Vibraciones forzadas con dos grados de libertad
Summary
TLDREn esta clase se estudian las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad. Se realiza una analogía a sistemas con múltiples grados de libertad. Se analizan fuerzas senoidales aplicadas a masas M1 y M2 unidas por resortes, y se plantean ecuaciones matriciales para resolver el desplazamiento y las frecuencias naturales. Se discuten casos prácticos y se muestra cómo el amortiguamiento afecta la respuesta de los sistemas, destacando la importancia de encontrar el nivel óptimo de amortiguamiento para minimizar la amplitud de las vibraciones.
Takeaways
- 📚 Clase dedicada al estudio de vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad.
- 🔁 Se realiza una analogía para sistemas con múltiples grados de libertad a partir de la metodología de las clases anteriores.
- 🌐 Sistema de dos masas M1 y M2 unidas por dos resortes de constantes k1 y k2, sin amortiguamiento.
- 🔧 Dos fuerzas senoidales, f1 y f2, actúan sobre las masas M1 y M2 respectivamente, a distintas frecuencias angulares omegaf.
- 📉 Se establecen las ecuaciones del movimiento para ambas masas utilizando la segunda ley de Newton.
- 🧩 Se propone un enfoque matricial para resolver el sistema, utilizando matrices de masas, rigidez y fuerzas.
- 🔢 Se calculan las frecuencias naturales de los sistemas mediante las matrices de masas y rigidez.
- 📊 Se muestra cómo las respuestas forzadas dependen de las frecuencias de forzamiento y las frecuencias naturales del sistema.
- 🏗️ Se introduce el concepto de amortiguamiento en el sistema, añadiendo fuerzas de amortiguamiento a las ecuaciones.
- 📈 Se analiza la respuesta del sistema a la frecuencia de forzamiento, destacando la importancia del factor de amortiguamiento para minimizar la amplitud de la respuesta.
- 🌐 Se extiende la discusión a sistemas con múltiples grados de libertad, manteniendo la estructura matricial para la resolución de ecuaciones.
Q & A
¿Qué sistemas se estudiarán en esta clase?
-En esta clase se estudiarán las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad y se hará una analogía en sistemas con múltiples grados de libertad.
¿Cuál es el sistema que se describe en el guión?
-El sistema descrito en el guión consiste en dos masas, M1 y M2, unidas por dos resortes de constantes k1 y k2, sin amortiguamiento, y sometidas a dos fuerzas externas, f1 y f2, ambas senoidales con frecuencias angulares omegaf.
¿Cómo se aplican las fuerzas externas en el sistema?
-La fuerza externa f1 se aplica sobre la masa 1 y la fuerza f2 se aplica sobre la masa M2, ambas con frecuencias senoidales.
¿Qué ley de Newton se utiliza para describir el movimiento de las masas?
-Se utiliza la segunda ley de Newton para describir el movimiento de las masas, relacionando la fuerza con la aceleración de las masas.
¿Cómo se puede representar el sistema de dos masas matemáticamente?
-Se puede representar el sistema de dos masas mediante una ecuación matricial que involucra la matriz de masas, la matriz de aceleraciones, la matriz de rigidez y la matriz de fuerzas.
¿Qué es la matriz de masas y cómo se relaciona con el sistema?
-La matriz de masas es una matriz que representa las masas del sistema y sus relaciones de interacción. En el caso del sistema de dos masas, se puede representar con los elementos m11, m12, m21 y m22.
¿Cómo se relacionan las frecuencias naturales con las masas y las constantes de los resortes?
-Las frecuencias naturales dependen de las masas y las constantes de los resortes. Se pueden calcular a partir de las componentes de la matriz de masas y la matriz de rigidez.
¿Qué sucede cuando la frecuencia de forzamiento es igual a la frecuencia natural?
-Cuando la frecuencia de forzamiento alcanza la frecuencia natural, la amplitud de la masa tiende a infinito, lo que indica un desplazamiento muy grande de la masa.
¿Cómo se calculan las respuestas forzadas para las masas en el sistema?
-Las respuestas forzadas para las masas se calculan a partir de la matriz de amplitudes de desplazamiento, que depende de las amplitudes de las fuerzas y las constantes k y m de las matrices de rigidez.
¿Qué cambios se introducen al considerar el amortiguamiento en el sistema?
-Al considerar el amortiguamiento, se añaden fuerzas adicionales a las ecuaciones de movimiento que corresponden a los amortiguadores con constantes c1 y c2. Esto afecta la respuesta del sistema y se debe ajustar el factor de amortiguamiento para minimizar la amplitud de la salida.
¿Cómo se relaciona el factor de amortiguamiento con la amplitud de la salida en un sistema con dos grados de libertad?
-Existe un valor óptimo de amortiguamiento que minimiza la amplitud de la salida. Si se amortigua menos que ese valor, la salida será más grande, y si se amortigua más, la vibración también será más grande.
¿Cómo se generaliza el análisis para sistemas con múltiples grados de libertad?
-El análisis se generaliza para sistemas con múltiples grados de libertad utilizando matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de tamaño n por n, donde n es el número de grados de libertad. Las ecuaciones se resuelven de forma análoga a las de sistemas con dos grados de libertad.
Outlines
📚 Estudio de Vibraciones Forzadas en Sistemas de Dos Grados de Libertad
En el primer párrafo, se discute el estudio de vibraciones forzadas en sistemas con dos grados de libertad, con y sin amortiguamiento. Se presenta un sistema de dos masas (M1 y M2) conectadas por resortes con constantes k1 y k2 y sometidas a fuerzas senoidales f1 y f2. Se aplica la segunda ley de Newton para modelar las ecuaciones del movimiento y se sugiere el uso de un enfoque matricial para resolver el sistema. Se discuten las matrices de masas, rigidez y fuerzas, así como las ecuaciones características y la forma de las soluciones de desplazamiento en función del tiempo para cada masa.
🔍 Análisis de Amplitudes y Frecuencias Naturales
El segundo párrafo se enfoca en el cálculo de las amplitudes y frecuencias naturales de un sistema de dos masas sometido a vibraciones forzadas. Se destaca la importancia de las frecuencias de forzamiento (Omega F) y cómo estas afectan la amplitud de desplazamiento de las masas. Se proporciona un ejemplo práctico con valores específicos para las fuerzas, frecuencias y propiedades del sistema, y se calculan las matrices de fuerza, masa y rigidez. Se resuelven las ecuaciones para encontrar las frecuencias naturales (Omega 1 y Omega 2) y las amplitudes de desplazamiento (x1 y x2) para cada masa, considerando las respuestas forzadas y homogéneas.
🛠️ Consideraciones para Sistemas con Amortiguamiento
El tercer párrafo introduce el concepto de amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad y cómo afecta las vibraciones forzadas. Se describen las ecuaciones de Newton modificadas para incluir fuerzas de amortiguamiento (c1 y c2) y se presenta la forma matricial compacta del problema. Se discute la importancia de encontrar el factor de amortiguamiento óptimo para minimizar la amplitud de la respuesta de vibración, y se presentan gráficos para ilustrar cómo diferentes niveles de amortiguamiento afectan la amplificación del movimiento.
🔄 Ampliación de Conceptos a Sistemas con Múltiples Grados de Libertad
El último párrafo amplía el análisis a sistemas con múltiples grados de libertad, manteniendo la estructura matricial del problema. Se describe cómo se pueden expresar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez para un sistema de 'n' grados de libertad, y se resaltan las similitudes en el enfoque de resolución de ecuaciones con el caso de dos grados de libertad, pero adaptado a un mayor número de ecuaciones y respuestas por cada masa en el sistema.
Mindmap
Keywords
💡Vibraciones forzadas
💡Amortiguamiento
💡Sistemas con dos grados de libertad
💡Fuerza senoidal
💡Frecuencia angular
💡Matriz de masas
💡Matriz de rigidez
💡Fuerzas externas
💡Frecuencias naturales
💡Amplitud de fuerza
💡Analogía en sistemas con múltiples grados de libertad
Highlights
Se estudian las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento en sistemas con dos grados de libertad.
El sistema analizado incluye dos masas M1 y M2, conectadas por resortes de constantes k1 y k2.
Se consideran fuerzas externas senoidales f1 y f2 con frecuencias angulares omega f y Omega F, respectivamente.
Aplicamos la segunda ley de Newton para formular las ecuaciones de movimiento de las masas.
Las ecuaciones se pueden expresar usando un tratamiento matricial con matrices de masa, rigidez y fuerzas.
Las funciones solución de desplazamiento para ambas masas tienen forma senoidal con la misma frecuencia que las fuerzas aplicadas.
Se calcula la frecuencia natural omega1 y omega2 usando las componentes de las matrices de masa y rigidez.
Se destaca la dependencia de las frecuencias naturales de las constantes de los resortes y las masas.
Ejemplo práctico ilustra cómo calcular las matrices de masa, rigidez y fuerza para obtener las amplitudes de desplazamiento.
Para el sistema dado, se calculan las frecuencias naturales omega1 y omega2, encontrando 707 y 14 radianes/seg.
La amplitud de desplazamiento para la masa 1 es cero y para la masa 2 se calcula como -2, con frecuencia omega f.
La respuesta total incluye componentes forzadas y homogéneas, con soluciones senoidales y exponenciales.
Se analizan vibraciones forzadas con amortiguamiento, añadiendo fuerzas de amortiguadores con constantes c1 y c2.
Se reformulan las ecuaciones con fuerzas de amortiguamiento y se resuelven utilizando métodos matriciales.
Se discute el factor de amortiguamiento óptimo que minimiza la amplitud de salida, relacionado con las masas del sistema.
Se destaca la importancia de ajustar el amortiguamiento para evitar amplificaciones innecesarias en el sistema.
Para sistemas con múltiples grados de libertad, las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez son cuadradas y de tamaño n por n.
La solución de las ecuaciones se extiende a sistemas con n grados de libertad, proporcionando una solución por cada grado.
Transcripts
en esta clase vamos a estudiar las
vibraciones forzadas con y sin
amortiguamiento en sistemas con dos
grados de libertad y luego vamos a hacer
una analogía en sistemas con múltiples
grados de libertad entonces siguiendo la
misma metodología que las clases
anteriores tenemos el sistema de dos
masas M1 y m2 unidas por dos resortes de
constantes k1 y k2 estamos en un sistema
sin amortiguamiento por lo tanto sólo
tendremos las masas y los resortes A
diferencia de los ejemplos pasados
tendremos dos fuerzas que van a estar
valga la redundancia forzando el sistema
una fuerza f1 aplicada sobre la masa 1
senoidal con una frecuencia angular
omegaf y sobre la masa m2 va a estar
actuando una fuerza f2 también senoidal
con frecuencia Omega F si armamos el
diagrama de cuerpo libre para las dos
masas manifestando las fuerzas que están
siendo ejercidas sobre de las masas en
un instante dado Tendremos que
aplicando la segunda ley de Newton para
la masa 1 la masa 1 por la aceleración 1
va a ser igual a la fuerza el primer
resorte hacia la izquierda y suponiendo
que el resorte 2 se estira más que el
resorte 1 tendremos la fuerza del
resorte 2 aplicada sobre la masa 1 como
k2 por x2 - x1 y finalmente le sumamos
la fuerza externa f1 seno de Omega ft lo
mismo hacemos para la masa 2 Lady Newton
masa por la aceleración es la fuerza del
resorte 2 ahora aplicada sobre la masa 2
con el sentido contrario negativo más la
fuerza f2 seno de Omega F por T
esto podemos organizar un poco mejor
pasar estos dos términos hacia la
izquierda de tal manera que quede
solamente la fuerza manifestada en la
igualdad Aquí también podemos aplicar un
tratamiento matricial en donde tenemos
la matriz específica para este caso
matriz de masas multiplicada por la
matriz de aceleraciones más la matriz de
rigidez en donde se manifiestan los
coeficientes de los resortes
multiplicada por los desplazamientos
igual a las fuerzas en donde tenemos la
matriz de las amplitud de la fuerza
multiplicada por seno de Omega ft Y
manifestamos entonces las dos ecuaciones
características en forma matricial
aquí tenemos una anotación más compacta
Y luego podemos hacer una analogía más
genérica en donde la matriz masa tiene
las cuatro componentes m11 m12 m21 y m22
para nuestro caso M1 y m12 serán 0
también podemos manifestar la matriz de
rigidez con sus coeficientes k11 cada
uno dos cada uno y cada dos que en este
caso serían estos cuatro para este caso
específico la matriz de las amplitudes
fuerza la matriz de las amplitudes
aceleración y la matriz de las
amplitudes de desplazamiento
al igual que los casos anteriores las
funciones solución es decir el
desplazamiento funciona el tiempo para
la masa 1 y para la masa 2 tendrá forma
de una amplitud X por el seno de Omega
ft va a tener la misma frecuencia de las
fuerzas aplicadas s1 y f2 por supuesto
esta solamente es la componente forzada
de la respuesta falta la componente
homogénea que es la que vimos en los
casos anteriores por supuesto se trata
de hallar la matriz de amplitudes de
desplazamiento de esta respuesta tanto
para la masa 1 como para la masa 2
como en los casos anteriores vamos a
tener frecuencias naturales para la masa
1 y para la masa 2 que van a depender de
las masas y de las constantes de los
resortes en este caso tenemos dos
funciones cuadráticas para Omega 1 y
para Omega 2 en donde los coeficientes
de la cuadrática van a ser el
coeficiente a va a ser la componente m11
por la componente m22 - m12 por m21 de
la matriz de masas y también tenemos
juegos entre la masa y los coeficientes
k de la matriz de rigidez y entre los
coeficientes K únicamente de la matriz
de rigidez para los coeficientes de y C
Entonces calculando estos coeficientes A
B y C dependiendo de las componentes de
las matrices más y rigidez podemos
Hallar las frecuencias angulares Omega 1
y Omega 2 para las masas 1 y 2
obviamente Esto va a depender de tanto
como están distribuidos los resortes
como el valor las constantes del resorte
y de las masas Y por supuesto son
parámetros intrínsecos al sistema de
masas y resortes de esta forma podemos
Hallar las amplitudes x1 y x2 en función
a las amplitudes de las fuerzas y a las
constantes k y m de las matrices de
rigidez y demás Así como la diferencia
entre las frecuencias de forzamiento y
las frecuencias naturales esta Entonces
sería la amplitud x1 para la masa 1
multiplicando por el seno de Omega ft
tendremos la solución no homogénea para
la masa 1 y lo mismo para la masa 2 Cabe
destacar que tanto para la masa 1 como
para la masa 2 tendremos dos frecuencias
de forzamiento esta Omega F que me van a
dar respuesta forzadas que van a tender
a desplazarse infinitamente cuando la
frecuencia de forzamiento alcance Omega
1 o alcanzomega 2 la amplitud de la masa
1 va a tender a infinito y más grande va
a ser Cuanto más cerca esté de Omega 1 o
de Omega 2 recordemos que para un grado
de libertad teníamos únicamente una
frecuencia que me hacía que el
desplazamiento tienda a infinito Lo
mismo para la masa 2 la masa 2 se va a
desplazar de forma muy grande a medida
que nos acerquemos tanto Omega 1 como a
Omega 2 veamos un ejemplo práctico
Tenemos aquí este sistema que vimos
anteriormente vamos a tener algunos
valores por ejemplo que la amplitud de
la fuerza 1 es 1000 Newton la fuerza 2
vale 0 que está acá es nula y la
frecuencia de forzamiento para la masa 1
es de 10 radiales 1 la masa 1 y la masa
2 vale 10 y 5 kilos y las constantes que
aún en cada dos valen 1000 y 500 Newton
por metro podemos armar las matrices
fuerza masa y rigidez para la matriz
fuerza tendremos f1 y 0 para las
matrices masa tendremos en m m2 y para
las constantes k de la matriz de rigidez
tendremos esta forma que vimos
anteriormente entonces podemos calcular
el coeficiente m11 y el coeficiente m22
directamente será la masa M1 y m2 los
coeficientes m12 y m21 serán 0 como
vemos acá y vamos a calcular también los
coeficientes cada uno uno cada dos cada
uno dos y cada uno que serán en este
caso iguales para la matriz de rigidez
cada uno uno era cada uno más cada dos
mil más 500 me da 1500 cada dos dos es
directamente k2 que vale 500 y cada uno
dos y cada uno valen lo mismo menos k2
menos 500 tenemos Entonces todos los
coeficientes de las matrices
ahora vamos a calcular los coeficientes
A B y C Que me van a servir para
calcular las frecuencias naturales o
mega1 y Omega 2 El coeficiente a
entonces es m11 por m22 menos m12 por
m21 este segundo término es 0 y me queda
5 por 10 m 11 por m22 50 para calcular B
todo lo que esté multiplicando por m12 y
m21 será 0 me va a quedar Entonces menos
abro paréntesis m11 10 por cada dos 500
más m22 que es 5 por k11 que es 1500 eso
con el signo menos me queda menos 12.500
para B
y se será cada uno uno por cada dos 1500
por 500 menos cada uno dos por cada uno
que vale menos 500 cada uno eso me da un
total de 500.000 con estos valores
podemos ir a la fórmula resolvente y
calcular Omega 1 y Omega 2 al cuadrado
que me van a quedar 50 y 200
reemplazando los valores si aplicamos la
raíz para calcular Omega 1 y Omega 2
tenemos que Omega 1 y Omega 2 vale 707 y
14 con 14 frecuencias naturales 1 y 2
Ahora sí podemos calcular directamente
las componentes de la matriz amplitud
amplitud de x1 correspondiente a la masa
1 y la amplitud x2 correspondiente a la
masa 2 de la respuesta forzada o no
homogénea correspondiente a las fuerzas
f1 Y en este caso f2 igual a cero
reemplazando los valores entonces para
x1 me va a quedar que está multiplicado
por f2 en este caso como f2 de ceros
este segundo término se hace cero me va
a quedar únicamente esta primera parte
dividido el denominador f1 vale 1000 y
adentro del paréntesis tenemos cada dos
que es 500 menos Omega es al cuadrado
que es 10 al cuadrado por la masa 2 que
es 5 está dentro del paréntesis es 0 por
lo tanto este coeficiente x1 de la
amplitud de la masa 1 para la respuesta
forzada es 0 para la respuesta 2 También
tenemos que este primer término
multiplicado por f2 sea 0 - f1 que es
1000 por cada uno que es menos 500 menos
Omega s cuadrado por la masa 2-1 que es
0 es el segundo término que da cero
dividido el denominador que va a ser el
coeficiente a 50 Omega s al cuadrado y
al cuadrado menos el Omega 1 al cuadrado
que era 50 multiplicado por Omega F
cuadrado menos el Omega 2 que en este
caso era 200 y eso me da que la amplitud
de la masa 2 para la respuesta forzada
vale menos 2
por lo tanto la respuesta forzadas para
la masa 1 vale 0 y para la masa 2 vale
menos 2 por el seno de 10 t recordemos
que a esto le tenemos que agregar las
respuestas homogéneas que salen de las
ecuaciones de vibraciones libres sin
amortiguamiento que vimos en las clases
anteriores x1t Y x2t que tenían estas
formas que se calculaban como vimos
anteriormente
sumando las dos respuestas para la masa
1 y para la masa 2 tendremos la
respuesta Total que me va a dar el
desplazamiento en función al tiempo
tanto para la masa 1 como para la masa 2
veamos ahora qué sucede con las
vibraciones forzadas pero con
amortiguamiento en sistemas con dos
grados de libertad vamos a tener un
análisis similar al caso anterior pero
le sumamos una fuerza más que
corresponde a los amortiguadores 1 y 2
constantes c1 y C2 del amortiguador
vamos a tener la segunda leyes de Newton
para ambas masas la masa 1 y la masa 2
culos diagramas de cuerpo libre se ven
en esta parte de la imagen y la fuerza
se manifiestan también en esta imagen
podemos expresar entonces la misma
ecuación sólo que le sumamos la fuerza
de los amortiguadores para la masa 1 c1
por la velocidad 1 en negativo como
vemos acá más la fuerza del amortiguador
2 que va hacia la derecha por eso es
positivo C2 multiplicado por la
diferencia de velocidades como vimos en
los casos anteriores para la masa 2 le
sumamos también esta fuerza en sentido
contrario menos C2 por la diferencia de
velocidades entre dos y uno ordenando y
dejando de un solo lado de la igualdad
de las fuerzas me queda la ecuación que
me modeliza el problema de esta forma
podemos expresar para este caso
particular entonces la función matricial
matriz de masa multiplicando matriz de
aceleraciones matriz de amortiguamiento
multiplicando matriz de velocidades y
matriz de rigidez multiplicando la
matriz de desplazamientos igual a la
matriz fuerza
podemos compactar esta expresión poner
esto que dijimos en forma compacta y
manifestando la matriz fuerza como F por
e a la i Omega ft en su forma compleja
de forma genérica podemos expresar la
matriz masa amortiguamiento y rigidez
con todos sus componentes en este caso
cuatro componentes para cada una en
algunos casos algunos componentes como
dijimos van a ser cero como en el caso
de las masas m21 y m12 para nuestro caso
particular que estamos evaluando
la respuesta entonces forzada para este
caso tendrá la misma forma una matriz de
amplitudes multiplicada por una función
senoidal en este caso manifestada en su
forma compleja igual que en el caso
anterior podemos calcular los
desplazamientos 1 y 2 en función a los
parámetros de las matrices masa
amortiguamiento y rigidez en este caso
conviene agrupar el factor Delta para
simplificar las ecuaciones de
desplazamiento x1 y x2
en este gráfico se ve en abscisas la
frecuencia de la fuerza de forzamiento
dividido la frecuencia natural en este
caso manifestada con el coeficiente r
para la masa 1 y la amplitud forzada a 1
referida a la amplitud de forzamiento
acero es decir cuánto se amplía para una
entrada dada 0 la respuesta de la masa 1
a 1 Mientras más alto sea ese valor
quiere decir que es más alta la
amplificación del movimiento de
vibración en este caso vemos Que para
distintos factores de amortiguamiento 04
01 0 05 las curvas van tomando valores
pero para este caso particular de dos
grados de libertad existe un valor de
amortiguamiento mínimo que minimiza la
amplitud de la salida y este valor vale
1 dividido la raíz cuadrada de 2 por 1
más gama por dos más gama donde Gamma es
la relación entre la masa 2 y la masa 1
esto es entonces para la masa más grande
que en este caso es considerada la masa
1 esto quiere decir que existe un valor
óptimo de amortiguamiento si
amortiguamos menos que eso la salida
será más grande pero también dice que se
amortiguamos de forma más fuerte ponemos
un amortiguador más duro también la
vibración será más grande es decir
tenemos que tratar de calcular este
factor de amortiguamiento Y definir un
amortiguamiento lo más cercano posible a
ese valor ni más chico Porque la
amplitud será más grande ni más grande
porque también la amplitud va a ser más
grande Este es un fenómeno que se da
entonces para sistemas con dos grados de
libertad podemos hacer una analogía para
sistemas con múltiples grados de
libertad en donde la expresión matricial
de la ecuación que me modeliza El
problema va a ser de la misma forma que
vimos antes una matriz masa multiplicada
por la matriz de aceleraciones más una
matriz de amortiguamiento multiplicado
por la matriz de velocidades más una
matriz de es multiplicada por la matriz
de desplazamientos igual a la matriz de
las fuerzas que están excitando el
sistema podemos escribir de forma
genérica la matriz masa amortiguamiento
y rigidez con sus coeficientes MC y K
dependiendo del número de grados de
libertad que tengamos si tenemos n° de
libertad podemos escribir de forma
genérica estas matrices que van a tener
tamaño n por n van a ser por supuesto
matrices cuadradas lo mismo va a suceder
con los desplazamientos y aceleraciones
solo que tendremos matrices de uno por n
Y de forma análoga para la fuerza y
estas expresiones Se resuelven de forma
análoga a las que vimos anteriormente
con dos grados de libertad solo que en
este caso tendremos más respuestas que
calcular y me van a quedar más
ecuaciones una por cada grado de
libertad que tengamos es decir si
tenemos nueve masas tendremos 9
funciones x de la 1 a la 9 que está
representando el desplazamiento de esas
nueve masas en función al tiempo
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