Introducción al límite de una función. Límites matemáticos de funciones, ejercicios y ejemplos.
Summary
TLDREl script de este video ofrece una introducción detallada al concepto de límites en matemáticas, un tema fundamental en cursos de cálculo diferencial. Se discuten las representaciones de funciones, incluyendo notación matemática, tablas de datos y gráficas en planos cartesianos. Se explora cómo los límites se calculan tanto para funciones continuas como discontinuas, destacando la importancia de la indeterminación y cómo se resuelve. Además, se introducen los límites unilaterales y se ejemplifica su análisis en funciones por trazos, mostrando cómo estos límites pueden revelar la existencia o no de un límite bilateral. Finalmente, se menciona la conexión entre el cálculo de límites y la derivada de una función, destacando la relevancia de los límites en el estudio de la derivada en el álgebra. El video es una herramienta valiosa para aquellos que buscan una comprensión sólida de los límites y su aplicación en el análisis matemático.
Takeaways
- 📚 La notación matemática de una función implica la relación entre dos variables, comúnmente x e y.
- 📈 Las funciones se representan algebraicamente, numéricamente a través de una tabla de datos y gráficamente en un plano cartesiano.
- 🔢 El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que describe el comportamiento de la función cerca de un punto sin necesariamente alcanzarlo.
- 🎯 El análisis de límites puede realizarse de manera gráfica, analítica y numérica, cada una complementando la comprensión del concepto.
- ➡️ Al aproximarse valores a un número determinado (por ejemplo, x tiende a 1), se considera un comportamiento hacia el infinito en un sector de los números reales.
- 🚫 Una función discontinua tiene puntos donde no está definida, y el análisis de límites es crucial para entender su comportamiento en dichos puntos.
- 🔄 La indeterminación en un límite, como 0/0, puede resolverse mediante técnicas algebraicas, como el factorizado para encontrar el valor real del límite.
- 📉 En funciones continuas, el límite a menudo coincide con el valor que la función toma en el punto de evaluación.
- 📌 El cálculo de límites es esencial para la derivada de una función, proporcionando una base para su interpretación geométrica.
- 👉 Los límites unilaterales (tendiendo a un valor por la izquierda o derecha) son importantes para funciones discontinuas y para determinar si un límite bilateral existe.
- 🔗 Los límites unilaterales y bilaterales son herramientas clave en el estudio de funciones por trazos y en la comprensión de la existencia de límites en puntos específicos.
Q & A
¿Qué es el límite de una función y cómo es representativo en un curso de cálculo diferencial?
-El límite de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que describe el comportamiento de una función cuando el valor de la variable independiente se acerca a un punto específico. Se utiliza para entender la tendencia de los valores de la función y es esencial para la definición de la derivada y la integral.
¿Cuál es la notación matemática común utilizada para representar una función?
-La notación matemática común para una función suele incluir dos variables, la variable dependiente (generalmente 'y') y la variable independiente (generalmente 'x'). La función se representa como 'y = f(x)', donde 'f' indica la función.
¿Cómo se puede representar una función de manera numérica?
-Una función se puede representar de manera numérica a través de una tabla de datos o tabulación de variables, donde en una columna se colocan los valores de la variable 'x' y en otra columna los valores correspondientes de la variable 'y', obtenidos al sustituir 'x' en la expresión algebraica de la función.
¿Por qué se dice que la variable 'y' es la variable dependiente en una función?
-La variable 'y' se conoce como la variable dependiente porque su valor depende claramente del valor que tome la variable 'x', también llamada variable independiente. Esto significa que el valor de 'y' cambia en función de los cambios en 'x'.
¿Cómo se interpreta el concepto de límite en el contexto de una gráfica de función?
-En el contexto de una gráfica de función, el límite se refiere a la tendencia de los valores de 'y' a medida que 'x' se acerca a un punto específico sin llegar necesariamente a ese punto. Esto se puede observar en la gráfica a través de flechas que indican la dirección de tendencia de los valores de 'y'.
¿Cómo se evalúa algebraicamente el límite de una función cuando 'x' tiende a un número específico?
-Para evaluar algebraicamente el límite de una función, se sustituye el valor hacia donde tiende 'x' en la expresión algebraica de la función. Si el resultado es una indeterminación (como 0/0), se utiliza factorización o teoremas algebraicos para simplificar y encontrar el límite.
¿Qué es un límite unilateral y cómo se representa simbólicamente?
-Un límite unilateral es aquel que se evalúa solo desde un lado (por la izquierda o por la derecha) hacia un punto específico. Se representa simbólicamente como 'x tiende a a', con un símbolo de flecha hacia la izquierda (x→a₋) para el límite por la izquierda y hacia la derecha (x→a₊) para el límite por la derecha.
¿Cómo se relacionan los límites unilaterales con la existencia de un límite bilateral?
-Un límite bilateral existe si y solo si los límites unilaterales por la izquierda y por la derecha existen y son iguales. Si los límites unilaterales son diferentes, entonces el límite bilateral no existe.
¿Qué son las funciones por trazos y cómo se aplican los límites unilaterales en su análisis?
-Las funciones por trazos son aquellas que están definidas de manera diferente en varios intervalos del eje 'x'. Los límites unilaterales son importantes en el análisis de estas funciones, ya que permiten determinar si la función tiende a un valor específico al acercarse a un punto por un intervalo determinado.
¿Cómo se relaciona el cálculo de límites con la derivada de una función?
-El cálculo de límites es fundamental para definir la derivada de una función, ya que la derivada en un punto es el límite de la razón de los cambios cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero.
¿Por qué es importante el análisis de límites en un curso de cálculo diferencial?
-El análisis de límites es crucial en un curso de cálculo diferencial porque proporciona las herramientas necesarias para entender conceptos como la derivada y la integral, que son pilares del cálculo diferencial y del análisis matemático en general.
Outlines
😀 Introducción a los límites de una función
Este párrafo introduce el tema de los límites en una función, destacando su importancia en cursos de cálculo diferencial. Se menciona la notación matemática de una función, la relación entre variables y la representación gráfica y numérica de una función. Además, se explora la idea de acercarse a un valor sin alcanzarlo, utilizando el número 1 como ejemplo, y se describe cómo los límites se calculan tanto de manera algebraica como gráfica.
📈 Análisis del límite en una función continua
En este párrafo se profundiza en el análisis de los límites en el contexto de funciones continuas, como x al cubo menos 6x al cuadrado más 8x. Se explica cómo sustituir el valor al cual tiende en la función permite evaluar el límite de manera simple. También se presentan ejemplos de cómo el análisis gráfico y numérico puede confirmar los resultados algebraicos, y se menciona la importancia de entender los límites para el cálculo diferencial.
🚫 Límites en funciones discontinuas
Este segmento se enfoca en las funciones discontinuas, donde el análisis de los límites es especialmente relevante. Se proporciona un ejemplo de una función que no está definida en un punto específico (x=1) y cómo el límite se calcula a pesar de la indeterminación. Se discuten técnicas algebraicas para resolver límites indeterminados, como el factorizado y se destaca la importancia de los límites en la definición de funciones discontinuas.
🔢 Análisis numérico de límites
El párrafo explora el análisis numérico de límites a través de la tabulación de datos, mostrando cómo los valores tienden a un límite específico al acercarse a un punto de interese. Se ilustra con ejemplos cómo los valores sucesivos de y se acercan al límite al modificar x de manera adecuada. Además, se compara y contrasta con el análisis algebraico y gráfico para ofrecer una comprensión más completa del concepto.
🔄 Límites unilaterales y su importancia
Este apartado introduce los límites unilaterales, que son utilizados cuando se analiza el comportamiento de una función solo por un lado de un punto de discontinuidad. Se describen los símbolos y la nomenclatura asociada a estos límites y se proporciona un ejemplo de una función por trazos para demostrar cómo se calculan los límites unilaterales. Se destaca la importancia de estos límites para determinar la existencia de un límite bilateral.
🔄 Conexión entre límites y derivadas
El último párrafo establece la relación entre el cálculo de límites y la derivada de una función, que es un tema fundamental en el curso de cálculo diferencial. Se menciona que el análisis de límites es crucial para entender la interpretación geométrica de la derivada y se alude a la profundidad que se dará a estos temas en un curso de cálculo diferencial. Finalmente, se invita al espectador a suscribirse al canal y a dar like si el material resultó útil.
Mindmap
Keywords
💡Límite de una función
💡Variable dependiente
💡Variable independiente
💡Representación gráfica
💡Representación numérica
💡Continuidad de una función
💡Derivada
💡Límites unilaterales
💡Funciones por trazos
💡Indeterminación
💡Factorización
Highlights
Presentación del material sobre el límite de una función, un tema central en cálculo diferencial.
Importancia de entender conceptos básicos de una función antes de abordar el tema de los límites.
La función está representada por dos variables principales: y y x, y su expresión algebraica.
Representación numérica de funciones a través de una tabla de datos.
La variable dependiente (y) varía en función de la variable independiente (x).
Representación gráfica de funciones en un plano cartesiano a partir de pares ordenados (x, y).
Explicación del concepto de límite de una función a través de un acercamiento en un solo eje.
La indagación de cuál es el número más cercano a 1 sin llegar a ser 1 como introducción al concepto de límite.
Representación de un número muy cercano a 1 utilizando la notación 0.9 con un infinito de 9s.
La cantidad infinita de valores que se aproximan a 1 sin llegar a ser uno en los números reales.
Análisis del comportamiento del límite en la gráfica de la función x al cuadrado más 1.
El límite de la función x al cuadrado más 1 cuando x tiende a 1 es 2, tanto analítica como gráficamente.
Evaluar límites algebraicamente involucra sustituir el valor al cual tiende x en la función.
Ejemplos de evaluación de límites para funciones continuas y discontinuas.
La indeterminación 0/0 al analizar límites y la importancia de factorizar para resolverla.
Análisis numérico de límites utilizando tabulaciones de datos para observar tendencias.
Introducción a los límites unilaterales y su importancia en el estudio de funciones.
Ejemplo de funciones por trazos y cómo se aplican los límites unilaterales en tales funciones.
La relación entre el cálculo de límites y la derivada de una función en el contexto del cálculo diferencial.
El análisis de límites es una unidad de aprendizaje fundamental en un curso de cálculo diferencial.
Transcripts
o las matemáticas sencillas aquí en esta
ocasión a petición de algunos de ustedes
presentó el material titulado el límite
de una función que es un tema muy
representativo de un curso de cálculo
diferencial así que espero que este
material te ayude como una introducción
a dicho concepto
siempre que hablamos del límite de una
función definitivamente hay una palabra
clave en dicha frase y me refiero a la
palabra función así que es muy
importante tener en cuenta que no deben
haber dudas sobre conceptos básicos
relacionados a una función y es que
siempre que hablamos de una función pues
ya debemos saber que existe una notación
matemática para dicha función en donde
sabemos que siempre debe estar
involucrada al menos dos variables
siendo las más comunes la variable y y
la variable x y también aparte de su
expresión algebraica también sabemos que
las funciones se pueden representar de
manera numérica que es cuando
establecemos nuestra famosa tabla de
datos o la tabulación de las variables
en donde claramente en una columna está
la variable x y en otra columna está la
variable y como llenamos los datos pues
le da
es un valor a x que en este caso cuando
x vale 1 conocer el valor de y significa
sustituir el valor de x en nuestra
función y aquí en este caso sería 1 al
cuadrado 1 más 1 nos da igual a 2 cuando
x vale 2 el valor de 5 ya que
sustituimos 2 aquí 2 al cuadrado más uno
es igual a 5 de igual manera cuando x
vale 3 ya vale 10 y así podemos seguir
dando sucesivamente nuevos valores a x y
podemos conocer el valor de y es por eso
que a la variable james se le conoce
como la variable dependiente ya que su
valor depende claramente de lo que vale
la variable x también llamada variable
independiente y cabe recordar que ya que
hablamos de funciones así como podemos
expresarla de esta manera algebraica de
una manera numérica ya que tenemos esta
tabla si con suficientes pares ordenados
valor en xy un valor en que podemos
trasladarlo a un plano cartesiano y se
genera lo que se conoce como la famosa
gráfica de la función en donde aquí
claramente tenemos el eje y y tenemos el
eje x y localizamos cada uno de estos
puntos y nos da precisamente esta
gráfica de la función en donde siempre
está involucrado al menos dos variables
que en este caso es la variable x y la
variable y pues bien para explicar el
concepto del límite de una función me
gustaría que nos enfocáramos solo como
una manera de introducción en un solo
eje en el eje
es decir por algunos momentos nos vamos
a olvidar del eje y y vamos solamente a
enfocarnos sobre esta recta numérica así
que voy a hacer un acercamiento
solamente a esta zona y vamos a tener lo
siguiente
esto va a ser una introducción al
concepto del límite tomando en cuenta
solamente una variable así que fíjate en
esta cuestión
imagina que te pido que me proporciones
cuál es el número más cercano al 1 sin
llegar a hacer 1 es decir dime cuál es
el número más cercano a 1 sin cero
entonces si una persona me contestará de
una manera sencilla habría algunas
personas que me dirían a pues el número
más cercano al 1 sin ser 1 si en este
caso puede ser el 0 si es que yo no le
digo a la persona que no solamente se
pueden tomar números enteros el 0 es un
número entero sino que yo puedo decirle
también complementariamente a esa
persona sabes que puedes también tomar
valores decimales entonces alguna
persona podría decirme bueno sabes que
el punto 9 es un valor cercano al 1 pero
también otra persona podría llegar y me
podría decir sabes que el punto 99 es
aún más cercano y otra diría el punto
999 es aún más cercano y así podríamos
incrementar la cantidad de nueves y
tendríamos realmente un valor muy
cercano al 1 sin llegar al 1 y sabemos
que cuando vamos a poner una cantidad
indeterminada infinita de 9 lo podemos
expresar de esta manera como 0.9 con
esta rayita aquí encima del 9 significa
que ponemos todos los nueves que se
puedan poner y no tenemos en realidad un
valor muy particular sino
una representación de ese número y bueno
así como esta persona realmente me está
dando valores cercanos al 1 si pues me
está dando valores cercanos al 1 menores
a 1 pero también me puede proporcionar
valores cercanos al 1 que sean mayores
al 1 como por ejemplo el 2 si es que
solamente tomamos números enteros o me
puede dar el 1.1 el 1.0 11.00 11.00 1 y
podemos agregar una cantidad
indeterminada de ceros aquí en esta
posición así como aquí agregaríamos una
cantidad indeterminada de 9 es el punto
es como te podrás dar cuenta
un valor en particular cercano al 1
resulta ser algo irónicamente complicado
de establecer así que existe una
simbología mejor para esta situación en
donde podríamos decir que lo que nos
interesan son valores de x que tienden
que es lo que representa esta flecha que
tiende al 1 sin llegar a ser el 1 tal
como lo indica este símbolo de
prohibición así que para iniciar estamos
ahorita solamente estableciendo estas
condiciones tomando en cuenta un eje el
eje de las x observa muy particularmente
que aquí nos estamos refiriendo a una
cantidad infinita de valores si que se
aproximan al 1 sin llegar a ser uno y
puede resultar un tanto extraño de
entender porque cuando uno piensa en
cantidades infinitas pues
generalmente uno piensa en un millón dos
millones tres millones es tender hacia
el infinito pero en realidad no ocupas
salirte muy allá de esta pequeña zona
pequeña entre comillas entre los números
del 0 al 2 para darte cuenta que
realmente en esta sección hay una
cantidad infinita de valores que
conforman precisamente un sector de los
famosos números reales
y ahora qué sucede cuando en vez de
manejar un solo eje involucramos el eje
que también es decir hablamos de una
función como previamente lo vimos en
donde vamos a tomar como referencia la
función x al cuadrado más 1 en donde
aquí tenemos su representación numérica
y tenemos su representación gráfica
vamos a tomar esta función como
referencia para explicar cómo es que
podemos trasladar el comportamiento
explicado anteriormente ahora
involucrando dos ejes
vamos a enfocarnos solamente en esta
sección de la gráfica en donde están
nuevamente involucrados los valores
desde el 0 hasta el 2 cuando hablamos
del límite de una función existe una
nomenclatura muy particular que es la
siguiente se escribe el límite de una
función ya que estás involucrando dos
variables por consiguiente es una
función cuando x tiende a un número que
ese número le vamos a llamar el número a
es igual a un valor expresado con la
letra l mayúscula que es el valor de
dicho límite así que en este caso
estamos hablando de la función que ya
previamente mostramos que es x al
cuadrado más 1 y podemos evaluar el
límite de esta función cuando x tiende a
1 y qué significa esto bueno significa
que cuando yo me aproximó al 1 en el eje
x
como ya vimos anteriormente voy a hacer
ese mismo recorrido pero sobre la
gráfica de la función que es cómo está
representado a través de estas flechas y
lo que realmente me interesa es ver ese
recorrido en x cuando x tiende a 1 hacia
donde tiende este recorrido sobre la
gráfica de la función pero no en su
valor del eje x sino en su valor del eje
y en donde aquí claramente podemos ver
que cuando x se aproxima a 1 sin llegar
a ser 1 estos valores
sobre la gráfica de la función se
aproximan al punto 1,2 en donde lo que
nos interesa es el valor en que es decir
el valor de 2 por consiguiente el límite
de esta función
es el valor de 2 y claro evaluar un
límite así como te lo acabo de mostrar
es muy sencillo si es que tenemos la
representación gráfica de dicha función
sin embargo también existe una manera
algebraica analítica de analizar los
límites que como te podrás dar cuenta es
tan sencillo como sustituir hacia donde
tiende x en la función donde estás
evaluando el límite por eso aquí en vez
de tener x sustituyó el 1 y me queda 1
elevado al cuadrado más uno es igual a 2
que coincide con nuestro análisis en la
representación gráfica de esta función
ahora
realmente cuando analizamos el límite de
una función continua es decir una
función que no tiene discontinuidades en
todo su dominio como por ejemplo la
función x al cubo menos 6 x al cuadrado
más 8 x que la función a la cual le
corresponde esta gráfica evaluar un
límite es tan sencillo como lo acabo de
mencionar anteriormente así que si yo
evalúo el límite de esta función cuando
x tiende a 0 es tan sencillo como
sustituir el cero en toda la función y
nos podremos dar cuenta que realmente el
límite es 0 y aquí lo puedo observar
cuando yo tiendo a cero en el valor de x
pueden observar que el recorrido de la
gráfica también tiende a su valor en 0
tomando en cuenta el eje i
otro ejemplo es evaluar el límite de la
función cuando x tiende a 1 sustituyó el
1 en toda la función y el resultado es 3
puedo comprobarlo en esta zona también
que cuando yo tiendo a 1 por la derecha
y por la izquierda hacer el recorrido
sobre la gráfica de la función me da
este punto este punto que está aquí mi
cursor en donde su valor en que es 3 por
consiguiente el límite evalúa 23 veamos
un ejemplo más cuando yo evalúo el
límite de la función cuando x tiende a 3
sustituyó el 3 en la función original y
me va a dar como resultado el menos 3 y
si analizamos aquí esta zona cuando yo
tiendo al 3 por la izquierda y por la
derecha el recorrido sobre la gráfica de
dicha función tiende hacia este punto en
donde su valor claramente en qué es
-3 ese es el valor del límite la famosa
letra l mayúscula que representa el
límite de una función que en este caso
es una función continua
y qué sucede con el límite de una
función que es discontinua es decir una
función que tiene ciertos valores de x
que no son aceptados o que son
prohibidos en dicha función veamos un
ejemplo supongamos que tenemos la
función 2x al cuadrado menos 2x dividido
entre x menos 1 y tenemos aquí
claramente su representación gráfica
podemos observar que en esta función hay
un valor que es prohibido podría decirse
que es el valor de x igual a 1 porque
porque aquí si sustituimos el 1 nos
quedaría en el denominador uno menos 1
es igual a 0 y sabemos que todo número
dividido entre 0 incluyendo el mismo
cero produce una en determinación y una
indeterminación es algo que en las
matemáticas definitivamente queremos
evitar así que esta entra en la
categoría de una función discontinua
es aquí en donde la definición de un
límite toma mayor relevancia y
definitivamente brilla así que vamos a
ver lo siguiente supongamos que así como
en una función continua yo pretendo
resolver esta función discontinua
resolviendo un límite y me quedaría de
la siguiente manera el límite de la
función que está aquí cuando x tiende a
1 te comenté previamente que es tan
sencillo como sustituir el 1 sin embargo
el hecho de sustituir el 1 a mí lo que
me permite es darme cuenta de que me
queda un 0 sobre 0 como ya te mencioné
es una indeterminación así que más de
una persona podría pensar
equivocadamente que este límite no
existe o inclusive pensar
equivocadamente que el resultado es
infinito porque muchas personas
relacionan que una determinación es
infinita y eso es algo incorrecto
a decir verdad de acuerdo aquí a la
gráfica te puedes dar cuenta
que conforme yo me acerco a uno por la
derecha o por la izquierda de uno me
puedo dar cuenta claramente que si hago
este recorrido sobre la gráfica de la
función realmente tiendo al valor de
todos en ye y ese es el resultado de
evaluar el límite de esta función porque
no importa que en uno realmente la
función no esté definida ya que en
ningún momento yo voy a llegar a 1 me
voy a aproximar a valores cercanos a 1 y
puedo ver que realmente esos valores
tienden a 2 pero cómo es que surge este
valor de 2 al hacer un análisis del
límite de manera algebraica pues existen
teoremas que nos permiten llevar a cabo
ese análisis correctamente vamos a ver
un breve ejemplo en este caso si como ya
vimos aquí el resultado del límite es 2
lo que se recomienda hacer es siempre
buscar la manera de
anular este elemento que está
ocasionando que se dé la indeterminación
que es el x1 y la primera opción que hay
que siempre revisar es ver si es posible
factorizar en los otros términos
presentes que en este caso son los
términos del numerador así que en este
caso sí puedo factorizar y pueden darse
cuenta que 2 x al cuadrado menos 2 x
claramente se puede expresar como 2x por
x menos 1 lo que va a suceder es que
estos términos x menos 1 se van a anular
y me va a quedar la función como 2x que
al momento de evaluar esta función
cuando x tiende a 1
ahí es donde puedo comprobar que
realmente 2 y lo avala el mismo análisis
de este límite pero de manera gráfica
así que ese es un ejemplo de cómo se
puede evaluar un límite ya sea de una
manera algebraica analítica y de una
manera gráfica pero así como vimos con
anterioridad las funciones pues tienen
tres maneras de representarse
también es la numérica así que en este
caso también podemos analizar
numéricamente este límite y qué es lo
que implica analizarlo
bueno pues si tienes tu tabulación de
esta función que es cómo se presenta
aquí observa que proporcionamos datos
cercanos al 1 que es hacia donde tiende
la equis entonces tenemos datos menores
a 1 y mayores a 1 y también datos
correspondientes a la variable
dependiente y observa que cuando
exactamente x vale 1 ya vimos que hay
una indeterminación sin embargo conforme
los valores de x se acercan a 1 tú te
puedes dar cuenta que los valores de iu
tienden a 2 este sería el valor de 2 si
que tiende de aquí de 1.92 hasta 1.98 o
conforme yo le diera valores más
cercanos al 1 definitivamente la
tendencia es 2 y también aquí tenemos al
2 por valores mayores al 2
de esta manera podemos concluir que
realmente evaluar un límite puede ser
llevado a cabo de tres maneras tanto la
algebraica analítica como la gráfica así
como la numérica cuál es mejor pues
definitivamente las tres se complementan
entre sí así que si entiendes este
análisis de una manera sencilla
definitivamente estás en una buena
posición para evaluar límites de
funciones
adicional a lo anterior también existe
lo que se conoce como límites
unilaterales y van muy de la mano de los
límites que ya vimos que se llaman
límites bilaterales así que vamos a
tomar nuevamente como referencia si el
análisis que hicimos al inicio de este
material en donde tomamos en cuenta
solamente el eje x y como recordarán
pues aquí lo que se preguntaba era qué
valores tú conoces más cercanos al 1 sin
llegar a ser el 1 y algunas personas te
podrían haber dado valores menores al 1
y algunas otras personas te podrían
haber dado valores cercanos al 1 mayores
al 1 pues bien hemos analizado los
límites hasta este momento tomando en
cuenta tanto entender al 1 por la
derecha como tender al 1 por la
izquierda pero sabes también existe un
análisis de solamente a un lado y eso es
lo que se conoce como los límites
unilaterales es decir analizar
donde tienden estos valores cuando yo
solamente estoy tendiendo al uno por la
izquierda que se representaría de la
siguiente manera cuando x tiende a 1 por
la izquierda se pone aquí este símbolo
de menos como un exponente del número al
cual tiende x que en este caso es 1 y si
yo quiero hacer el análisis solamente de
los números que tienden a 1 por la
derecha es decir números mayores a él
pues su simbología es x tiende a 1 por
la derecha que se representa con este
símbolo positivo aquí como un exponente
del número 1
el análisis de los límites unilaterales
se veía más a profundidad en un tema más
a detalle sobre los límites de una
función pero voy a ponerte un ejemplo
para que te quede un poco más claro cómo
es que se aplican estos límites
unilaterales
así que vamos a ver lo que se conoce
como funciones por trazos y las
funciones por trazos no son otra cosa
más que lo siguiente funciones que están
definidas de maneras diferentes en
diversos sectores de el eje x así que
vamos aquí a tener como ejemplo la
siguiente función la función fx que está
definida como una función lineal x + 3
para todos los valores de x menores a
menos 1 es decir de menos 1 para atrás
tenemos una función claramente lineal
aquí como esta y observa que no llegamos
al menos 1 sin son valores menores al
menos 1 por eso quita este círculo sin
rellenar que indica que ahí no está
considerado el menos 1 el menos 1 se
considera en la otra porción de la
gráfica que es todos los valores de x
mayores a menos 1 o igual a menos 1 aquí
lo indica claramente y se define por una
función cuadrada por eso aquí tenemos
una parábola que
inicia de -1 en adelante a esta función
se le conoce como una función por trazos
y ahí es donde se aplican de una manera
muy importante
los famosos límites unilaterales
observad el siguiente ejemplo supongamos
que nos piden evaluar el límite de esta
función cuando x tiende a menos 1 por la
izquierda es decir por los números
menores a menos 1 por esta zona por aquí
donde dice esta flecha hacemos el
recorrido sobre la gráfica de la función
y nos podemos dar cuenta que tendemos al
valor de 2 y por eso este límite
unilateral su resultado es 2 si
evaluamos el otro límite unilateral que
es el límite de la función cuando x
tienda menos 1 pero por la derecha aquí
tenemos a menos 1 por la derecha como lo
indica esta flecha podemos hacer el
recorrido sobre la gráfica de la función
y podemos darnos cuenta que tendemos al
valor
1en y por eso este límite unilateral es
1 y no está de más
anticipar de que cuando se evalúan los
límites unilaterales podemos deducir si
un límite de un límite bilateral existe
no existe ya que existe un teorema que
nos dice que una condición para que un
límite bilateral exista es que sus
límites unilaterales existen y sean
iguales como aquí en este caso esos
límites son diferentes
se dice que el límite bilateral es decir
tender a menos uno por la derecha y por
la izquierda
definitivamente no existe gracias a este
análisis de límites unilaterales
y finalmente para concluir con este
material voy a hablar muy brevemente
sobre qué relación tiene el cálculo de
los límites que ya vimos y la derivada
de una función pues bien resolver
límites de una manera como le hemos
visto como los límites que están aquí
pues definitivamente debe de involucrar
la aplicación de ciertos teoremas y esos
teoremas se ven con mayor detalle y
profundidad en un curso de cálculo
diferencial la idea es que este análisis
visto si se utiliza tiene un rol
protagónico al momento de ver un tema
como la interpretación geométrica sobre
la derivada de una función existe un
paso al momento de ver la derivada de
una función en donde se aplica de una
manera muy importante sí
el límite de una función y por eso es
que en un curso de cálculo diferencial
el análisis de un tema de límites de una
función conlleva básicamente toda una
unidad de aprendizaje así que a instant
espero que este material te haya dado
una sensación más clara de que lo que
esperarías ver en un curso sobre límites
de una función y pues espero que te haya
ayudado a clarificar ciertas dudas o
ciertos detalles que en su momento se
podrían haber presentado
no me quiero despida de despedir sin
antes
decirte que me gustaría mucho que te
suscribieran a mi canal para recibir
nuevos vídeos de matemáticas sencillas
me agradaría mucho también que si este
material ha sido de tu agrado pues me lo
indicará dándole un like y por qué no
espero verte muy pronto para que juntos
podamos analizar otro caso de
matemáticas sencillas
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