19. Ecuación de la recta. Problema explicado.
Summary
TLDREn este video, Jesús Grajeda explica cómo encontrar la ecuación de una recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el punto de intersección de dos rectas dadas. Utilizando el método de suma y resta, Jesús encuentra el punto de intersección (2,1), luego aplica la ecuación punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta. Finalmente, simplifica la ecuación a su forma general. Para comprobar el resultado, grafica las rectas y confirma que los cálculos son correctos. El video concluye con una invitación a suscribirse al canal y seguir aprendiendo matemáticas.
Takeaways
- 👋 Hola, Jesús Grajeda te da la bienvenida a un nuevo video de matemáticas.
- 📚 El objetivo es resolver el ejercicio de encontrar la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de dos rectas.
- 🔍 Primero, se busca el punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0.
- ✅ Se utiliza el método de reducción para eliminar una variable, sumando y restando las ecuaciones para encontrar Y=1.
- 📐 Con Y=1, se resuelve para X en la ecuación 2X+3(1)-7=0, encontrando X=2, por lo que el punto de intersección es (2,1).
- 📈 Se utiliza la fórmula de la ecuación de una recta en pendiente-y-intercept (y-mn) para encontrar la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por (2,1).
- 📘 Se sustituyen los valores de X1, Y1 y la pendiente m en la fórmula para obtener la ecuación punto-pendiente de la recta.
- 🔄 Se transforma la ecuación punto-pendiente a la ecuación general de la recta, obteniendo 2X + Y - 5 = 0.
- 📊 Se verifica la solución en GeoGebra, graficando las tres rectas y confirmando que la recta encontrada pasa por el punto de intersección y tiene la pendiente correcta.
- 🎓 Jesús Grajeda invita a suscriptores a seguir sus redes sociales y a disfrutar de más contenidos educativos sobre matemáticas.
Q & A
¿Qué es el objetivo principal del video?
-El objetivo principal del video es resolver un ejercicio que busca encontrar la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de dos rectas dadas.
¿Cuál es la pendiente de la recta que se busca encontrar?
-La pendiente de la recta que se busca encontrar es m=-2.
¿Cómo se determina el punto de intersección de las dos rectas?
-El punto de intersección se determina resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0 usando el método de reducción.
¿Cuál es el método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones?
-El método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones es el método de reducción, también conocido como método de suma y resta.
¿Cuál es el valor de Y en el punto de intersección de las dos rectas?
-El valor de Y en el punto de intersección es 1.
¿Cuál es el valor de X en el punto de intersección de las dos rectas?
-El valor de X en el punto de intersección es 2.
¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por el punto (2,1)?
-La ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por el punto (2,1) es 2X + Y - 5 = 0.
¿Cómo se obtiene la ecuación general de la recta?
-La ecuación general de la recta se obtiene resolviendo el paréntesis y moviéndoselo todo al lado izquierdo, dejando 0 en el lado derecho.
¿Cómo se verifica que la ecuación encontrada es correcta?
-Se verifica que la ecuación encontrada es correcta al graficar las rectas en GeoGebra y observar que la recta pasa por el punto de intersección (2,1) y tiene la pendiente correcta.
¿Cómo se puede seguir al creador del video y sus redes sociales?
-Se puede seguir al creador del video suscribiéndose al canal, recomendándolo a compañeros y siguiendolo en todas sus redes sociales.
Outlines
📘 Introducción y Método de Resolución
El video comienza con Jesús Grajeda saludando al público y presentando el ejercicio de resolver la ecuación de una recta con pendiente m=-2 que pasa por el punto de intersección de las rectas 2X+3Y-7=0 y 2X-2Y-2=0. Para encontrar la intersección, utiliza el método de reducción, restando las ecuaciones para eliminar la variable X y obtener la variable Y. Tras simplificar, encuentra que Y=1. Luego, introduce el valor de Y en una de las ecuaciones para encontrar X, resultando en X=2. Con los valores de X e Y, establece el punto de intersección (2,1) y procede a encontrar la ecuación de la recta con pendiente -2 que pasa por este punto.
📐 Ecuación Punto-Pendiente y Generalización
Tras identificar el punto de intersección, Jesús utiliza la fórmula de la ecuación punto-pendiente (y-y1 = m(x-x1)) para hallar la recta deseada. Sustituye los valores conocidos de m, x1 y y1, y simplifica la ecuación para obtener la forma y-1 = -2(x-2). Finalmente, resuelve el paréntesis y reorganiza los términos para obtener la ecuación general de la recta 2X + Y - 5 = 0. Para validar su solución, planea graficar las rectas en GeoGebra, mostrando la intersección y la recta con la pendiente correcta que pasa por el punto dado.
Mindmap
Keywords
💡Recta
💡Pendiente
💡Ecuación de la recta
💡Punto de intersección
💡Método de reducción
💡Sistema de ecuaciones
💡Ecuación punto-pendiente
💡Ecuación general
💡GeoGebra
💡Resolución de problemas
Highlights
Introducción al video y presentación del problema de encontrar la ecuación de una recta.
Explicación de que la recta tiene una pendiente m=-2 y debe pasar por el punto de intersección de dos rectas dadas.
Método de reducción o suma y resta para resolver el sistema de ecuaciones.
Eliminación de la variable X al restar las ecuaciones.
Simplificación para encontrar la coordenada Y del punto de intersección.
Determinación de que Y=1 al resolver el sistema de ecuaciones.
Uso de la ecuación 2X+3Y-7=0 para encontrar la coordenada X del punto de intersección.
Cálculo de X=2 al sustituir Y=1 en la ecuación y resolver para X.
Conclusión del punto de intersección (2,1).
Uso de la ecuación punto-pendiente para encontrar la recta con pendiente -2 que pasa por (2,1).
Sustitución de los valores en la ecuación punto-pendiente.
Conversión de la ecuación punto-pendiente a la ecuación general de la recta.
Simplificación para obtener la ecuación general 2X+Y-5=0.
Validación de la solución al graficar las rectas en GeoGebra.
Confirmación de que la recta 2X+Y-5=0 pasa por el punto (2,1) y tiene una pendiente de -2.
Conclusión del video con una invitación a suscribirse y seguir en redes sociales.
Transcripts
Hola qué tal ¿Cómo están? sean bienvenidas y bienvenidos a este nuevo video.
Yo soy Jesús Grajeda, y en esta ocasión vamos a resolver este ejercicio que dice: Halle la
ecuación de la recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el punto de intersección 2X+3Y-7=0
y 2X-2Y-2=0; así que sin más preámbulo comenzamos. Lo primero que voy a hacer es encontrar al punto
de intersección de estas dos rectas para poder ver entonces por donde pasa la ecuación de la
recta que nos están pidiendo, entonces venga vamos a hacer lo siguiente voy a resolver a
este sistema de ecuaciones por alguno de los métodos que ustedes seguramente ya han visto
en este caso yo voy a usar el método de reducción o también conocido como método de suma y resta.
Acuérdate lo que hacemos nosotros es sumar o restar a las ecuaciones para así poder eliminar a
una de las dos incógnitas en este caso me conviene restarlas ¿cierto? ¿por qué? Porque si hago 2X
menos 2X ya me quedará 0, entonces ya no tengo X, vamos ahora con las yes, tenemos 3Y menos menos
2Y me quedaría 3Y más 2Y ¿verdad? Y 3Y más 2Y en total me queda 5Y, vamos ahora con los términos
independientes, menos 7 menos menos 2 sería menos 7 más 2, y menos 7 más 2 me quedaría menos 5,
finalmente del lado derecho me quedaría 0 menos 0 que sigue dando 0; despejamos de aquí a la Y,
como este está restando pasará sumando entonces me quedará 5Y=5; finalmente está multiplicando pasará
dividiendo, entonces tenemos que Y es igual a 5 sobre 5, o sea que Y vale 1; ¡listo! Entonces ya
sabemos que estas dos rectas van a intersecar en Y igual a 1, ahora permitirme hacer lo siguiente,
como ya tenemos que intersecan en Y igual a 1, ahora vamos a encontrar cuál es el valor de X,
voy a poner por aquí mi valor que ya encontré Y vale 1, me voy ir a cualquiera de las dos
ecuaciones puede ser la primera o la segunda voy a tomar la primera pero da exactamente lo mismo
si tomo la segunda, entonces me quedaría 2X+3, por lo que vale Y pero ya encontramos que Y valía 1,
menos 7 tiene que ser 0, hago las operaciones me quedará 2X+3 por 1 que son 3 menos 7,
me queda me queda 0; hago la resta 2X más 3 menos 7 me quedará menos 4 y eso tiene que ser 0,
despejo de aquí a X como está restando pasará sumando, entonces será 2X es igual a 4 y aquí
tenemos entonces que como está multiplicando pasa dividiendo entonces me quedaría que X es igual
a 4 entre 2, o sea X vale 2 ¡listo! ya tenemos entonces que X vale 2, el punto entonces donde
cruzan estas dos rectas va a ser en (2,1) cierto quiere decir entonces que nosotros tenemos que
encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es menos 2 y que pasa por el punto (2,1) que
es el punto de intersección ¿cierto? Entonces venga ahora sí vamos a encontrar a la ecuación,
en vídeos anteriores de esta lista de reproducción que les dejo aquí abajo en la descripción de este
video ya vimos a la ecuación punto pendiente de la recta ¿cierto? la ecuación punto pendiente era
Y menos Y1 es igual a m por X menos X1, entonces a ver nosotros ya tenemos a X1 y a Y1 que serían
las coordenadas del punto que encontramos y además necesitamos a la pendiente y ya nos
la dan también, entonces venga simplemente vamos a sustituir, me quedará Y menos Y1, Y1 sería en
este caso 1, es igual a m que nos la dan que vale menos 2, por X menos X1 que en este caso vale 2,
¡listo! Esto que tengo acá entonces ya será la ecuación punto pendiente de la recta,
en este momento nosotros ya estaríamos terminado el problema pero de una vez vamos a encontrar
a la ecuación general dado que ya tenemos a la ecuación con punto pendiente y ya es muy sencillo.
Para poder encontrar a la ecuación general simplemente vamos a resolver el paréntesis
y vamos a mandar todo al lado izquierdo, entonces venga vamos a hacerlo de una vez,
permíteme me recorro un poquito me quedaría Y menos 1 es igual a menos 2 por X son menos 2X,
y menos 2 por menos 2 son más 4, pasamos todo del lado izquierdo pero iniciando primero con lo que
tiene X, o sea este menos 2X va a pasar como más 2X, lo ponemos entonces al inicio, luego vamos a
poner lo que tiene Y, en este caso queda más Y del lado izquierdo, después tenemos un menos 1
y este más 4 pasará como menos 4 ¿cierto? Así de está manera y del lado derecho pues ya no me queda
nada, o sea simplemente le voy a poner 0, ahora simplemente vamos a operar el menos 1 menos 4,
quedándome entonces 2X+Y, menos 1 menos 4 dará menos 5 y del lado derecho hay 0; ¡listo! Esto que
tengo aquí entonces ya será la ecuación general de la recta cuya pendiente es m=-2 y que pasa por el
punto de intersección de estas dos rectas, en este momento entonces ya hemos terminado el ejercicio.
Para poder comprobar lo que acabo de hacer vamos a graficar en GeoGebra todo esto, entonces venga
primero voy a poner a la ecuación 2X más 3Y menos 7 igual a 0, entonces venga la ponemos ¡listo! Ya
tenemos entonces a esta recta; ahora vamos ponerle la otra recta que es 2X menos 2Y menos 2 igual a
0, una vez que ya tenemos a nuestras dos rectas vamos a observar el punto de intersección como
podemos ver el punto de intersección en efecto si está en (2,1) entonces quiere decir que si lo
hicimos bien ¿verdad? O sea si encontramos de forma correcta a punto de intersección,
ahora voy a poner a la recta que nos dio como resultado, nos dio como resultado la recta 2X
más Y menos 5 igual a 0; y como podemos ver al momento de teclearla en efecto si esta pasando
por el punto que habíamos quedado y además como podemos ver también su pendiente si es de menos 2.
Y bien pues esto ha sido todo por hoy espero que les haya servido y que les haya gustado,
si les gustó, no olviden suscribirse al canal recomendárselo a todas sus compañeras
y compañeros, y como siempre seguirme en todas mis redes sociales, nos vemos en un siguiente
vídeo y nunca olvides, pero nunca olvides que las matemáticas te respaldan. Chao.
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