CENTROIDES - MOMENTOS DE INERCIA - MOMENTO POLAR - Ejercicio 9-48 estatica de Beer

Summary

En este ejercicio, se explica cómo calcular el momento polar de inercia de una figura compuesta por un semicírculo y un triángulo. Se detallan los pasos para determinar las áreas y los centros de masa de cada figura, además de los cálculos necesarios para encontrar el momento polar respecto a un punto específico. Se utiliza la fórmula del momento de inercia de un semicírculo y la de un triángulo, considerando la fórmula del teorema de ejes paralelos para ajustar los resultados al centro de la figura. El proceso incluye cálculos detallados con dimensiones en pulgadas y fórmulas específicas de cada geometría.

Takeaways

• 😀 El ejercicio 948 trata sobre el cálculo del momento polar de inercia para figuras compuestas, específicamente un medio círculo y un triángulo.
• 😀 Para resolver el problema, se necesita determinar primero el centro de masa de la figura compuesta, que incluye tanto al medio círculo como al triángulo.
• 😀 El área de un medio círculo se calcula como la mitad de la fórmula del área de un círculo completo, es decir, π * radio² / 2.
• 😀 El radio del medio círculo en este ejercicio es de 6 pulgadas, lo que permite calcular su área y otros parámetros relacionados.
• 😀 El centro de masa del medio círculo se encuentra a una distancia de 4 * radio / 3 desde su base, según tablas de referencia.
• 😀 El triángulo que se va a quitar tiene una base de 12 pulgadas y una altura de 4.5 pulgadas, y se calcula su área usando la fórmula de área de un triángulo.
• 😀 El centro de masa del triángulo se encuentra a un tercio de su altura, es decir, a 15 pulgadas desde la base.
• 😀 Para el cálculo del momento polar de inercia, se usa la fórmula del momento polar del medio círculo menos el momento polar del triángulo.
• 😀 El momento polar de inercia del medio círculo se obtiene usando la fórmula estándar para un semicírculo: (π * radio⁴) / 4.
• 😀 El momento polar de inercia del triángulo se calcula a partir de los momentos de inercia en los ejes x y y, usando la propiedad de la base y altura del triángulo.
• 😀 Si se pide calcular el momento polar respecto al centro de la figura, se aplica el teorema de ejes paralelos, restando el término de la distancia entre el centro de la figura y el polo elevado al cuadrado.

Q & A

¿Cómo se determina el centro de la figura compuesta formada por un semicírculo y un triángulo?

Para determinar el centro de la figura compuesta, primero se debe calcular el centroide de cada una de las figuras por separado. El centroide del semicírculo se encuentra a 4r/3π desde el diámetro, mientras que el centroide del triángulo está a un tercio de su altura desde la base.

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un semicírculo?

El área de un semicírculo se calcula como la mitad del área de un círculo completo, es decir, A = (1/2)πr², donde r es el radio del semicírculo.

¿Cómo se calcula el momento polar de inercia de un semicírculo?

El momento polar de inercia de un semicírculo con respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del semicírculo se calcula con la fórmula J = (1/4)πr⁴, donde r es el radio del semicírculo.

¿Cómo se calcula el momento de inercia de un triángulo respecto a su base?

El momento de inercia de un triángulo respecto a su base se calcula con la fórmula I = (1/12) * Base * Altura³, donde la base es la longitud de la base del triángulo y la altura es la altura del triángulo.

¿Qué es el teorema de ejes paralelos y cómo se aplica en este caso?

El teorema de ejes paralelos permite calcular el momento de inercia de una figura respecto a un eje diferente al eje que pasa por su centro de masa. En este caso, se utiliza para calcular el momento de inercia de la figura respecto a un eje que no está en su centro, sumando el momento polar respecto al centro y multiplicando por la distancia al cuadrado.

¿Por qué se realiza la operación de resta en los momentos de inercia al calcular el momento polar de inercia?

La resta se realiza para tener en cuenta que se está quitando un triángulo del semicírculo. Como el triángulo tiene un momento de inercia negativo, se sustrae su momento de inercia al calcular el momento polar total.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo y cómo afecta esto al cálculo del momento de inercia?

El área de un triángulo se calcula como A = (1/2) * Base * Altura. El momento de inercia de un triángulo depende de su base y altura, y se utiliza para determinar la distribución de la masa alrededor del eje de rotación.

¿Por qué el valor del radio de 6 pulgadas es importante en los cálculos?

El radio de 6 pulgadas es clave porque se utiliza tanto para el cálculo del área del semicírculo como para la determinación del momento polar de inercia. El radio es un factor crucial en las fórmulas que involucran círculos y semicírculos.

¿Qué significa que el momento polar de inercia sea en pulgadas a la cuarta?

El momento polar de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia (en este caso, pulgadas⁴) porque se calcula tomando el cuadrado de la distancia desde el eje de rotación a cada elemento de área y luego multiplicando por el área misma.

¿Cómo se usa el valor obtenido del centroide para calcular el momento de inercia respecto al centro de la figura?

El valor obtenido del centroide se utiliza en el teorema de ejes paralelos para ajustar el momento de inercia al centro de la figura. El momento polar de inercia respecto al centro se calcula restando el área multiplicada por el cuadrado de la distancia entre el centroide y el eje de rotación.