Derivadas (Universo Mecánico 3)
Summary
TLDREl cálculo diferencial es una herramienta matemática fundamental para analizar cambios en el mundo físico y abstracto. Este poderoso lenguaje permite a los físicos y matemáticos describir y entender fenómenos complejos. La derivada, esencia del cálculo diferencial, se relaciona con la armonía pitagórica y fue rediscubierta por figuras como Galileo Galilei, quien vio en las matemáticas el lenguaje del universo. Con el tiempo, se desarrollaron reglas como la de la suma, el producto y la cadena, que son la gramática del cálculo diferencial. Este cálculo no solo se aplica a movimientos físicos, sino también a cambios en áreas, consumo de combustible y más. Albert Einstein, a pesar de su inicial subestimación, acabó reconociendo la importancia de las matemáticas en su trabajo en la teoría de la relatividad, destacando la necesidad de un matemático para mantener la precisión y claridad en la ciencia.
Takeaways
- 📚 El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en las cosas.
- 🎓 Las reglas para calcular derivadas son fundamentales en el cálculo diferencial y tienen raíces históricas que se remontan a 600 años antes de Cristo.
- 🎶 La armonía pitagórica fue un descubrimiento importante que relacionó las matemáticas con el mundo físico a través de la música.
- 📖 Galileo Galilei fue un pionero en la comprensión de la relación entre las matemáticas y el universo, y su obra 'El Experimentador' influyó en el desarrollo del cálculo diferencial.
- 👨👦 Galileo heredó su espíritu de innovación de su padre, Vincento, un músico que desafió las formas tradicionales y contribuyó a la evolución de la música.
- 🌱 La cinemática, creada por Galileo, es una rama de la mecánica que trata el movimiento en el abstracto y requiere de un lenguaje matemático adecuado.
- 🔢 Los símbolos y el vocabulario matemático son esenciales para entender el 'libro del universo', como lo describe Galileo.
- 📈 La derivada es una noción fundamental en el cálculo diferencial, representando el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.
- 📉 La pendiente, o inclinación, es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y es un concepto clave en el cálculo de derivadas.
- 🤔 Fermat y Descartes contribuyeron significativamente al desarrollo del cálculo diferencial con sus métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas.
- 🚀 Las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma, el producto y la cadena, son la 'gramática' que permite descomponer y analizar funciones complejas.
Q & A
¿Qué es el cálculo diferencial y qué propósito cumple en las matemáticas?
-El cálculo diferencial es una herramienta matemática utilizada para analizar el cambio en las cosas. Permite calcular derivadas y es fundamental en la cinemática, proporcionando una perspectiva completa de lo que es una derivada, la cual es el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.
¿Cómo se relaciona la armonía pitagórica con la historia del cálculo diferencial?
-La armonía pitagórica, que descubrió la relación entre los números y el largo de las cuerdas de un instrumento para obtener acordes agradables, fue el primer paso en relacionar las matemáticas con el mundo físico. Este descubrimiento fue importante y sentó las bases para la conexión entre las matemáticas y la física que más tarde se exploraría en el cálculo diferencial.
¿Quién fue Galileo Galilei y qué贡献给了数学和物理?
-Galileo Galilei fue un científico y astrónomo italiano que comprendió la importancia de las matemáticas en la descripción del universo. Escribió en su libro 'El Experimentador' que el verdadero conocimiento está escrito en el lenguaje de las matemáticas y que para entender el universo, es necesario aprender este lenguaje.
¿Cómo describió Galileo la relación entre el conocimiento y el universo?
-Galileo describió el universo como un gran libro abierto continuamente ante nuestros ojos, donde el verdadero conocimiento está escrito. Para entenderlo, es necesario aprender la lengua y reconocer los caracteres matemáticos en los que está escrito.
¿Por qué Galileo consideró que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas?
-Galileo consideró que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas para expresar sus ideas complejas en la ciencia y la física. Él creó la cinemática, una rama de la mecánica que trata del movimiento en abstracto, y para la correcta expresión de estas ideas abstractas requería un lenguaje matemático más adecuado.
¿Cuándo se descubrió el cálculo diferencial y qué significó este descubrimiento?
-El cálculo diferencial se descubrió aproximadamente 25 años después de la muerte de Galileo. Este lenguaje matemático fue necesario para una física más avanzada y permitió a los eruditos analizar conceptos más sofisticados, lo que llevó a un mayor desarrollo de la ciencia y la física.
¿Qué es la pendiente y cómo está relacionada con la derivada?
-La pendiente es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal. Es un número que representa la empinado de una cuesta. La derivada es similar a la pendiente, ya que es el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado. La pendiente en un punto en particular se conoce como la pendiente de la recta tangente en ese punto.
¿Cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto en movimiento?
-La velocidad instantánea de un objeto se calcula tomando el límite cuando el tiempo tiende a cero de la velocidad media, que es el cociente de la variación de la distancia recorrida entre la variación del tiempo transcurrido.
¿Qué son las reglas de diferenciación y cómo se aplican en el cálculo diferencial?
-Las reglas de diferenciación son técnicas matemáticas utilizadas para encontrar derivadas. Incluyen la regla de la suma, la regla del producto y la regla de la cadena. Estas reglas permiten a los matemáticos descomponer funciones complejas en partes más simples y calcular sus derivadas.
¿Cómo se relaciona el cálculo diferencial con la física y sus aplicaciones prácticas?
-El cálculo diferencial es esencial en la física para describir conceptos como la velocidad y la aceleración. Por ejemplo, la derivada del desplazamiento es la velocidad, y la segunda derivada de la velocidad es la aceleración. Además, se utiliza en tecnologías modernas, como en el cálculo de instrumentos de medición como velocímetros o cuentakilómetros.
¿Por qué es importante la precisión en las matemáticas y cómo la ven los físicos y los matemáticos?
-La precisión en las matemáticas es crucial para garantizar la claridad y la coherencia en el desarrollo de las ideas y en la resolución de problemas. Mientras que los físicos pueden ver las matemáticas como una herramienta para la ciencia, los matemáticos se centran en la belleza y la lógica intrínsecas de las matemáticas, explorando todas las posibles excepciones y casos atípicos.
Outlines
📚 Introducción al cálculo diferencial y su importancia histórica
Este párrafo aborda el cálculo diferencial como una herramienta matemática fundamental para el análisis del cambio. Se menciona su origen en las reglas para calcular derivadas y cómo la armonía pitagórica relacionó las matemáticas con el mundo físico por primera vez. Se destaca a Galileo Galilei por reconectar estas disciplinas y su obra 'El sellador', que simboliza la visión de que el universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas. Además, se explora la relación entre la música y las matemáticas, y cómo la cinemática, una rama de la mecánica, requiere de un lenguaje matemático adecuado para expresar ideas abstractas.
🚴 La derivada como elemento esencial en la cinemática
El párrafo 2 se enfoca en la derivada como una herramienta crucial en la cinemática, comparándola con las ruedas en un viaje. Se describe la derivada como el ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado, y no solo aplicada al movimiento de cuerpos. Se menciona cómo la derivada puede representar cambios en diversos contextos, como la densidad de población de los delfines o el precio de una pizza en relación con su tamaño. Se profundiza en el concepto de pendiente como la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal, y cómo los matemáticos como Fermat y Descartes contribuyeron a la formulación de métodos para encontrar tangentes a curvas algebraicas.
🔢 Concepto de derivada y su cálculo
El tercer párrafo detalla cómo se calcula la pendiente en un punto dado, que es equivalente a la velocidad instantánea en la cinemática. Se discute el concepto de 'delta' (δ), que representa pequeños incrementos en las variables, y cómo el cociente de estos deltas converge a la derivada cuando los incrementos tienden a cero. Se introduce el símbolo de la derivada 'd/dx' y se explica que la derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto. Se dan ejemplos de derivadas de funciones como la del seno y el coseno, y se enfatiza la importancia de la práctica para dominar el cálculo diferencial.
🛠️ Reglas del cálculo diferencial y su aplicación
Este párrafo explora las reglas del cálculo diferencial, como la regla de la suma y la del producto, que permiten descomponer funciones complejas en partes más simples para facilitar su análisis. Se da un ejemplo práctico con pintores que cambian la superficie de pared a diferentes ritmos, y cómo la suma de estos ritmos representa la derivada de una suma de funciones. Además, se menciona la regla de la cadena, que se utiliza cuando una función depende de otra. Estas reglas constituyen la 'gramática' del cálculo diferencial, y se destaca su valor en la variedad de aplicaciones que abarca.
🚗 Aplicaciones prácticas del cálculo diferencial
El quinto párrafo se centra en las aplicaciones prácticas del cálculo diferencial, como el cálculo de la velocidad y la aceleración de un cohete. Se describe cómo la derivada del desplazamiento da la velocidad, y la segunda derivada proporciona la aceleración. Se utiliza la metáfora de las matemáticas y la física trabajando en armonía como un instrumento que combina notas en una melodía. Se menciona a Albert Einstein y su respeto por las matemáticas después de trabajar en la teoría de la relatividad, destacando la importancia de las 'sutiles partes' de las matemáticas en la física.
🏛 Precisión en las matemáticas y su rol en la física
Por último, el sexto párrafo aborda la percepción de los físicos hacia las matemáticas como una herramienta y cómo los matemáticos son guardianes de la precisión y claridad en el pensamiento matemático. Se destaca la importancia de considerar todas las excepciones posibles, como en el caso de una función con forma de pirámide que no tiene derivada en su vértice. Se enfatiza que, para los matemáticos, el valor de las matemáticas radica en su propia belleza y rigor, y no solo en su utilidad para otras disciplinas.
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Keywords
💡Cálculo diferencial
💡Derivada
💡Armonía pitagórica
💡Galileo Galilei
💡René Descartes
💡Isaac Newton
💡Regla de la suma
💡Regla del producto
💡Regla de la cadena
💡Albert Einstein
💡Lenguaje matemático
Highlights
El cálculo diferencial es una herramienta matemática poderosa para analizar el cambio en las cosas.
Las bases del cálculo diferencial son algunas reglas sencillas para calcular derivadas.
Hace aproximadamente 600 años, se descubrió la armonía pitagórica, un vínculo entre matemáticas y el mundo físico.
Galileo Galilei entendió la importancia de la relación entre las matemáticas y el universo físico.
Galileo escribió en su libro 'El Sellador' que el verdadero conocimiento está escrito en el lenguaje de las matemáticas.
El lenguaje matemático es preciso y poético, utilizado por físicos y músicos desde hace siglos.
Vicenzo Galilei, padre de Galileo, también contribuyó a la música rechazando las formas tradicionales y desafiando la armonía pitagórica.
Galileo consideró las matemáticas griegas demasiado sencillas y desarrolló la cinemática como una rama de la mecánica.
Los eruditos necesitaban un lenguaje más sofisticado después de Galileo, lo que llevó al desarrollo del cálculo diferencial.
El cálculo diferencial es esencial para la cinemática y permite obtener una perspectiva completa de una derivada.
La derivada no solo se aplica al movimiento de cuerpos, sino también al ritmo de cambio de cualquier función en un punto dado.
La pendiente de una cuesta es un ejemplo de cómo se calcula la derivada en un punto particular.
Pierre de Fermat y René Descartes contribuyeron a las ideas matemáticas que llevaron al desarrollo del cálculo diferencial.
La velocidad instantánea se calcula como el límite de la velocidad media cuando el tiempo tiende a cero.
La derivada es el cociente de dos pequeños números, delta y y / delta x, que se convierte en una derivada cuando estos se acercan a cero.
La derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto y también es una función en sí misma.
Las reglas de diferenciación como la regla de la suma y la regla del producto son fundamentales en el cálculo diferencial.
La regla de la cadena es esencial cuando una operación depende de otra, como en el caso del consumo de combustible de un vehículo.
El cálculo diferencial tiene una amplia variedad de aplicaciones, desde la física de loscohetes hasta la economía.
Albert Einstein expresó su respeto por las matemáticas y reconoció su importancia en su trabajo en la teoría de la relatividad.
Los físicos a menudo subestiman la complejidad de las matemáticas, que son esenciales para la precisión y claridad en la ciencia.
Transcripts
el cálculo diferencial es una poderosa
herramienta matemática para analizar el
cambio en las cosas las asas de esa
herramienta son algunas reglas sencillas
para calcular derivadas
alrededor de 600 años antes de cristo
alguien descubrió que para obtener
agradables acordes era un instrumento de
cuerda el largo de esas cuerdas tenía
que estar en relación de números
sencillos como por ejemplo de 1 a 2 2 a
3 etcétera eso se llama armonía
pitagórica
y fue un descubrimiento importante
porque esta era la primera vez que se
relacionaban entre sí las matemáticas y
el mundo físico desgraciadamente esa
relación se olvidó y hubo que
descubrirla de nuevo muy lentamente y
con grandes dificultades unos mil años
después fue galileo galilei quien lo
comprendió
deseo leerles algo que galileo escribió
este libro
publicado en roma el año 1600 23 se
llama el sellador traducido generalmente
por el ensayador pero yo prefiero
traducirlo más bien por el
experimentador porque me parece que es
lo que más se aproxima a lo que galileo
tenía en mente
galileo tenía la fea costumbre de
escribir sus famosas notas en italiano
yo se la sigue traduciendo no se
preocupen dijo el verdadero conocimiento
está escrito en un enorme libro abierto
continuamente ante nuestros ojos me
refiero al universo
pero uno no puede entenderlo uno debe
aprender la lengua y a reconocer los
caracteres para poder entender el
lenguaje en el que está escrito está
escrito en el lenguaje de las
matemáticas
luego nosotros ahora para poder leer el
libro del universo tenemos primero que
aprender los símbolos y el vocabulario
del lenguaje matemático
es un lenguaje de la precisión de la
poesía e incluso de la música
desde hace ya muchos años los físicos
utilizan el lenguaje de las matemáticas
y los músicos aproximadamente desde 600
años antes de cristo también se sirven
de
como en casi todas las lenguas incluida
la música las matemáticas tienen su
vocabulario propio sus propias reglas y
símbolos su precisión y elegancia su
poesía y su historia
y una parte de esta historia fue galileo
galilei que tuvo algo de inconformista
un rasgo que heredó de su padre vincenzo
que fue un gran músico
musicalmente vincenzo se había negado a
sujetarse a las formas tradicionales
postura está que llegaría a ser la marca
de la familia vincenzo escribió un libro
en el que se oponía la utilización de la
armonía pitagórica como acostumbraban a
hacer sus contemporáneos en música
el consideraba los antiguos acordes
griegos demasiado simples para las
complejas estructuras musicales del
renacimiento italiano
más tarde de tal palo tal astilla
galileo consideró que las matemáticas
griegas eran demasiado sencillas para
poder expresar sus ideas
[Música]
y creo la cinemática una rama de la
mecánica que trata del movimiento en
abstracto
[Música]
y la correcta expresión de cualquier
idea abstracta requiere un lenguaje
adecuado conceptos y símbolos que den a
una idea su significado y valor
a pesar de ser muy avanzada la nueva
ciencia del movimiento de galileo sus
raíces estaban todavía en el terreno
donde acostumbraba a moverse el antiguo
intelecto griego
y era algo enteramente nuevo lo que
tenía que florecer en el campo de la
matemática y de la ciencia
[Música]
los eruditos necesitaban un lenguaje más
sofisticado que el que se hablaba desde
arquímedes y euclides en otras palabras
después de galileo la física necesitaba
un lenguaje más avanzado aproximadamente
25 años después de su muerte se
descubriría por fin ese famoso lenguaje
y comenzaría a utilizarse a partir de
entonces
se llamaría cálculo diferencial
[Música]
el cálculo diferencial es muy potente
y como en cualquier lenguaje su poder
deriva de la idea que le sustenta la
derivada
la derivada es para la cinemática lo que
las ruedas son para un viaje
un medio sencillo pero muy eficaz para
poder obtener una perspectiva completa
de lo que es una derivada
y nada mejor que un poco de ejercicio
la derivada no solo se aplica a un
cuerpo moviéndose horizontalmente ni por
eso ni sólo un cuerpo moviéndose
verticalmente hacia arriba o hacia abajo
o como sea
la derivada es el ritmo de cambio de
cualquier función en un determinado
punto instante
como ya se explicó al hablar de la ley
de caída de los cuerpos de galileo
la velocidad es la derivada de la
distancia pero es también algo más
una derivada puede representar el ritmo
de cambio de cualquier cosa por ejemplo
la densidad de población de los delfines
en relación con el aumento disminución
de temperatura del agua o el ritmo de
cambio de volumen de un globo respecto
al área de su superficie
o el ritmo de cambio del precio de una
pizza con respecto a su tamaño
como se ve el concepto de derivada está
por todas partes pero el proceso
mecánico de la derivada el cálculo
diferencial necesita un enfoque práctico
para que el concepto se imponga
en definitiva sin las reglas de
diferenciación el concepto de derivada
se nos puede hacer una montaña a la
larga es una ayuda incluir algunas
definiciones recogidas por el camino por
eso antes de que sea demasiado tarde
para volver atrás consideren lo empinado
en un plano inclinado lo empinado es la
relación entre el cambio en la altura y
el cambio en la distancia horizontal
esta relación un número recibe el nombre
de pendiente
por ejemplo supongamos que la altura de
una cuesta aumenta 15 metros cada 100
metros
el ciclista se mueve 15 metros hacia
arriba y 100 metros en horizontal la
pendiente es de 0 15
cuanto mayor es la pendiente llegará
hasta arriba es toda una proeza
[Música]
si es casi cero es un paseo
[Música]
y cuando la pendiente es negativa es
cuesta abajo
aunque se pueda caminar fácilmente por
ellas las matemáticas tienen sus picos y
valles y nadie sabe quién fue el primero
que preguntó cuál era la mejor manera
para ir de acá para allá
la respuesta en términos algebraicos fue
dada por un matemático francés llamado
fermat
en 1629 se le ocurrió la idea de hallar
la recta tangente en un punto arbitrario
de una curva
en 1638
fermat compartió su descubrimiento con
su compatriota rené de escarp que tenía
su propio método para hallar tangentes a
curvas algebraicas
[Música]
muchas de estas ideas matemáticas sobre
todo las de fermat fueron desarrolladas
posteriormente por virgen line e isaac
newton
según un método general y sistemático de
análisis matemático el cálculo
diferencial
[Música]
dejando la historia de lado al menos por
el momento quedan algunas preguntas
oportunas
por ejemplo en una curva que cambie
suavemente hay una pendiente que cambia
constantemente como se puede calcular en
el lenguaje de hoy la pendiente en un
punto dado
para determinar la pendiente en un punto
particular por ejemplo aquí
simplemente se toma otro punto de la
cuesta no importa donde
después se traza una línea recta que se
llama cuerda que una esos dos puntos
y la pendiente depende de la posición
del segundo punto
si el primer punto y el segundo están
próximos la cuerda es una aproximación
bastante acertada del recorrido de la
bici
cómo vamos' el segundo punto hacia el
primero
la pendiente es un número
al tender un punto hacia el otro
esos números tienden hacia un cierto
valor que se denomina pendiente de la
cuesta en ese punto
la recta que pasa por ese punto con esa
pendiente se llama recta tangente y es
la recta hacia la que tienden las
cuerdas al tender un punto hacia el otro
la pendiente de la cuesta es la
pendiente de la recta tangente en ese
punto
se puede calcular la velocidad
instantánea de manera análoga
la ley de caída de los cuerpos de
galileo aquí aplicada a una persona que
más bien no quiere
más que un terrorífico experimento es el
diferencial que viene en auxilio la
variación de la distancia se divide por
la variación del tiempo
el cociente es la velocidad media
durante un intervalo de tiempo dado
cuando ese tiempo disminuye hacia cero
el valor límite de la velocidad media es
la velocidad instantánea
el incremento en la altura se divide por
el incremento en la distancia horizontal
el resultado es la pendiente de la
cuerda que une los dos puntos si la
distancia horizontal se reduce a 0
el valor límite de la pendiente de la
cuerda es la pendiente en ese punto
la diferenciación los objetivos y los
cálculos difieren pero no el concepto
esencial ni el procedimiento
la velocidad es la derivada de la
distancia con respecto al tiempo
la pendiente es la derivada de la altura
con respecto a la distancia horizontal
[Música]
en cualquier caso una derivada es lo que
le ocurre a un cociente una razón entre
dos números cuando el dividendo y el
divisor disminuye gracias
antes de alcanzar el cero sus pequeños
valores se expresan con la letra griega
delta
delta y es un pequeño incremento de iu
delta x es un pequeño incremento de x
así que delta y / delta x es simplemente
un cociente de dos números pequeños
cuando esos números se hacen 0 el
cociente se convierte en una derivada y
los deltas en un nuevo símbolo
diferencial de i / diferencial de x
el símbolo de la derivada que significa
derivada de la cantidad y con respecto a
x
cuando ya se domina la mecánica sencilla
encontrar la derivada de cualquier cosa
es tan fácil como accionar un
interruptor
[Música]
la derivada de una función es la
pendiente de su tangente en cada punto
la derivada de una función es también
una función
[Música]
si la función es una recta la pendiente
es constante y la derivada es
precisamente esa constante
[Música]
si es igual a seno de x entonces
derivada de y respecto a x es igual a
coseno de x
[Música]
sí y es igual a coseno de x entonces
derivada de y respecto a x es igual a
menos seno de x
ayer derivadas requiere un poco de
práctica pero el esfuerzo vale la pena
y si consideramos el gran número de
máquinas contemporáneas que hayan
derivadas esto se ha convertido en una
práctica moderna
un velocímetro o cuentakilómetros es una
máquina que deriva mide la derivada de
la distancia recorrida en cada instante
a lo largo del camino
el ritmo de cambio de posición es la
velocidad instantánea expresada en
kilómetros por hora
por supuesto cuando el vehículo no se
mueve no recorre ninguna distancia aquí
la posición es constante y la derivada
de una constante es cero
la matemática es un lenguaje con
estructura gramatical un conjunto de
reglas que componen y descomponen la
tarea que se tiene entre manos
en cualquier cosa que se trabaje desde
construir una casa
a componer una sinfonía la tarea más
complicada puede descomponerse de la
misma manera
newton y line y desarrollaron las
herramientas del cálculo que permiten
diferenciar la función más complicada
descomponiendo la en partes sencillas
una de las reglas básicas de la
diferenciación es la regla de la suma
supongamos que un pintor pinta 90 metros
cuadrados de pared por hora
y otro pintor 100 metros
esos son los ritmos a los que las
superficies de pared cambian de color en
otras palabras son las derivadas por
consiguiente cada hora se han pintado
190 metros cuadrados de pared
así es como funciona la regla de la suma
la derivada de una suma es la suma de
las derivadas
[Música]
otra buena herramienta es la regla del
producto que se utiliza para obtener la
derivada del producto de dos funciones
por ejemplo el área de un tablero es el
producto de su largo por su ancho
si se acorta el largo
la variación en el área es el producto
del ancho x la variación en el largo
si el ancho se reduce la variación en el
área es el producto del largo
multiplicado por la variación en el
ancho
la variación total en el área es la suma
de estos y es exactamente así en el caso
del carpintero como en el lenguaje del
cálculo diferencial
la derivada del producto de y por zeta
es y por la agregada de zeta más zeta
por la derivada de i
[Música]
usando esta regla es posible encontrar
la derivada de x al cuadrado
[Música]
[Música]
[Música]
cómo
[Música]
o de equis elevado al cubo
o de cualquier potencia de x
[Música]
la derivada de x a la enésima potencia
es n por x a la potencia n 1
[Música]
frecuentemente una operación depende de
otra por ejemplo supongamos que un
vehículo tiene un consumo específico de
17 millas por galón de fuel eso es una
derivada
si es la distancia recorrida y x la
cantidad de fuel consumida entonces 17
millas por galón es la derivada de iu
respecto a x igual a de y partido por de
x supongamos que consume 2 galones por
hora 2 galones por hora igual a de x
partido por de t
la velocidad de un vehículo en millas
por hora es igual a las millas
recorridas por galón multiplicado por
los galones que consume por hora
es la regla de la cadena se utiliza
cuando y depende de x y x depende de ti
[Música]
la regla de la suma
la regla del producto
y la regla de camión
estas tres reglas representan la
gramática del cálculo diferencial
y el valor del cálculo diferencial se
puede ver en la variedad de sus
aplicaciones
por ejemplo cuando un cohete se mueve un
desplazamiento s en un tiempo de la
derivada del desplazamiento es la
velocidad
positiva para movimiento hacia arriba
y negativa para movimiento hacia abajo
la derivada de la velocidad es la
aceleración que es lo mismo que hallar
la derivada de una derivada
o sea la segunda derivada de s
la aceleración producida por el
encendido del cohete
las reglas de cálculo diferencial y sus
aplicaciones a la física
[Música]
cada una actúa como un solo instrumento
que toca el arte y la ciencia de las
matemáticas
trabajando juntos
armonizando pueden combinar notas
individuales o números en una melodía
explícita
[Música]
[Música]
i
y
[Música]
he recibido una carta de un músico
llamado albert eisntein
la envió en 1912 ha tardado en llegar el
servicio de correos trabaja a veces con
mucha lentitud pero realmente no me la
escribió a mí sino a un amigo suyo yo le
he obtenido en la biblioteca de
cualquier forma voy a leerla y veremos
que escribió
estoy ocupándome exclusivamente del
problema de la gravitación y creo que
ahora superaré todas las dificultades
pero yo estoy seguro de una cosa he
llegado a tener un gran respeto por las
matemáticas cuyas sutiles partes yo en
mi ignorancia hasta este instante había
creído que eran un mero luz
einstein trabajó cuatro años más en la
gravitación y el resultado fue la teoría
general de la relatividad de la cual
podemos decir que es la teoría
matemática más difícil de toda la física
qué quiso decir einstein al expresar que
las sutiles partes de las matemáticas le
parecían un lujo
pensó realmente que podría tener éxito
sin hacer cálculos
por supuesto que no
el asunto es que los físicos tienen
cierta arrogancia ante las matemáticas
por ejemplo se puede tener la impresión
de que siguiendo unas reglas sencillas
se puede obtener la derivada de
cualquier función
y no es del todo cierto
supongamos una función con forma
piramidal como una pirámide de egipto
bien es muy fácil obtener la pendiente
aquí y también es fácil obtenerla aquí
sin embargo en la punta tenemos
problemas porque en ese punto no hay
ninguna pendiente la función no tiene
derivada en ese punto
yo nunca dije nada que les hiciese creer
a ustedes que eso podía ocurrir
para los físicos las matemáticas son
solo una herramienta que usan para
llevar a cabo todo lo demás
pero un verdadero matemático es el
guardián de la precisión y claridad de
las ideas
lo que interesa a los matemáticos es la
propia matemática si un matemático hace
una proposición sobre las derivadas
la afirmación tendrá en cuenta toda
posible excepción por extraña inusual
que parezca como el pico de la pirámide
esa es la clase de sutileza que
preocupaba en este
hasta el próximo día
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