Problema de OPTIMIZACIÓN resuelto utilizando la derivada / (Nivel: Medio Alto)

Summary

في هذا الفيديو، يشرح Johnny de Jesus مشكلة رياضية تتعلق بالتحسين باستخدام التفاضل. تتضمن المشكلة بناء وعاء مفتوح بقاعدة مربعة، حيث يجب أن يكون حجم الوعاء 32 مترًا مكعبًا. الهدف هو تقليل كمية المعدن المستخدم في البناء، وبالتالي تقليل المساحة السطحية. باستخدام معادلات الحجم والمساحة، يتم اشتقاق معادلة لتحديد الأبعاد المثلى للوعاء. بعد إجراء الاشتقاق، تم العثور على الأبعاد المثلى للقاعدة بارتفاع 4 مترًا وطول 2 مترًا للحفاظ على الحجم الأدنى للمواد المستخدمة.

Takeaways

• 😀 هذا الفيديو يشرح كيفية استخدام الرياضيات لحل مشكلة تحسين تكلفة المواد في تصميم حاوية مفتوحة ذات قاعدة مربعة.
• 😀 الهدف من المسألة هو إيجاد أبعاد الحاوية بحيث تحتوي على حجم قدره 32 متر مكعب باستخدام أقل كمية من المعدن.
• 😀 الحاوية التي يجب تصميمها ليست مغلقة من الأعلى ولكن لها قاعدة مربعة وأربعة جوانب مغطاة بالمعدن.
• 😀 يجب استخدام الأدوات الرياضية مثل المشتقات والاشتقاق لإيجاد القيم المثلى لأبعاد الحاوية.
• 😀 المعادلة الأولى التي يتم استخدامها هي معادلة الحجم: V = x^2 * h حيث x هو طول ضلع القاعدة و h هو الارتفاع.
• 😀 المعادلة الثانية التي يتم استخدامها هي معادلة المساحة التي تشمل المساحة المربعة للقاعدة ومساحة الجوانب الأربعة.
• 😀 يتم استخدام معادلة الحجم لإيجاد قيمة الارتفاع h استنادًا إلى قيمة x.
• 😀 يتم استبدال قيمة h في معادلة المساحة لتقليل عدد المتغيرات وإيجاد معادلة المساحة في دالة واحدة من x.
• 😀 يتم اشتقاق معادلة المساحة لإيجاد القيم المثلى، والهدف هو العثور على النقطة التي تقلل من كمية المعدن المستخدمة.
• 😀 الحل النهائي يشير إلى أن الأبعاد المثلى للحاوية هي قاعدة طول ضلعها 4 متر وارتفاعها 2 متر لتحقيق الحد الأدنى من استخدام المعدن.

Q & A

ما هو الهدف الرئيسي من المشكلة الرياضية المطروحة في الفيديو؟

الهدف الرئيسي هو تقليل كمية المعدن المستخدمة لبناء حاوية مفتوحة بقاعدة مربعة تحتوي على حجم ثابت قدره 32 مترًا مكعبًا.

كيف تم حساب حجم الحاوية في هذا التمرين؟

تم حساب الحجم باستخدام معادلة الحجم المعتادة للمكعبات، وهي حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع. المعادلة هي: الحجم = x² * h، حيث x هو طول ضلع القاعدة و h هو الارتفاع.

ما هي المعادلة الأولى التي تم الحصول عليها في الفيديو؟

المعادلة الأولى التي تم الحصول عليها هي: 32 = x² * h، والتي تمثل العلاقة بين حجم الحاوية وأبعادها.

لماذا تم استخدام المعادلة الثانية في الفيديو؟

تم استخدام المعادلة الثانية لحساب المساحة السطحية للحاوية، وذلك لتحديد كمية المعدن اللازمة لصناعتها. تم حساب المساحة السطحية على أنها مجموع مساحة القاعدة والأوجه الجانبية.

كيف تم اشتقاق المعادلة الخاصة بالمساحة السطحية؟

تم اشتقاق معادلة المساحة السطحية بإضافة مساحة القاعدة (x²) إلى مجموع المساحات الجانبية الأربع (4 * x * h). وبالتالي تصبح المعادلة: المساحة السطحية = x² + 4 * x * h.

ما هو دور المشتقة في هذا التمرين؟

المشتقة تُستخدم لإيجاد النقاط التي يمكن أن تكون فيها المساحة السطحية في أدنى مستوى ممكن. من خلال إيجاد المشتقة الأولى للمعادلة، يتم تحديد النقطة التي تمثل الحد الأدنى للمساحة السطحية.

ما هي الخطوات التي تم اتخاذها لإيجاد قيمة x المثلى؟

تم إيجاد قيمة x المثلى من خلال إيجاد المشتقة الأولى للمعادلة وضبطها على الصفر للحصول على النقاط الحرجة. بعد ذلك تم حل المعادلة المكعبة للحصول على قيمة x المثلى، وهي 4 متر.

كيف تم العثور على قيمة الارتفاع h بعد معرفة قيمة x؟

تم العثور على قيمة الارتفاع h من خلال استبدال قيمة x التي تم إيجادها (4 متر) في معادلة الحجم، مما أعطى قيمة الارتفاع h = 2 متر.

ما هو تفسير لماذا يعتبر x = 4 متر نقطة الحد الأدنى في هذه المسألة؟

يعتبر x = 4 متر نقطة الحد الأدنى لأن المشكلة تهدف إلى تقليل كمية المعدن المستخدمة. وبما أن الحد الأقصى لعدد المواد المتاحة غير محدد، فإن السؤال يركز على تقليل التكلفة، مما يعني البحث عن الحد الأدنى للمساحة السطحية.

ما هي الأبعاد المثلى للحاوية وفقًا للمسألة؟

الأبعاد المثلى للحاوية هي طول ضلع القاعدة x = 4 متر، والارتفاع h = 2 متر، وهي الأبعاد التي تحقق الحجم المطلوب (32 مترًا مكعبًا) وتقلل من كمية المعدن المستخدم.