es 2.

¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por el punto (2,1)?

La ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por el punto (2,1) es 2X + Y - 5 = 0.

¿Cómo se obtiene la ecuación general de la recta?

La ecuación general de la recta se obtiene resolviendo el paréntesis y moviéndoselo todo al lado izquierdo, dejando 0 en el lado derecho.

¿Cómo se verifica que la ecuación encontrada es correcta?

Se verifica que la ecuación encontrada es correcta al graficar las rectas en GeoGebra y observar que la recta pasa por el punto de intersección (2,1) y tiene la pendiente correcta.

¿Cómo se puede seguir al creador del video y sus redes sociales?

Se puede seguir al creador del video suscribiéndose al canal, recomendándolo a compañeros y siguiendolo en todas sus redes sociales.

Outlines

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📘 Introducción y Método de Resolución

El video comienza con Jesús Grajeda saludando al público y presentando el ejercicio de resolver la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de las rectas 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0. Para encontrar la intersección, utiliza el método de reducción, restando las ecuaciones para eliminar la variable X y obtener la variable Y. Tras simplificar, encuentra que Y=1. Luego, introduce el valor de Y en una de las ecuaciones para encontrar X, resultando en X=2. Con los valores de X e Y, establece el punto de intersección (2,1) y procede a encontrar la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por este punto.

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📐 Ecuación Punto-Pendiente y Generalización

Tras identificar el punto de intersección, Jesús utiliza la fórmula de la ecuación punto-pendiente (y-y1 = m(x-x1)) para hallar la recta deseada. Sustituye los valores conocidos de m, x1 y y1, y simplifica la ecuación para obtener la forma y-1 = -2(x-2). Finalmente, resuelve el paréntesis y reorganiza los términos para obtener la ecuación general de la recta 2X + Y - 5 = 0. Para validar su solución, planea graficar las rectas en GeoGebra, mostrando la intersección y la recta con la pendiente correcta que pasa por el punto dado.

Keywords

💡Recta

Una recta en matemáticas es una línea que no tiene comienzo ni fin y que siempre se puede extender. En el video, la recta es el objeto de estudio principal, ya que se busca encontrar la ecuación de una recta con una pendiente específica que pase por un punto de intersección dado. El guion utiliza la recta para enseñar cómo resolver un sistema de ecuaciones y encontrar la intersección de dos rectas.

💡Pendiente

La pendiente (m) de una recta es una medida de su inclinación, definida como la cantidad de desplazamiento vertical (Y) por la cantidad de desplazamiento horizontal (X). En el guion, la pendiente es crucial ya que se busca la ecuación de una recta con una pendiente de -2, lo que indica que la recta disminuye en vertical a medida que aumenta en horizontal.

💡Ecuación de la recta

La ecuación de la recta es una fórmula matemática que describe la relación entre los valores de X e Y en una recta. En el video, se busca la ecuación de una recta específica, usando la pendiente y el punto de intersección como parámetros. El proceso de encontrar esta ecuación es un ejemplo de cómo se aplican las matemáticas en el análisis de problemas geométricos.

💡Punto de intersección

El punto de intersección es el lugar donde dos rectas se cruzan. En el guion, el punto de intersección es un dato proporcionado que se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar la ecuación de la recta que se busca. El punto (2,1) es el resultado de la intersección de las dos rectas dadas en el ejercicio.

💡Método de reducción

El método de reducción, también conocido como método de suma y resta, es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones. En el video, se utiliza este método para eliminar una variable y encontrar el punto de intersección de las dos rectas. Este método es fundamental para entender cómo se manipulan las ecuaciones en el proceso de solución.

💡Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se resuelven juntas para encontrar valores comunes de las variables. En el video, se presenta un sistema de ecuaciones para determinar el punto de intersección de dos rectas, que es un paso previo para encontrar la ecuación de la recta con la pendiente dada.

💡Ecuación punto-pendiente

La ecuación punto-pendiente es una forma de escribir la ecuación de una recta cuando se conocen el punto que ella pasa y su pendiente. En el video, se utiliza esta ecuación para encontrar la recta que tiene una pendiente de -2 y pasa por el punto (2,1), que es el punto de intersección de las otras dos rectas.

💡Ecuación general

La ecuación general de una recta es una forma de escribir la ecuación de una recta que incluye los términos de X y Y, generalmente en la forma Ax + By + C = 0. En el video, se busca la ecuación general de la recta que tiene una pendiente específica y pasa por un punto dado, lo que permite visualizar y analizar la recta en su forma completa.

💡GeoGebra

GeoGebra es una herramienta de matemáticas dinámicas que permite visualizar y explorar problemas matemáticos, incluyendo la representación gráfica de ecuaciones. En el video, se menciona el uso de GeoGebra para graficar las rectas y verificar la ecuación encontrada, demostrando cómo las herramientas tecnológicas pueden ser útiles en el aprendizaje de matemáticas.

💡Resolución de problemas

La resolución de problemas es el proceso de identificar y aplicar soluciones a problemas específicos. En el video, la resolución de problemas se centra en encontrar la ecuación de una recta dada, lo que implica el uso de conceptos matemáticos como la pendiente, el punto de intersección y el sistema de ecuaciones para llegar a una solución.

Highlights

Introducción al video y presentación del problema de encontrar la ecuación de una recta.

Explicación de que la recta tiene una pendiente m=-2 y debe pasar por el punto de intersección de dos rectas dadas.

Método de reducción o suma y resta para resolver el sistema de ecuaciones.

Eliminación de la variable X al restar las ecuaciones.

Simplificación para encontrar la coordenada Y del punto de intersección.

Determinación de que Y=1 al resolver el sistema de ecuaciones.

Uso de la ecuación 2X+3Y-7=0 para encontrar la coordenada X del punto de intersección.

Cálculo de X=2 al sustituir Y=1 en la ecuación y resolver para X.

Conclusión del punto de intersección (2,1).

Uso de la ecuación punto-pendiente para encontrar la recta con pendiente -2 que pasa por (2,1).

Sustitución de los valores en la ecuación punto-pendiente.

Conversión de la ecuación punto-pendiente a la ecuación general de la recta.

Simplificación para obtener la ecuación general 2X+Y-5=0.

Validación de la solución al graficar las rectas en GeoGebra.

Confirmación de que la recta 2X+Y-5=0 pasa por el punto (2,1) y tiene una pendiente de -2.

Conclusión del video con una invitación a suscribirse y seguir en redes sociales.

Transcripts

Hola qué tal ¿Cómo están? sean bienvenidas  y bienvenidos a este nuevo video. 

Yo soy Jesús Grajeda, y en esta ocasión vamos  a resolver este ejercicio que dice: Halle la  

ecuación de la recta cuya pendiente es m=-2 y  que pasa por el punto de intersección 2X+3Y-7=0  

y 2X-2Y-2=0; así que sin más preámbulo comenzamos. Lo primero que voy a hacer es encontrar al punto  

de intersección de estas dos rectas para poder  ver entonces por donde pasa la ecuación de la  

recta que nos están pidiendo, entonces venga  vamos a hacer lo siguiente voy a resolver a  

este sistema de ecuaciones por alguno de los  métodos que ustedes seguramente ya han visto  

en este caso yo voy a usar el método de reducción  o también conocido como método de suma y resta. 

Acuérdate lo que hacemos nosotros es sumar o  restar a las ecuaciones para así poder eliminar a  

una de las dos incógnitas en este caso me conviene  restarlas ¿cierto? ¿por qué? Porque si hago 2X  

menos 2X ya me quedará 0, entonces ya no tengo X,  vamos ahora con las yes, tenemos 3Y menos menos  

2Y me quedaría 3Y más 2Y ¿verdad? Y 3Y más 2Y en  total me queda 5Y, vamos ahora con los términos  

independientes, menos 7 menos menos 2 sería menos  7 más 2, y menos 7 más 2 me quedaría menos 5,  

finalmente del lado derecho me quedaría 0 menos  0 que sigue dando 0; despejamos de aquí a la Y,  

como este está restando pasará sumando entonces me  quedará 5Y=5; finalmente está multiplicando pasará  

dividiendo, entonces tenemos que Y es igual a 5  sobre 5, o sea que Y vale 1; ¡listo! Entonces ya  

sabemos que estas dos rectas van a intersecar en  Y igual a 1, ahora permitirme hacer lo siguiente,  

como ya tenemos que intersecan en Y igual a 1,  ahora vamos a encontrar cuál es el valor de X,  

voy a poner por aquí mi valor que ya encontré  Y vale 1, me voy ir a cualquiera de las dos  

ecuaciones puede ser la primera o la segunda voy  a tomar la primera pero da exactamente lo mismo  

si tomo la segunda, entonces me quedaría 2X+3, por  lo que vale Y pero ya encontramos que Y valía 1,  

menos 7 tiene que ser 0, hago las operaciones  me quedará 2X+3 por 1 que son 3 menos 7,  

me queda me queda 0; hago la resta 2X más 3  menos 7 me quedará menos 4 y eso tiene que ser 0,  

despejo de aquí a X como está restando pasará  sumando, entonces será 2X es igual a 4 y aquí  

tenemos entonces que como está multiplicando pasa  dividiendo entonces me quedaría que X es igual  

a 4 entre 2, o sea X vale 2 ¡listo! ya tenemos  entonces que X vale 2, el punto entonces donde  

cruzan estas dos rectas va a ser en (2,1) cierto  quiere decir entonces que nosotros tenemos que  

encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente  es menos 2 y que pasa por el punto (2,1) que  

es el punto de intersección ¿cierto? Entonces  venga ahora sí vamos a encontrar a la ecuación,  

en vídeos anteriores de esta lista de reproducción  que les dejo aquí abajo en la descripción de este  

video ya vimos a la ecuación punto pendiente de  la recta ¿cierto? la ecuación punto pendiente era  

Y menos Y1 es igual a m por X menos X1, entonces  a ver nosotros ya tenemos a X1 y a Y1 que serían  

las coordenadas del punto que encontramos y  además necesitamos a la pendiente y ya nos  

la dan también, entonces venga simplemente vamos  a sustituir, me quedará Y menos Y1, Y1 sería en  

este caso 1, es igual a m que nos la dan que vale  menos 2, por X menos X1 que en este caso vale 2,  

¡listo! Esto que tengo acá entonces ya será  la ecuación punto pendiente de la recta,  

en este momento nosotros ya estaríamos terminado  el problema pero de una vez vamos a encontrar  

a la ecuación general dado que ya tenemos a la  ecuación con punto pendiente y ya es muy sencillo. 

Para poder encontrar a la ecuación general  simplemente vamos a resolver el paréntesis  

y vamos a mandar todo al lado izquierdo,  entonces venga vamos a hacerlo de una vez,  

permíteme me recorro un poquito me quedaría Y  menos 1 es igual a menos 2 por X son menos 2X,  

y menos 2 por menos 2 son más 4, pasamos todo del  lado izquierdo pero iniciando primero con lo que  

tiene X, o sea este menos 2X va a pasar como más  2X, lo ponemos entonces al inicio, luego vamos a  

poner lo que tiene Y, en este caso queda más Y  del lado izquierdo, después tenemos un menos 1  

y este más 4 pasará como menos 4 ¿cierto? Así de  está manera y del lado derecho pues ya no me queda  

nada, o sea simplemente le voy a poner 0, ahora  simplemente vamos a operar el menos 1 menos 4,  

quedándome entonces 2X+Y, menos 1 menos 4 dará  menos 5 y del lado derecho hay 0; ¡listo! Esto que  

tengo aquí entonces ya será la ecuación general de  la recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el  

punto de intersección de estas dos rectas, en este  momento entonces ya hemos terminado el ejercicio. 

Para poder comprobar lo que acabo de hacer vamos  a graficar en GeoGebra todo esto, entonces venga  

primero voy a poner a la ecuación 2X más 3Y menos  7 igual a 0, entonces venga la ponemos ¡listo! Ya  

tenemos entonces a esta recta; ahora vamos ponerle  la otra recta que es 2X menos 2Y menos 2 igual a  

0, una vez que ya tenemos a nuestras dos rectas  vamos a observar el punto de intersección como  

podemos ver el punto de intersección en efecto  si está en (2,1) entonces quiere decir que si lo  

hicimos bien ¿verdad? O sea si encontramos  de forma correcta a punto de intersección,  

ahora voy a poner a la recta que nos dio como  resultado, nos dio como resultado la recta 2X  

más Y menos 5 igual a 0; y como podemos ver al  momento de teclearla en efecto si esta pasando  

por el punto que habíamos quedado y además como  podemos ver también su pendiente si es de menos 2. 

Y bien pues esto ha sido todo por hoy espero  que les haya servido y que les haya gustado,  

si les gustó, no olviden suscribirse al  canal recomendárselo a todas sus compañeras  

y compañeros, y como siempre seguirme en todas  mis redes sociales, nos vemos en un siguiente  

vídeo y nunca olvides, pero nunca olvides  que las matemáticas te respaldan. Chao.